Biot-Savart-Gesetz

Elektrische Ströme (entlang einer geschlossenen Kurve/Draht)

Dargestellt sind die Richtungen von I d ℓ {\displaystyle Id{\boldsymbol {\ell }}

, r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}‘} }

, und der Wert von | r ′ | {\displaystyle |\mathbf {r‘} |}

Das Biot-Savart-Gesetz wird zur Berechnung des resultierenden Magnetfeldes B an der Position r im 3D-Raum verwendet, das durch einen flexiblen Strom I (z. B. durch einen Draht) erzeugt wird. Ein stetiger (oder stationärer) Strom ist ein kontinuierlicher Ladungsfluss, der sich mit der Zeit nicht ändert und die Ladung an keinem Punkt akkumuliert oder verbraucht. Das Gesetz ist ein physikalisches Beispiel für ein Linienintegral, das über den Weg C ausgewertet wird, auf dem die elektrischen Ströme fließen (z.B. der Draht). Die Gleichung in SI-Einheiten lautet

B ( r ) = μ 0 4 π ∫ C I d ℓ × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}}mal \mathbf {r‘} }{|}mathbf {r‘} |^{3}}}}

wobei d ℓ {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}

ist ein Vektor entlang des Pfades C {\displaystyle C}

, dessen Betrag die Länge des Differentialelements des Drahtes in der Richtung des konventionellen Stroms ist. ℓ

ist ein Punkt auf dem Pfad C {\displaystyle C}

. r ′ = r – ℓ {\displaystyle \mathbf {r‘} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}

ist der volle Verschiebungsvektor vom Drahtelement ( d ℓ {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}

) im Punkt ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}

zu dem Punkt, an dem das Feld berechnet wird ( r {\displaystyle \mathbf {r} }

), und μ0 ist die magnetische Konstante. Alternativ dazu: B ( r ) = μ 0 4 π ∫ C I d ℓ × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}}mal \mathbf {r}}‘} }{|}mathbf {r‘} |^{2}}}}

wobei r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}‘} }

ist der Einheitsvektor von r ′ {\displaystyle \mathbf {r‘} }

. Die fettgedruckten Symbole bezeichnen Vektorgrößen.

Das Integral verläuft normalerweise um eine geschlossene Kurve, da stationäre elektrische Ströme nur auf geschlossenen Bahnen fließen können, wenn sie begrenzt sind. Das Gesetz gilt aber auch für unendlich lange Drähte (dieses Konzept wurde bei der Definition der SI-Einheit des elektrischen Stroms – dem Ampere – bis zum 20. Mai 2019 verwendet).

Um die Gleichung anzuwenden, wird der Punkt im Raum, an dem das Magnetfeld berechnet werden soll, beliebig gewählt ( r {\displaystyle \mathbf {r} }

). Hält man diesen Punkt fest, so berechnet man das Linienintegral über den Weg des elektrischen Stroms, um das gesamte Magnetfeld an diesem Punkt zu finden. Die Anwendung dieses Gesetzes beruht implizit auf dem Superpositionsprinzip für Magnetfelder, d. h. auf der Tatsache, dass das Magnetfeld eine Vektorsumme des Feldes ist, das von jedem infinitesimalen Abschnitt des Drahtes einzeln erzeugt wird.

Es gibt auch eine 2D-Version der Biot-Savart-Gleichung, die verwendet wird, wenn die Quellen in einer Richtung invariant sind. Im Allgemeinen muss der Strom nicht nur in einer Ebene senkrecht zur invarianten Richtung fließen und ist gegeben durch J {\displaystyle \mathbf {J} }

(Stromdichte). Die resultierende Formel lautet: B ( r ) = μ 0 2 π ∫ C ( J d ℓ ) × r ′ | r ′ | = μ 0 2 π ∫ C ( J d ℓ ) × r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\ {\frac {(\mathbf {J} \,d\ell )\mal \mathbf {r}‘}{|\mathbf {r}’|}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\ (\mathbf {J} \,d\ell )\mal \mathbf {{\hat {r}}‘} }

Elektrische Stromdichte (im gesamten Leitervolumen)

Die oben angegebenen Formulierungen funktionieren gut, wenn der Strom näherungsweise durch einen unendlich schmalen Draht fließt. Wenn der Leiter eine gewisse Dicke hat, ist die richtige Formulierung des Biot-Savart-Gesetzes (wiederum in SI-Einheiten):

B ( r ) = μ 0 4 π ∭ V ( J d V ) × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r} ‚}{|\mathbf {r} ‚|^{3}}}}

wobei r ′ {\displaystyle \mathbf {r‘} }

ist der Vektor von dV zum Beobachtungspunkt r {\displaystyle \mathbf {r} }

, d V {\displaystyle dV}

ist das Volumenelement, und J {\displaystyle \mathbf {J} }

ist der Stromdichtevektor in diesem Volumen (in SI in Einheiten von A/m2).

In Bezug auf den Einheitsvektor r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}‘} }

B ( r ) = μ 0 4 π ∭ V d V J × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ dV{\frac {\mathbf {J} \mal {\mathbf {{\hat {r}}‘} {\mathbf {r} ‚|^{2}}}}

Konstanter gleichmäßiger StromEdit

Im Spezialfall eines gleichmäßigen konstanten Stroms I ist das Magnetfeld B {\displaystyle \mathbf {B} }

ist B ( r ) = μ 0 4 π I ∫ C d ℓ × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}}mal \mathbf {r‘} }{|\mathbf {r‘} |^{3}}}}

Das heißt, dass der Strom aus dem Integral herausgenommen werden kann.

Punktladung bei konstanter Geschwindigkeit

Im Fall eines punktgeladenen Teilchens q, das sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v bewegt, ergeben die Maxwellschen Gleichungen folgenden Ausdruck für das elektrische und magnetische Feld:

E = q 4 π ϵ 0 1 – v 2 c 2 ( 1 – v 2 c 2 sin 2 θ ) 3 2 r ^ ′ | r ′ | 2 H = v × D B = 1 c 2 v × E {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}\sin ^{2}\theta \right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}‘} {\mathbf {r}’|^{2}}}\\mathbf {H} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D} \\\mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{aligned}}

wobei r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ‚}

ist der Einheitsvektor, der von der aktuellen (nicht verzögerten) Position des Teilchens zu dem Punkt zeigt, an dem das Feld gemessen wird, und θ ist der Winkel zwischen v {\displaystyle \mathbf {v} }

und r ′ {\displaystyle \mathbf {r} ‚}

.

Wenn v2 ≪ c2 ist, können das elektrische Feld und das Magnetfeld angenähert werden als

E = q 4 π ϵ 0 r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}} {\frac {\mathbf {{\hat {r}}‘} ‚|^{2}}}}

B = μ 0 q 4 π v × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {{\hat {r}}‘} }{|\mathbf {r} ‚|^{2}}}}

Diese Gleichungen wurden erstmals von Oliver Heaviside im Jahr 1888 abgeleitet. Einige Autoren nennen die obige Gleichung für B {\displaystyle \mathbf {B} }

das „Biot-Savart-Gesetz für eine Punktladung“ aufgrund seiner großen Ähnlichkeit mit dem Standard-Biot-Savart-Gesetz. Diese Formulierung ist jedoch irreführend, da das Biot-Savart-Gesetz nur für stationäre Ströme gilt und eine Punktladung, die sich im Raum bewegt, keinen stationären Strom darstellt.