Angenommen, Sie haben eine Funktion $f(x)$, und Sie wollen möglichst genau herausfinden, wo sie die $x$-Achse schneidet; mit anderen Worten, Sie wollen $f(x)=0$ lösen. Nehmen wir an, Sie kennen keine Möglichkeit, eine exakte Lösung durch irgendein algebraisches Verfahren zu finden, aber Sie können eine Näherung verwenden, vorausgesetzt, sie kommt dem wahren Wert recht nahe.Die Newton-Methode ist eine Möglichkeit, eine Lösung der Gleichung auf so viele Nachkommastellen wie gewünscht zu finden. Es ist ein sogenanntes „iteratives Verfahren“, was bedeutet, dass es immer wieder wiederholt werden kann, um eine immer genauere Antwort zu erhalten. Iterative Verfahren wie die Newton-Methode eignen sich gut zur Programmierung für einen Computer. Die Newton-Methode nutzt die Tatsache, dass die Tangente an eine Kurve eine gute Annäherung an die Kurve in der Nähe des Tangentenpunktes ist.
Beispiel 6.3.1 Annäherung $\ds \sqrt{3}$. Da $\ds \sqrt{3}$ eine Lösung von $\ds x^2=3$ oder $\ds x^2-3=0$ ist, verwenden wir $\ds f(x)=x^2-3$. Wir beginnen damit, etwas zu erraten, das dem wahren Wert einigermaßen nahe kommt; das ist normalerweise einfach zu machen; nehmen wir $\ds \sqrt3\approx2$. Verwenden Sie nun die Tangente an die Kurve bei $x=2$ als Näherung an die Kurve, wie in Abbildung 6.3.1 gezeigt. Da $f'(x)=2x$ ist, ist die Steigung der Tangente 4 und ihre Gleichung lautet $y=4x-7$. Die Tangente liegt ziemlich nahe an $f(x)$, so dass sie die $x$-Achse in der Nähe des Punktes schneidet, an dem $f(x)$ sie schneidet, also in der Nähe von $\ds \sqrt3$. Es ist einfach herauszufinden, wo die Tangente die $x$-Achse schneidet: Lösen Sie $0=4x-7$ auf, um $x=7/4=1.75$ zu erhalten. Dies ist sicherlich eine bessere Näherung als 2, aber sagen wir, nicht nahe genug. Wir können es verbessern, indem wir das Gleiche noch einmal machen: Finden Sie die Tangente bei $x=1.75$, finden Sie, wo diese neue Tangente die $x$-Achse schneidet, und verwenden Sie diesen Wert als bessere Näherung. Wir können das unendlich fortsetzen, allerdings wird es etwas mühsam. Wir wollen sehen, ob wir den Prozess abkürzen können. Nehmen wir an, die beste Annäherung an den Achsenabschnitt, die wir bisher haben, ist $\ds x_i$. Um eine bessere Näherung zu finden, werden wir immer das Gleiche tun: die Steigung der Tangente bei $\ds x_i$ finden, die Gleichung der Tangente finden, den $x$-Achsenabschnitt finden. Die Steigung ist $\ds 2x_i$. Die Tangente ist $\ds y=(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$, unter Verwendung der Punkt-Neigungs-Formel für eine Gerade. Schließlich wird der Achsenabschnitt durch Lösen von $\ds 0 =(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$ gefunden. Mit ein wenig Algebra wird daraus $\ds x=(x_i^2+3)/(2x_i)$; das ist die nächste Näherung, die wir natürlich $\ds x_{i+1}$ nennen. Anstatt jedes Mal die ganze Tangentenlinienberechnung durchzuführen, können wir einfach diese Formel verwenden, um so viele Näherungen zu erhalten, wie wir wollen. Ausgehend von $\ds x_0=2$ erhalten wir $\ds x_1=(x_0^2+3)/(2x_0)=(2^2+3)/4=7/4$ (natürlich die gleiche Näherung wie oben), $\ds x_2=(x_1^2+3)/(2x_1)=((7/4)^2+3)/(7/2)=97/56\ca. 1.73214$, $\ds x_3\ca. 1.73205$, und so weiter. Das ist von Hand noch etwas mühsam, aber mit einem Taschenrechner oder, noch besser, einem guten Computerprogramm, ist es recht einfach, viele, viele Näherungen zu erhalten. Man könnte schon vermuten, dass $1,73205$ auf zwei Nachkommastellen genau ist, und tatsächlich stellt sich heraus, dass es auf 5 Stellen genau ist.
Sie können hier die Funktion ändern, zum Beispiel auf Math.sin(x) oder Math.exp(x) oder Math.pow(2,x) oder 1-2/(x*x).
$x_{final}=$
Betrachten wir dieses Verfahren in allgemeineren Begriffen. Wir wollen uns einer Lösung von $f(x)=0$ annähern.Wir beginnen mit einer groben Schätzung, die wir $\ds x_0$ nennen. Wir verwenden die Tangente an $f(x)$, um eine neue Näherung zu erhalten, von der wir hoffen, dass sie näher am wahren Wert liegt. Wie lautet die Gleichung der Tangentengeraden, wenn $\ds x=x_0$? Die Steigung ist $\ds f'(x_0)$ und die Gerade geht durch$\ds(x_0,f(x_0))$, also ist die Gleichung der Geraden$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$Nun finden wir heraus, wo diese die $x$-Achse schneidet, indem wir $y=0$ einsetzen und für $x$ auflösen:$x={x_0f'(x_0)-f(x_0)} = x_0 – {f(x_0)\über f'(x_0)}.$Wir werden typischerweise mehr als eine dieser verbesserten Näherungen berechnen wollen, also nummerieren wir sie nacheinander; aus $\ds x_0$ haben wir $\ds x_1$ errechnet:$x_1={x_0f'(x_0)-f(x_0)\über f'(x_0)} = x_0 – {f(x_0)\über f'(x_0)},$und allgemein aus $\ds x_i$ berechnen wir $\ds x_{i+1}$:$x_{i+1}={x_if'(x_i)-f(x_i)\über f'(x_i)} = x_i – {f(x_i)\über f'(x_i)}.$
Beispiel 6.3.2 Zurück zum vorherigen Beispiel: $\ds f(x)=x^2-3$, $f'(x)=2x$, und die Formel wird zu $\ds x_{i+1}=x_i – (x_i^2-3)/(2x_i)=(x_i^2+3)/(2x_i)$, wie zuvor.
In der Praxis, d. h. wenn Sie beim Entwurf einer Brücke, eines Gebäudes oder einer Flugzeugzelle einen Wert annähern müssen, müssen Sie ein gewisses Vertrauen haben, dass die Annäherung, für die Sie sich entscheiden, genau genug ist. Als Faustregel gilt: Sobald sich eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen von einer Näherung zur nächsten nicht mehr ändert, ist es wahrscheinlich, dass diese Nachkommastellen korrekt sind. In diesem Fall können wir das Ergebnis auf seine Genauigkeit testen.
Beispiel 6.3.3 Finde die $x$-Koordinate des Schnittpunkts der Kurven $y=2x$und $y=\tan x$ mit einer Genauigkeit von drei Dezimalstellen. Um dies in den Kontext des Newton-Verfahrens zu stellen, stellen wir fest, dass wir wissen wollen, wo $2x=\tanx$ oder $f(x)=\tan x-2x=0$ liegt. Wir berechnen $\ds f'(x)=\sec^2 x – 2$ und stellen die Formel auf: $x_{i+1} = x_i-{\tan x_i -2x_i\über \sec^2 x_i – 2}.$ Aus dem Graphen in Abbildung 6.3.2 vermuten wir $\ds x_0=1$ als Startpunkt, dann berechnen wir mit Hilfe der Formel $\ds x_1=1.310478030$, $\ds x_2=1.223929096$, $\ds x_3=1.176050900$,$\ds x_4=1.165926508$, $\ds x_5=1.165561636$. Wir vermuten also, dass die ersten drei Stellen korrekt sind, aber das ist nicht dasselbe wie zu sagen, dass $1,165$ auf drei Dezimalstellen korrekt ist – $1,166$ könnte die korrekte, gerundete Näherung sein. Wie können wir das feststellen? Wir können $1,165$, $1,1655$ und $1,166$ in $\tan x – 2x$ einsetzen; dies ergibt $-0,002483652$, $-0,000271247$, $0,001948654$. Da die ersten beiden negativ und die dritte positiv sind, kreuzt $\tan x – 2x$ die $x$-Achse zwischen $1,1655$ und $1,166$, der korrekte Wert auf drei Stellen ist also $1,166$.
Übungen 6.3
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Übungsbeispiel 6.3.1Schätzen Sie die fünfte Wurzel aus 7, indem Sie $\ds x_0=1.5$ als erste Vermutung verwenden. Benutzen Sie das Newton-Verfahren, um $\ds x_3$ als Näherungswert zu finden. (Antwort)
Ex 6.3.2Nutzen Sie die Newton-Methode, um die Kubikwurzel aus 10 auf zwei Nachkommastellen zu approximieren.(Antwort)
Ex 6.3.3Die Funktion $\ds f(x)=x^3-3x^2-3x+6$ hat eine Wurzel zwischen 3 und 4, weil$f(3)=-3$ und $f(4)=10$. Approximieren Sie die Wurzel auf zwei Nachkommastellen.(Antwort)
Ex 6.3.4Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit den Maßen $8 mal 17$ wird ein oben offener Kasten hergestellt, indem aus jeder Ecke ein kleines Quadrat mit der Seite$x$ ausgeschnitten und die Seiten nach oben gebogen werden. (Siehe Übung 20 in 6.1.)Wenn $x=2$, dann ist das Volumen der Schachtel $2\cdot 4\cdot 13=104$. Finden Sie mit der Newtonschen Methode einen Wert für $x$, für den die Kiste ein Volumen von 100 hat, und zwar auf 3 signifikante Stellen genau. (Antwort)