Unendlichkeit ist ein mächtiges Konzept. Philosophen, Künstler, Theologen, Wissenschaftler und Menschen aus allen Bereichen des Lebens haben sich im Laufe der Geschichte mit den Ideen des Unendlichen und Ewigen auseinandergesetzt.
Unendlichkeit ist auch in der Mathematik ein extrem wichtiges Konzept. Unendlichkeit zeigt sich fast sofort im Umgang mit unendlich großen Mengen – Sammlungen von Zahlen, die ewig weitergehen, wie die natürlichen oder die zählenden Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, und so weiter.
Unendliche Mengen sind jedoch nicht alle gleich. Es gibt tatsächlich viele verschiedene Größen oder Stufen der Unendlichkeit; einige unendliche Mengen sind weitaus größer als andere unendliche Mengen.
Die Theorie der unendlichen Mengen wurde im späten neunzehnten Jahrhundert von dem brillanten Mathematiker Georg Cantor entwickelt. Viele von Cantors Ideen und Theoremen bilden das Fundament der modernen Mathematik. Eine von Cantors coolsten Innovationen war eine Möglichkeit, die Größe von unendlichen Mengen zu vergleichen und diese Idee zu nutzen, um zu zeigen, dass es viele Unendlichkeiten gibt.
Um zu sehen, wie Cantors Theorie funktioniert, fangen wir damit an, dass wir sagen, dass zwei Mengen gleich groß sind, wenn wir eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz oder Paarung der Elemente der beiden Mengen herstellen können. Wir können klein anfangen – die Mengen {a, b, c} und {1, 2, 3} sind gleich groß, da ich ihre Elemente paaren kann:
Business Insider
Das ist etwas zu kompliziert, wenn man zwei kleine endliche Mengen wie diese vergleicht – es ist offensichtlich, dass sie beide drei Elemente haben und daher gleich groß sind. Wenn wir jedoch unendliche Mengen betrachten, können wir nicht einfach auf die Mengen schauen und die Anzahl der Elemente zählen, da die Mengen ewig weitergehen. Daher wird diese formalere Definition sehr hilfreich sein.
Abzählbar unendliche Mengen
Unser Grundniveau der Unendlichkeit wird von unserer grundlegendsten unendlichen Menge kommen: den zuvor erwähnten natürlichen Zahlen. Eine Menge, die genauso groß ist wie die natürlichen Zahlen – die in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden kann – wird abzählbar unendlich genannt.
Eine überraschende Anzahl von unendlichen Mengen ist tatsächlich abzählbar. Auf den ersten Blick sieht die Menge der ganzen Zahlen, die sich aus den natürlichen Zahlen, ihren negativen Gegenstücken und der Null zusammensetzt, so aus, als müsste sie größer sein als die natürlichen Zahlen. Schließlich haben wir für jede unserer natürlichen Zahlen, wie 2 oder 10, einfach eine negative Zahl, -2 oder -10, hinzugefügt. Aber die ganzen Zahlen sind abzählbar – wir können einen Weg finden, jeder natürlichen Zahl genau eine ganze Zahl zuzuordnen, indem wir zwischen positiven und negativen Zahlen hin- und herspringen:
Business Insider
Wenn wir das oben vorgeschlagene Muster fortführen, dann ordnen wir am Ende jeder natürlichen Zahl genau eine ganze Zahl zu, wobei jede ganze Zahl einer natürlichen Zahl zugeordnet ist, wodurch wir die Art von Eins-zu-Eins-Paarung erhalten, die bedeutet, dass die beiden Mengen die gleiche Größe haben.
Das ist ein wenig seltsam, da die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen sind – jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Aber obwohl die natürlichen Zahlen vollständig in den ganzen Zahlen enthalten sind, haben die beiden Mengen tatsächlich die gleiche Größe.
Die rationalen Zahlen sind die Zahlen, die als Bruch oder Verhältnis von zwei ganzen Zahlen geschrieben werden können: 1/2, -5/4, 3 (was als 3/1 geschrieben werden kann) und dergleichen. Dies ist eine weitere unendliche Menge, die so aussieht, als sollte sie größer sein als die natürlichen Zahlen – zwischen zwei beliebigen natürlichen Zahlen gibt es unendlich viele Brüche.
Aber wie bei den ganzen Zahlen können wir immer noch eine Eins-zu-Eins-Paarung bilden, indem wir jeder rationalen Zahl genau eine natürliche Zahl zuordnen. Beginnen Sie damit, ein Raster der rationalen Zahlen zu erstellen: jede Zeile hat eine bestimmte natürliche Zahl im unteren Teil des Bruches – die Nenner der ersten Zeile sind alle 1en, die der zweiten Zeile alle 2en. Jede Spalte hat eine bestimmte Zahl im oberen Teil des Bruchs – die Zähler der ersten Spalte sind alle 1en, die der zweiten Spalte alle 2en. Dieses Raster deckt alle positiven rationalen Zahlen ab, da jedes Verhältnis von zwei positiven ganzen Zahlen irgendwo im Raster auftauchen wird:
Business Insider
Wir erhalten unsere Entsprechung zwischen den Rationalen und den Natürlichen, indem wir uns in einem ZickzackZickzack-Muster durch das Gitter bewegen und zählen. Brüche wie 2/2 und 4/6, die nur alternative Darstellungen von Zahlen sind, die wir bereits gesehen haben (2/2 ist dasselbe wie 1/1, und 4/6 ist dasselbe wie 2/3), werden übersprungen:
Business Insider
So, die erste rationale Zahl ist 1/1, die zweite ist 2/1, die dritte ist 1/2, die vierte ist 1/3, wir überspringen 2/2, da dies nur auf 1/1 reduziert, die fünfte ist 3/1, und so weiter.
Wenn wir so weitermachen, wird jeder rationalen Zahl eine eindeutige natürliche Zahl zugeordnet, was zeigt, dass die rationalen Zahlen wie die ganzen Zahlen auch eine abzählbar unendliche Menge sind.
Auch wenn wir alle diese Brüche und negativen Zahlen zu unserer ursprünglichen Grundmenge der natürlichen Zahlen hinzugefügt haben, befinden wir uns immer noch auf unserer ersten, grundlegenden Ebene der Unendlichkeit.
Unabzählbar unendliche Mengen
Nun betrachten wir die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen sind die Sammlung von Zahlen, die mit einer Art dezimaler Erweiterung ausgeschrieben werden können. Zu den reellen Zahlen gehören auch die rationalen Zahlen – jeder Bruch von zwei ganzen Zahlen kann herausgeteilt und in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. 1/2 = 0,5 und 1/3 = 0,3333…, wobei letzteres ewig mit 3en weitergeht. Zu den reellen Zahlen gehören auch irrationale Zahlen oder Dezimalzahlen, die ewig weitergehen, ohne sich auf ein sich wiederholendes Muster oder ein Ende einzulassen. π ist irrational – seine dezimale Erweiterung beginnt mit dem bekannten 3,14159…, geht aber ewig weiter, wobei die Ziffern wild umherschwirren.
Wir konnten clevere Entsprechungen mit den natürlichen Zahlen für die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen finden und zeigen, dass sie alle abzählbar unendlich und gleich groß sind. Da könnten wir denken, dass wir etwas Ähnliches mit den reellen Zahlen machen können.
Das ist jedoch unmöglich. Die reellen Zahlen sind eine unabzählbar unendliche Menge – es gibt tatsächlich viel mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen, und es gibt keine Möglichkeit, die reellen und die natürlichen Zahlen so aneinanderzureihen, dass wir jeder natürlichen Zahl genau eine reelle Zahl zuordnen.
Um das zu sehen, verwenden wir eine extrem mächtige Technik in der Mathematik: den Beweis durch Widerspruch. Wir beginnen mit der Hypothese, dass das Gegenteil unserer Behauptung wahr ist – dass die reellen Zahlen abzählbar unendlich sind, und dass es daher einen Weg gibt, alle reellen Zahlen mit den natürlichen Zahlen in einer Eins-zu-eins-Entsprechung aufzustellen. Wir werden sehen, dass es nicht darauf ankommt, wie diese Korrespondenz genau aussieht, sagen wir also, dass die ersten Paare in der Korrespondenz die folgenden sind:
Business Insider
Unsere große Annahme hier ist, dass jede einzelne reelle Zahl irgendwo auf dieser Liste auftaucht. Wir werden nun zeigen, dass dies tatsächlich falsch ist, indem wir eine neue Zahl machen, die nicht in der Liste auftaucht.
Für jede natürliche Zahl n schauen wir uns die entsprechende reelle Zahl auf der Liste an und nehmen die Stelle n Stellen rechts vom Komma der reellen Zahl. Nehmen Sie also die erste Stelle der ersten Zahl, die zweite Stelle der zweiten Zahl, die dritte Stelle der dritten Zahl und so weiter:
Business Insider
Aus unserer ersten reellen Zahl erhalten wir eine 5, unsere zweite Zahl eine 3 und unsere dritte Zahl eine 1. Wir machen eine neue Zahl, indem wir jede dieser Ziffern nehmen und eine 1 dazu addieren (und eine 0, wenn meine ursprüngliche Ziffer eine 9 ist), was uns die Zahl 0.64207… gibt, und so weiter für alle anderen Zahlen auf unserer Liste.
Diese neue „diagonale“ Zahl ist definitiv eine reale Zahl – sie hat eine Dezimal-Erweiterung. Aber sie unterscheidet sich von allen Zahlen auf der Liste: ihre erste Ziffer unterscheidet sich von der ersten Ziffer unserer ersten Zahl, ihre zweite Ziffer unterscheidet sich von der zweiten Ziffer unserer zweiten Zahl, und so weiter.
Wir haben eine neue reelle Zahl erzeugt, die nicht in unserer Liste auftaucht. Das widerspricht unserer Hauptannahme, dass jede reelle Zahl irgendwo in der Korrespondenz auftaucht.
So…
Wir haben vorher erwähnt, dass die Details der Korrespondenz keine Rolle spielen. Das liegt daran, dass egal, welche Zuordnung wir zwischen den reellen Zahlen und den natürlichen Zahlen versuchen, wir mit dem gleichen diagonalen Trick wie oben eine Zahl erzeugen können, die nicht in der Korrespondenz auftaucht.
Das zeigt, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar unendlich sind. Egal, was wir versuchen, es gibt keine Möglichkeit, eine Eins-zu-Eins-Paarung der natürlichen Zahlen und der reellen Zahlen herzustellen. Diese beiden Mengen sind nicht gleich groß. Dies führt zu der tiefgreifenden und etwas unangenehmen Erkenntnis, dass es mehrere Ebenen der Unendlichkeit geben muss – die natürlichen Zahlen und die reellen Zahlen sind beide unendliche Mengen, aber die reellen Zahlen bilden eine Menge, die weitaus größer ist als die natürlichen Zahlen – sie repräsentieren eine „höhere Ebene“ der Unendlichkeit.