Relativistischer longitudinaler DopplereffektBearbeiten
Die relativistische Dopplerverschiebung für den longitudinalen Fall, bei dem sich Quelle und Empfänger direkt aufeinander zu oder voneinander weg bewegen, wird oft so hergeleitet, als ob es sich um das klassische Phänomen handeln würde, aber modifiziert durch die Hinzufügung eines Zeitdilatationsterms. Dies ist der Ansatz, der in Physik- oder Mechanik-Lehrbüchern für Erstsemester wie denen von Feynman oder Morin verwendet wird.
Nach diesem Ansatz zur Herleitung des relativistischen longitudinalen Dopplereffekts nehmen wir an, dass sich der Empfänger und die Quelle mit einer relativen Geschwindigkeit v voneinander wegbewegen,}
, gemessen von einem Beobachter am Empfänger oder an der Quelle (Die hier verwendete Vorzeichenkonvention besagt, dass v {\displaystyle v\,}
negativ ist, wenn sich Empfänger und Quelle aufeinander zu bewegen).
Betrachten Sie das Problem im Bezugssystem der Quelle.
Angenommen, eine Wellenfront kommt beim Empfänger an. Die nächste Wellenfront ist dann in einem Abstand λ s = c / f s {\displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s}\,}
vom Empfänger entfernt (wobei λ s {\displaystyle \lambda _{s}\,}
ist die Wellenlänge, f s {\displaystyle f_{s}\,}
ist die Frequenz der Wellen, die die Quelle aussendet, und c {\displaystyle c\,}
ist die Lichtgeschwindigkeit).
Die Wellenfront bewegt sich mit der Geschwindigkeit c {\displaystyle c\,}
, aber gleichzeitig entfernt sich der Empfänger mit der Geschwindigkeit v {\displaystyle v}
während einer Zeit t s = 1 / f s = λ s / c {\displaystyle t_{s}=1/f_{s}=\lambda _{s}/c}
, also
wobei β = v / c {\displaystyle \beta =v/c\,}
die Geschwindigkeit des Empfängers in Bezug auf die Lichtgeschwindigkeit ist, und wobei t r , s {\displaystyle t_{r,s}}
die Periode der auf den Empfänger auftreffenden Lichtwellen ist, wie sie im Bild der Quelle beobachtet wird. Die zugehörige Frequenz f r , s {\displaystyle f_{r,s}}
ist: f r , s = 1 / t r , s = f s ( 1 – β ) . {\displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).}
Bislang waren die Gleichungen identisch mit denen des klassischen Dopplereffekts mit einer stationären Quelle und einem bewegten Empfänger.
Aufgrund relativistischer Effekte sind die Uhren am Empfänger jedoch relativ zu den Uhren an der Quelle zeitlich gedehnt: t r = t r , s / γ {\displaystyle t_{r}=t_{r,s}/\gamma }
, wobei γ = 1 / 1 – β 2 {\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}
ist der Lorentzfaktor. Um zu wissen, welche Zeit gedehnt wird, erinnern wir uns, dass t r , s {\displaystyle t_{r,s}}
die Zeit in dem Rahmen ist, in dem sich die Quelle in Ruhe befindet. Der Empfänger misst die empfangene Frequenz nach Gl. 1: f r = f r , s γ {\displaystyle f_{r}=f_{r,s}\gamma }
= 1 – β 1 – β 2 f s {\displaystyle ={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}}
= 1 – β 1 + β f s .
Das Verhältnis
f s f r = 1 + β 1 – β {\displaystyle {\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}
Bezeichnet den Dopplerfaktor der Quelle relativ zum Empfänger. (Diese Terminologie ist besonders in der Astrophysik verbreitet: siehe relativistisches Beamen.)
Die entsprechenden Wellenlängen sind durch
Gl. 2: λ r λ s = f s f r = 1 + β 1 – β , {\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }},}
Identische Ausdrücke für die relativistische Dopplerverschiebung erhält man, wenn man die Analyse im Bezugssystem des Empfängers mit einer bewegten Quelle durchführt. Dies stimmt mit den Erwartungen des Relativitätsprinzips überein, das besagt, dass das Ergebnis nicht davon abhängen kann, welches Objekt als das ruhende betrachtet wird. Im Gegensatz dazu ist der klassische nichtrelativistische Dopplereffekt davon abhängig, ob die Quelle oder der Empfänger in Bezug auf das Medium stationär ist.
Transversaler DopplereffektBearbeiten
Angenommen, eine Quelle und ein Empfänger nähern sich beide in gleichförmiger Trägheitsbewegung auf Bahnen, die nicht kollidieren. Der transversale Dopplereffekt (TDE) kann sich beziehen auf (a) die von der Speziellen Relativitätstheorie vorhergesagte nominelle Blauverschiebung, die auftritt, wenn sich Sender und Empfänger an ihren Punkten der größten Annäherung befinden; oder (b) die von der Speziellen Relativitätstheorie vorhergesagte nominelle Rotverschiebung, wenn der Empfänger den Sender als an seiner größten Annäherung befindlich sieht. Der transversale Dopplereffekt ist eine der wichtigsten neuen Vorhersagen der speziellen Relativitätstheorie.
Ob ein wissenschaftlicher Bericht die TDE als Rotverschiebung oder Blauverschiebung beschreibt, hängt von den Besonderheiten der jeweiligen Versuchsanordnung ab. Zum Beispiel beschrieb Einsteins ursprüngliche Beschreibung der TDE im Jahr 1907 einen Experimentator, der auf das Zentrum (den nächstgelegenen Punkt) eines Strahls von „Kanalstrahlen“ (ein Strahl von positiven Ionen, der von bestimmten Arten von Gasentladungsröhren erzeugt wird) schaut. Nach der Speziellen Relativitätstheorie würde die abgestrahlte Frequenz der sich bewegenden Ionen um den Lorentz-Faktor reduziert werden, so dass die empfangene Frequenz um denselben Faktor reduziert (rotverschoben) wäre.
Auf der anderen Seite beschrieb Kündig (1963) ein Experiment, bei dem ein Mössbauer-Absorber auf einer schnellen Kreisbahn um einen zentralen Mössbauer-Strahler gedreht wurde. Wie unten erläutert, führte diese Versuchsanordnung zu Kündigs Messung einer Blauverschiebung.
Quelle und Empfänger befinden sich an ihren AnnäherungspunktenBearbeiten
In diesem Szenario ist der Punkt der größten Annäherung rahmenunabhängig und stellt den Moment dar, in dem es keine Änderung der Entfernung gegenüber der Zeit gibt. Abbildung 2 zeigt, dass die Einfachheit der Analyse dieses Szenarios von dem Rahmen abhängt, in dem es analysiert wird.
- Abbildung 2a. Wenn wir das Szenario in dem Rahmen des Empfängers analysieren, stellen wir fest, dass die Analyse komplizierter ist, als sie sein sollte. Die scheinbare Position eines Himmelsobjekts ist aufgrund der Bewegung des Objekts während der Zeit, die sein Licht braucht, um einen Beobachter zu erreichen, von seiner wahren Position (oder geometrischen Position) verschoben. Die Quelle würde relativ zum Empfänger zeitgedehnt sein, aber die durch diese Zeitdilatation implizierte Rotverschiebung würde durch eine Blauverschiebung aufgrund der Längskomponente der relativen Bewegung zwischen dem Empfänger und der scheinbaren Position der Quelle ausgeglichen werden.
- Abbildung 2b. Es ist viel einfacher, wenn wir stattdessen das Szenario aus dem Rahmen der Quelle analysieren. Ein Beobachter, der sich an der Quelle befindet, weiß aus der Aufgabenstellung, dass sich der Empfänger an dem ihm am nächsten gelegenen Punkt befindet. Das bedeutet, dass der Empfänger keine longitudinale Bewegungskomponente hat, die die Analyse verkompliziert. (d.h. dr/dt = 0, wobei r der Abstand zwischen Empfänger und Quelle ist) Da die Uhren des Empfängers relativ zur Quelle zeitdilatiert sind, ist das Licht, das der Empfänger empfängt, um den Faktor gamma blauverschoben. Mit anderen Worten,
Gl. 3: f r = γ f s {\displaystyle f_{r}=\gamma f_{s}}
Empfänger sieht die Quelle als an ihrem nächstgelegenen Punkt
Dieses Szenario ist äquivalent dazu, dass der Empfänger in einem direkten rechten Winkel zum Pfad der Quelle schaut. Die Analyse dieses Szenarios wird am besten aus dem Blickwinkel des Empfängers durchgeführt. Abbildung 3 zeigt, dass der Empfänger von dem Licht beleuchtet wird, das aus der Zeit stammt, als die Quelle dem Empfänger am nächsten war, obwohl sich die Quelle weiterbewegt hat. Weil die Uhr der Quelle zeitlich gedehnt ist, gemessen im Rahmen des Empfängers, und weil es keine longitudinale Komponente ihrer Bewegung gibt, ist das Licht der Quelle, das von diesem nächstgelegenen Punkt ausgesendet wird, mit der Frequenz rotverschoben
Gleichung 4: f r = f s γ {\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}
In der Literatur wird in den meisten Berichten über die transversale Dopplerverschiebung der Effekt dahingehend analysiert, dass der Empfänger direkt rechtwinklig auf den Weg der Quelle gerichtet ist, die Quelle also an ihrem nächstgelegenen Punkt ist und eine Rotverschiebung beobachtet wird.
Punkt der NullfrequenzverschiebungBearbeiten
Da in dem Fall, in dem sich die träge bewegte Quelle und der Empfänger geometrisch am nächsten zueinander befinden, der Empfänger eine Blauverschiebung beobachtet, während in dem Fall, in dem der Empfänger die Quelle an ihrem nächsten Punkt sieht, der Empfänger eine Rotverschiebung beobachtet, muss es offensichtlich einen Punkt geben, an dem die Blauverschiebung in eine Rotverschiebung übergeht. In Abb. 2 bewegt sich das Signal senkrecht zum Empfängerpfad und ist blauverschoben. In Abb. 3 verläuft das Signal senkrecht zum Quellenpfad und ist rotverschoben.
Wie in Abb. 4 zu sehen ist, tritt die Nullfrequenzverschiebung für einen Impuls auf, der den kürzesten Weg von der Quelle zum Empfänger zurücklegt. Betrachtet man das Bild, bei dem Quelle und Empfänger die gleiche Geschwindigkeit haben, so wird dieser Impuls senkrecht zum Weg der Quelle ausgesendet und senkrecht zum Weg des Empfängers empfangen. Der Impuls wird kurz vor dem Punkt der größten Annäherung ausgesendet und kurz danach empfangen.
Ein Objekt in kreisförmiger Bewegung um das andere
Abbildung 5 zeigt zwei Varianten dieses Szenarios. Beide Varianten können mit einfachen Zeitdilatationsargumenten analysiert werden. Abbildung 5a ist im Wesentlichen äquivalent zu dem in Abbildung 2b beschriebenen Szenario, und der Empfänger beobachtet das Licht der Quelle als um den Faktor γ bläulich verschoben.
. Abbildung 5b ist im Wesentlichen äquivalent zu dem in Abbildung 3 beschriebenen Szenario, wobei das Licht rotverschoben ist.
Die einzige scheinbare Komplikation ist, dass sich die umlaufenden Objekte in einer beschleunigten Bewegung befinden. Ein beschleunigtes Teilchen hat kein Inertialsystem, in dem es sich immer in Ruhe befindet. Es lässt sich aber immer ein Inertialsystem finden, das sich momentan mit dem Teilchen in Bewegung befindet. Dieser Rahmen, der Momentary Comoving Reference Frame (MCRF), ermöglicht die Anwendung der Speziellen Relativitätstheorie auf die Analyse von beschleunigten Teilchen. Schaut ein inertialer Beobachter auf eine beschleunigte Uhr, so ist für die Berechnung der Zeitdilatation nur die momentane Geschwindigkeit der Uhr wichtig.
Das Umgekehrte gilt jedoch nicht. Die Analyse von Szenarien, in denen sich beide Objekte in beschleunigter Bewegung befinden, erfordert eine etwas anspruchsvollere Analyse. Das Nichtverstehen dieses Punktes hat zu Verwirrung und Missverständnissen geführt.
Quelle und Empfänger befinden sich beide in einer Kreisbewegung um ein gemeinsames ZentrumBearbeiten
Angenommen, Quelle und Empfänger befinden sich an gegenüberliegenden Enden eines sich drehenden Rotors, wie in Abb. 6 dargestellt. Sowohl kinematische Argumente (Spezielle Relativitätstheorie) als auch Argumente, die auf der Feststellung beruhen, dass es keinen Potentialunterschied zwischen Quelle und Empfänger im Pseudogravitationsfeld des Rotors gibt (Allgemeine Relativitätstheorie), führen zu der Schlussfolgerung, dass es keine Dopplerverschiebung zwischen Quelle und Empfänger geben sollte.
Im Jahr 1961 führten Champeney und Moon ein Mössbauer-Rotorexperiment durch, das genau dieses Szenario testete, und fanden heraus, dass der Mössbauer-Absorptionsprozess von der Rotation unbeeinflusst war. Sie schlussfolgerten, dass ihre Ergebnisse die Spezielle Relativitätstheorie unterstützten.
Diese Schlussfolgerung löste einige Kontroversen aus. Ein gewisser hartnäckiger Kritiker der Relativitätstheorie behauptete, dass das Experiment zwar mit der allgemeinen Relativitätstheorie übereinstimme, aber die spezielle Relativitätstheorie widerlege, da sich Sender und Absorber in gleichförmiger Relativbewegung befänden und die spezielle Relativitätstheorie verlange, dass eine Dopplerverschiebung beobachtet werde. Der Irrtum dieses Kritikers war, wie im Abschnitt Punkt der Nullfrequenzverschiebung gezeigt, dass es einfach nicht stimmt, dass eine Dopplerverschiebung immer zwischen zwei gleichförmig relativ bewegten Bildern beobachtet werden muss. Darüber hinaus hängt, wie in Abschnitt Quelle und Empfänger befinden sich an ihren Punkten der größten Annäherung gezeigt, die Schwierigkeit der Analyse eines relativistischen Szenarios oft von der Wahl des Bezugsrahmens ab. Der Versuch, das Szenario im Rahmen des Empfängers zu analysieren, erfordert viel mühsame Algebra. Es ist viel einfacher, fast trivial, das Fehlen der Dopplerverschiebung zwischen Sender und Absorber im Laborrahmen festzustellen.
In der Tat sagt das Experiment von Champeney und Moon jedoch nichts über die spezielle Relativitätstheorie aus, weder pro noch contra. Aufgrund der Symmetrie des Aufbaus stellt sich heraus, dass praktisch jede denkbare Theorie der Dopplerverschiebung zwischen gleichförmig bewegten Einzelbildern in diesem Experiment zu einem Nullergebnis führen muss.
Anstatt gleich weit vom Zentrum entfernt zu sein, nehmen wir an, dass sich Sender und Absorber in unterschiedlichen Abständen vom Zentrum des Rotors befinden. Für einen Emitter mit Radius R ′ {\displaystyle R‘}
und den Absorber am Radius R {\displaystyle R}
irgendwo auf dem Rotor, das Verhältnis der Emitterfrequenz, ν ′ , {\displaystyle \nu ‚,}
und die Absorberfrequenz, ν , {\displaystyle \nu ,}
ist gegeben durch Gl. 5: ν ′ ν = ( 1 – R 2 ω 2 1 – R ′ 2 ω 2 ) 1 / 2 {\displaystyle {\frac {\nu ‚}{\nu }}=\left({\frac {1-R^{2}\omega ^{2}}{1-R’^{2}\omega ^{2}}\right)^{1/2}}
wobei ω {\displaystyle \omega }
ist die Winkelgeschwindigkeit des Rotors. Quelle und Sender müssen nicht 180° voneinander entfernt sein, sondern können sich in einem beliebigen Winkel zum Zentrum befinden.
Bewegung in eine beliebige RichtungBearbeiten
Die im Abschnitt Relativistischer longitudinaler Dopplereffekt verwendete Analyse kann auf einfache Weise erweitert werden, um die Dopplerverschiebung für den Fall zu berechnen, dass die Trägheitsbewegungen von Quelle und Empfänger in einem beliebigen Winkel stehen.Abb. 7 zeigt das Szenario aus der Sicht des Empfängers, wobei sich die Quelle mit der Geschwindigkeit v {\displaystyle v}
unter einem Winkel θ r bewegt
gemessen im Rahmen des Empfängers. Die radiale Komponente der Bewegung der Quelle entlang der Sichtlinie ist gleich v cos θ r . {displaystyle v}cos {\theta _{r}}.}
Die untenstehende Gleichung kann als die klassische Dopplerverschiebung für eine stationäre und bewegte Quelle, modifiziert durch den Lorentzfaktor γ, interpretiert werden: {\displaystyle \gamma :}
Gl. 6: f r = f s γ ( 1 + β cos θ r ) . {\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}.}
Im Fall wenn θ r = 90 ∘ {\displaystyle \theta _{r}=90^{\circ }}
, erhält man den transversalen Dopplereffekt: f r = f s γ . {\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.\,}
In seiner 1905 veröffentlichten Arbeit über die spezielle Relativitätstheorie erhielt Einstein eine etwas anders aussehende Gleichung für die Dopplerverschiebungsgleichung. Nach Änderung der Variablennamen in Einsteins Gleichung, um mit den hier verwendeten konsistent zu sein, lautet seine Gleichung
Gl. 7: f r = γ ( 1 – β cos θ s ) f s . {\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)f_{s}.}
Die Unterschiede rühren daher, dass Einstein den Winkel θ s {\displaystyle \theta _{s}}
mit Bezug auf das Quellen-Ruhesystem und nicht auf das Empfänger-Ruhesystem. θ s {\displaystyle \theta _{s}}
ist nicht gleich θ r {\displaystyle \theta _{r}}
wegen des Effekts der relativistischen Aberration. Die Gleichung für die relativistische Aberration lautet: Gl. 8: cos θ r = cos θ s – β 1 – β cos θ s {\displaystyle \cos \theta _{r}={\frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}}},}
Setzt man die relativistische Aberrationsgleichung Gleichung 8 in Gleichung 6 ein, erhält man Gleichung 7, was die Konsistenz dieser alternativen Gleichungen für die Dopplerverschiebung demonstriert.
Setzt man θ r = 0 {\displaystyle \theta _{r}=0}
in Gleichung 6 oder θ s = 0 {\displaystyle \theta _{s}=0}
in Gleichung 7 ergibt Gleichung 1, den Ausdruck für die relativistische longitudinale Dopplerverschiebung.
Ein Vier-Vektoren-Ansatz zur Ableitung dieser Ergebnisse findet sich in Landau und Lifshitz (2005).