In vielen Schaltungsanwendungen treffen wir auf Komponenten, die auf eine von zwei Arten miteinander verbunden sind, um ein dreipoliges Netzwerk zu bilden: die „Delta“ oder Δ-Konfiguration (auch als „Pi“ oder π bekannt) und die „Y“ Konfiguration (auch als „T“ bekannt).
Es ist möglich, die richtigen Werte der Widerstände zu berechnen, die notwendig sind, um eine Art von Netzwerk (Δ oder Y) zu bilden, das sich identisch zu der anderen Art verhält, wie es allein anhand der Klemmenverbindungen analysiert wird. Das heißt, wenn wir zwei getrennte Widerstandsnetzwerke hätten, ein Δ und ein Y, bei denen jeweils die Widerstände verborgen sind und nur die drei Anschlüsse (A, B und C) zum Testen freigelegt sind, könnten die Widerstände für die beiden Netzwerke so dimensioniert werden, dass es keine Möglichkeit gäbe, ein Netzwerk elektrisch von dem anderen zu unterscheiden. Mit anderen Worten, äquivalente Δ- und Y-Netzwerke verhalten sich identisch.
Δ und Y Umrechnungsgleichungen
Es gibt mehrere Gleichungen, um ein Netzwerk in das andere umzurechnen:
Δ- und Y-Netze sieht man häufig in 3-Phasen-Wechselstromsystemen (ein Thema, das in Band II dieser Buchreihe behandelt wird), aber selbst dann handelt es sich in der Regel um symmetrische Netze (alle Widerstände haben den gleichen Wert) und die Umwandlung von einem in das andere muss nicht so komplexe Berechnungen beinhalten. Wann würde der durchschnittliche Techniker jemals diese Gleichungen verwenden müssen?
Anwendung der Δ- und Y-Umwandlung
Eine Hauptanwendung für die Δ-Y-Umwandlung ist die Lösung von unsymmetrischen Brückenschaltungen, wie die folgende:
Die Lösung dieser Schaltung mit der Zweigstrom- oder Maschenstromanalyse ist ziemlich aufwendig, und weder das Millman- noch das Superpositions-Theorem sind hilfreich, da es nur eine Stromquelle gibt. Wir könnten das Thevenin- oder das Norton-Theorem anwenden, wobei wir R3 als unsere Last behandeln, aber was wäre das für ein Spaß?
Wenn wir die Widerstände R1, R2 und R3 als in einer Δ-Konfiguration angeschlossen behandeln (Rab, Rac bzw. Rbc) und ein äquivalentes Y-Netzwerk erzeugen, um sie zu ersetzen, könnten wir diese Brückenschaltung in eine (einfachere) Reihen/Parallel-Kombinationsschaltung verwandeln:
Nach der Δ-Y-Konvertierung.
Wenn wir unsere Berechnungen korrekt durchführen, werden die Spannungen zwischen den Punkten A, B und C in der umgewandelten Schaltung die gleichen sein wie in der ursprünglichen Schaltung, und wir können diese Werte zurück in die ursprüngliche Brückenkonfiguration übertragen.
Die Widerstände R4 und R5 bleiben natürlich mit 18 Ω bzw. 12 Ω gleich. Analysieren wir die Schaltung nun als Reihen-Parallel-Kombination, erhalten wir folgende Zahlen:
Wir müssen die Spannungsabfälle aus der obigen Tabelle verwenden, um die Spannungen zwischen den Punkten A, B und C zu bestimmen und zu sehen, wie sie sich addieren (oder subtrahieren, wie im Fall der Spannung zwischen den Punkten B und C):
Nun, da wir diese Spannungen kennen, können wir sie auf die gleichen Punkte A, B und C in der ursprünglichen Brückenschaltung übertragen:
Die Spannungsabfälle an R4 und R5 sind natürlich genau die gleichen wie in der Wandlerschaltung.
An dieser Stelle könnten wir diese Spannungen nehmen und die Widerstandsströme durch die wiederholte Anwendung des Ohmschen Gesetzes (I=E/R) bestimmen:
Simulation mit SPICE
Eine schnelle Simulation mit SPICE dient zur Überprüfung unserer Arbeit:
unbalanced bridge circuit v1 1 0 r1 1 2 12 r2 1 3 18 r3 2 3 6 r4 2 0 18 r5 3 0 12 .dc v1 10 10 1 .print dc v(1,2) v(1,3) v(2,3) v(2,0) v(3,0) .end v1 v(1,2) v(1,3) v(2,3) v(2) v(3) 1.000E+01 4.706E+00 5.294E+00 5.882E-01 5.294E+00 4.706E+00
Die Spannungswerte, von links nach rechts gelesen, stellen die Spannungsabfälle über den fünf jeweiligen Widerständen R1 bis R5 dar. Ich hätte auch Ströme darstellen können, aber da dies das Einfügen von „Dummy“-Spannungsquellen in die SPICE-Netzliste erfordert hätte und wir in erster Linie daran interessiert sind, die Δ-Y-Umwandlungsgleichungen und nicht das Ohmsche Gesetz zu validieren, wird dies genügen.
ÜBERSICHT:
- „Delta“-Netze (Δ) werden auch als „Pi“-Netze (π) bezeichnet.
- „Y“-Netze werden auch als „T“-Netze bezeichnet.
- Δ- und Y-Netze können mit den richtigen Widerstandsgleichungen in ihre äquivalenten Gegenstücke umgewandelt werden. Mit „äquivalent“ meine ich, dass die beiden Netzwerke elektrisch identisch sind, gemessen an den drei Anschlüssen (A, B und C).
- Eine Brückenschaltung kann zu einer Serien-/Parallelschaltung vereinfacht werden, indem die Hälfte davon von einem Δ- in ein Y-Netzwerk umgewandelt wird. Nachdem die Spannungsabfälle zwischen den ursprünglichen drei Anschlusspunkten (A, B und C) gelöst wurden, können diese Spannungen über dieselben Ersatzpunkte zurück in die ursprüngliche Brückenschaltung übertragen werden.
VERWANDLTE ARBEITSBLÄTTER:
- Dreieck- und Stern-Dreieck-Phasen-Schaltungen Arbeitsblatt