Die Cutoff-Frequenz eines elektromagnetischen Wellenleiters ist die niedrigste Frequenz, bei der sich eine Mode in ihm ausbreitet. In der Faseroptik ist es gebräuchlicher, die Grenzwellenlänge zu betrachten, also die maximale Wellenlänge, die sich in einer optischen Faser oder einem Wellenleiter ausbreitet. Die Grenzfrequenz wird mit der charakteristischen Gleichung der Helmholtz-Gleichung für elektromagnetische Wellen gefunden, die aus der elektromagnetischen Wellengleichung abgeleitet wird, indem die longitudinale Wellenzahl gleich Null gesetzt und für die Frequenz gelöst wird. Somit wird jede anregende Frequenz, die niedriger als die Grenzfrequenz ist, gedämpft, anstatt sich auszubreiten. Die folgende Ableitung geht von verlustfreien Wänden aus. Der Wert von c, der Lichtgeschwindigkeit, sollte als die Gruppengeschwindigkeit des Lichts in dem Material, das den Hohlleiter ausfüllt, angenommen werden.
Für einen rechteckigen Hohlleiter ist die Grenzfrequenz
ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 , {\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}},}
wobei die ganzen Zahlen n , m ≥ 0 {\displaystyle n,m\geq 0}
die Modenzahlen sind, und a und b die Längen der Seiten des Rechtecks. Für TE-Moden, n , m ≥ 0 {\displaystyle n,m\geq 0}
(aber n = m = 0 {\displaystyle n=m=0}
ist nicht erlaubt), während für TM-Modi n , m ≥ 1 {\displaystyle n,m\geq 1}
.
Die Grenzfrequenz der TM01-Mode (nächsthöhere von der dominanten Mode TE11) in einem Hohlleiter mit kreisförmigem Querschnitt (die transversalmagnetische Mode mit keiner Winkelabhängigkeit und geringster radialer Abhängigkeit) ist gegeben durch
ω c = c χ 01 r = c 2.4048 r , {\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},}
wobei r {\displaystyle r}
ist der Radius des Hohlleiters, und χ 01 {\displaystyle \chi _{01}}
ist die erste Wurzel von J 0 ( r ) {\displaystyle J_{0}(r)}
, die Besselfunktion erster Art der Ordnung 1.
Die Grenzfrequenz des dominanten Modus TE11 ist gegeben durch
ω c = c χ 11 r = c 1.8412 r {\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1.8412}{r}}
Die Grenzfrequenz des dominanten Modus kann jedoch durch die Einführung einer Schallwand innerhalb des Wellenleiters mit kreisförmigem Querschnitt reduziert werden. Für eine optische Singlemode-Faser ist die Cutoff-Wellenlänge die Wellenlänge, bei der die normierte Frequenz ungefähr gleich 2,405 ist.
Mathematische AnalyseBearbeiten
Ausgangspunkt ist die Wellengleichung (die aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet ist),
( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) ψ ( r , t ) = 0 , {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,}
Dies wird zu einer Helmholtz-Gleichung, wenn man nur Funktionen der Form
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y , z ) e i ω t betrachtet. ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y , z ) e^{i\omega t}.
Das Substituieren und Auswerten der zeitlichen Ableitung ergibt
( ∇ 2 + ω 2 c 2 ) ψ ( x , y , z ) = 0. {\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0.}
Die Funktion ψ {\displaystyle \psi }
bezieht sich hier auf dasjenige Feld (das elektrische Feld oder das magnetische Feld), das keine Vektorkomponente in der Längsrichtung hat – das „transversale“ Feld. Es ist eine Eigenschaft aller Eigenmoden des elektromagnetischen Wellenleiters, dass mindestens eines der beiden Felder transversal ist. Die z-Achse ist so definiert, dass sie entlang der Achse des Hohlleiters verläuft.
Die „longitudinale“ Ableitung im Laplacian kann weiter reduziert werden, indem nur Funktionen der Form
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y ) e i ( ω t – k z z ) , {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},}
wobei k z {\displaystyle k_{z}}
die longitudinale Wellenzahl ist, ergibt sich ( ∇ T 2 – k z 2 + ω 2 c 2 ) ψ ( x , y , z ) = 0 , {\displaystyle (\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}})\psi (x,y,z)=0,}
wobei der tiefgestellte Index T einen 2-dimensionalen transversalen Laplacian bezeichnet. Der letzte Schritt hängt von der Geometrie des Hohlleiters ab. Die am einfachsten zu lösende Geometrie ist der Rechteckhohlleiter. In diesem Fall kann der Rest des Laplacian zu seiner charakteristischen Gleichung ausgewertet werden, indem Lösungen der Form
ψ ( x , y , z , t ) = ψ 0 e i ( ω t – k z z – k x x – k y y ) betrachtet werden. {displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}.}
Damit ist für die rechteckige Führung der Laplacian ausgewertet, und wir erhalten
ω 2 c 2 = k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}
Die Transversalwellenzahlen lassen sich aus den Randbedingungen der stehenden Welle für einen rechteckigen geometrischen Querschnitt mit den Abmessungen a und b bestimmen:
k x = n π a , {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{a}},}
k y = m π b , {\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{b}},}
wobei n und m die beiden ganzen Zahlen sind, die eine bestimmte Eigenform darstellen. Führen wir die letzte Substitution durch, erhalten wir
ω 2 c 2 = ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 + k z 2 , {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2},}
Das ist die Dispersionsrelation im Rechteckhohlleiter. Die Grenzfrequenz ω c {\displaystyle \omega _{c}}
ist die Grenzfrequenz zwischen Ausbreitung und Dämpfung, die der Frequenz entspricht, bei der die longitudinale Wellenzahl k z {\displaystyle k_{z}}
Null ist. Sie ist gegeben durch ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 {\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}}
