BioMath: Newtons Gesetz der Abkühlung

Tatort

Eine Detektivin wird zu einem Tatort gerufen, an dem gerade eine Leiche gefunden wurde. Sie trifft um 22:23 Uhr am Tatort ein und beginnt mit ihren Ermittlungen. Sofort wird die Temperatur der Leiche gemessen und es wird festgestellt, dass sie 80o F beträgt. Die Detektivin überprüft den programmierbaren Thermostat und stellt fest, dass der Raum in den letzten 3 Tagen konstant auf 68o F gehalten wurde.

Nachdem die Beweise vom Tatort gesammelt wurden, wird die Temperatur der Leiche noch einmal gemessen und es wird festgestellt, dass sie 78,5o F beträgt. Diese letzte Temperaturmessung wurde genau eine Stunde nach der ersten durchgeführt. Am nächsten Tag wird der Detektiv von einem anderen Ermittler gefragt: „Um wie viel Uhr ist unser Opfer gestorben?“ Unter der Annahme, dass die Körpertemperatur des Opfers vor dem Tod normal war (98,6o F), wie lautet ihre Antwort auf diese Frage? Mit Hilfe des Newtonschen Abkühlungsgesetzes kann der Todeszeitpunkt des Opfers bestimmt werden.

Newtons Abkühlungsgesetz

Newtons Abkühlungsgesetz beschreibt die Abkühlung eines wärmeren Objekts auf die kühlere Temperatur der Umgebung. Konkret schreibt man dieses Gesetz wie folgt:

T (t) = Te + (T0 – Te ) e – kt,

wobei T (t) die Temperatur des Objekts zum Zeitpunkt t, Te die konstante Temperatur der Umgebung, T0 die Anfangstemperatur des Objekts und k eine Konstante ist, die von den Materialeigenschaften des Objekts abhängt.

Um unsere Überlegungen zu diesem Problem zu strukturieren, sollten wir uns klar machen, was wir zu lösen versuchen. Wir möchten den Zeitpunkt wissen, zu dem eine Person gestorben ist. Insbesondere wissen wir, dass der Ermittler um 22:23 Uhr am Tatort eintraf, was wir als τ Stunden nach dem Tod bezeichnen werden. Um 10:23 Uhr (d. h. τ Stunden nach dem Tod) wurde eine Körpertemperatur von 80o F festgestellt. Eine Stunde später, τ + 1 Stunde nach dem Tod, wurde eine Körpertemperatur von 78,5o F festgestellt. Unsere bekannten Konstanten für dieses Problem sind: Te = 68o F und T0 = 98.6o F.

Zu welchem Zeitpunkt ist unser Opfer gestorben?