Satz des Pythagoras

Kosinussatz

Der Abstand s von zwei Punkten (r1, θ1) und (r2, θ2) in Polarkoordinaten ist durch das Kosinussatzgesetz gegeben. Innenwinkel Δθ = θ1-θ2.

Hauptartikel: Kosinussatz

Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes über die Seitenlängen eines beliebigen Dreiecks, dem Kosinussatz:

a 2 + b 2 – 2 a b cos θ = c 2 , {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},}

wobei θ {\displaystyle \theta } der Winkel zwischen den Seiten a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} ist.

Beliebiges Dreieck

Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras durch Tâbit ibn Qorra. Untere Tafel: Spiegelung des Dreiecks CAD (oben) zum Dreieck DAC, ähnlich dem Dreieck ABC (oben).

An jedem gewählten Winkel eines allgemeinen Dreiecks mit den Seiten a, b, c sei ein gleichschenkliges Dreieck so einzuschreiben, dass die gleichen Winkel an seiner Basis θ gleich dem gewählten Winkel sind. Angenommen, der gewählte Winkel θ liegt der mit c bezeichneten Seite gegenüber. Das Einschreiben des gleichschenkligen Dreiecks bildet das Dreieck CAD mit dem Winkel θ gegenüber der Seite b und mit der Seite r entlang c. Ein zweites Dreieck wird mit dem Winkel θ gegenüber der Seite a und einer Seite mit der Länge s entlang c gebildet, wie in der Abbildung gezeigt. Thābit ibn Qurra erklärte, dass die Seiten der drei Dreiecke wie folgt zusammenhängen:

a 2 + b 2 = c ( r + s ) . a^{2}+b^{2}=c(r+s)}.

Wenn der Winkel θ sich π/2 nähert, verengt sich die Basis des gleichschenkligen Dreiecks, und die Längen r und s überlappen sich immer weniger. Wenn θ = π/2 ist, wird ADB zu einem rechtwinkligen Dreieck, r + s = c, und der ursprüngliche Satz des Pythagoras ist wiederhergestellt.

Ein Beweis beobachtet, dass das Dreieck ABC die gleichen Winkel wie das Dreieck CAD hat, aber in umgekehrter Reihenfolge. (Die beiden Dreiecke teilen sich den Winkel am Scheitelpunkt B, enthalten beide den Winkel θ und haben somit auch den gleichen dritten Winkel nach dem Dreieckspostulat.) Folglich ist ABC ähnlich wie die Spiegelung von CAD, das Dreieck DAC in der unteren Tafel. Nimmt man das Verhältnis der gegenüberliegenden und benachbarten Seiten zu θ,

c b = b r . {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}}.}

Gleichermaßen gilt für die Spiegelung des anderen Dreiecks,

c a = a s . {\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}\ .}

Brüche auflösen und diese beiden Beziehungen addieren:

c s + c r = a 2 + b 2 , {\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2}\ ,}

das gewünschte Ergebnis.

Der Satz bleibt gültig, wenn der Winkel θ {\displaystyle \theta } stumpf ist, so dass sich die Längen r und s nicht überschneiden.

Allgemeine Dreiecke mit Parallelogrammen

Verallgemeinerung für beliebige Dreiecke,
grüne Fläche = blaue Fläche

Konstruktion zum Beweis der Parallelogramm-Verallgemeinerung

Der Flächensatz von Pappus ist eine weitere Verallgemeinerung, die für Dreiecke gilt, die keine rechtwinkligen Dreiecke sind, wobei anstelle von Quadraten Parallelogramme auf den drei Seiten verwendet werden (Quadrate sind natürlich ein Spezialfall). Die obere Abbildung zeigt, dass für ein skalenförmiges Dreieck der Flächeninhalt des Parallelogramms auf der längsten Seite die Summe der Flächeninhalte der Parallelogramme auf den beiden anderen Seiten ist, vorausgesetzt, das Parallelogramm auf der langen Seite ist wie angegeben konstruiert (die mit Pfeilen gekennzeichneten Maße sind gleich und bestimmen die Seiten des unteren Parallelogramms). Dieser Ersatz von Quadraten durch Parallelogramme hat eine deutliche Ähnlichkeit mit dem ursprünglichen Satz des Pythagoras und wurde von Pappus von Alexandria im Jahr 4 n. Chr. als Verallgemeinerung betrachtet

Die untere Abbildung zeigt die Elemente des Beweises. Konzentrieren Sie sich auf die linke Seite der Abbildung. Das linke grüne Parallelogramm hat den gleichen Flächeninhalt wie der linke, blaue Teil des unteren Parallelogramms, weil beide die gleiche Basis b und Höhe h haben. Das linke grüne Parallelogramm hat aber auch den gleichen Flächeninhalt wie das linke grüne Parallelogramm der oberen Abbildung, weil sie die gleiche Basis (die linke obere Seite des Dreiecks) und die gleiche Höhe normal zu dieser Seite des Dreiecks haben. Wiederholt man das Argument für die rechte Seite der Figur, so hat das untere Parallelogramm den gleichen Flächeninhalt wie die Summe der beiden grünen Parallelogramme.

Festkörpergeometrie

Hauptartikel: Festkörpergeometrie

Der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen setzt die Diagonale AD in Beziehung zu den drei Seiten.

Ein Tetraeder mit nach außen gewandter rechtwinkliger Ecke

In Bezug auf die Festkörpergeometrie kann der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen wie folgt angewendet werden. Betrachten Sie einen rechteckigen Körper wie in der Abbildung gezeigt. Die Länge der Diagonale BD ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras als:

B D ¯ 2 = B C ¯ 2 + C D ¯ 2 , {\displaystyle {\overline {BD}}^{\,2}={\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2},}

wobei diese drei Seiten ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Unter Verwendung der horizontalen Diagonale BD und der vertikalen Kante AB wird die Länge der Diagonale AD dann durch eine zweite Anwendung des Satzes von Pythagoras gefunden als:

A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B D ¯ 2 , {\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BD}}^{\,2},}

oder man macht es in einem Schritt:

A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 + C D ¯ 2 . {\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}} .}

Dieses Ergebnis ist der dreidimensionale Ausdruck für den Betrag eines Vektors v (die Diagonale AD) in Form seiner orthogonalen Komponenten {vk} (die drei zueinander senkrechten Seiten):

‖ v ‖ 2 = ∑ k = 1 3 ‖ v k ‖ 2 . ‖ v ‖ 2 = ∑ 1 3 ‖ v ‖ 2 .

Diese einstufige Formulierung kann als Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf höhere Dimensionen angesehen werden. In Wirklichkeit ist dieses Ergebnis jedoch nur die wiederholte Anwendung des ursprünglichen Satzes von Pythagoras auf eine Folge von rechtwinkligen Dreiecken in einer Folge von orthogonalen Ebenen.

Eine wesentliche Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf drei Dimensionen ist der Satz von de Gua, benannt nach Jean Paul de Gua de Malves: Hat ein Tetraeder eine rechtwinklige Ecke (wie eine Würfelecke), dann ist das Quadrat des Flächeninhalts der der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegenden Fläche die Summe der Quadrate der Flächeninhalte der anderen drei Flächen. Dieses Ergebnis kann wie im „n-dimensionalen Satz des Pythagoras“ verallgemeinert werden:

Diese Aussage wird in drei Dimensionen durch das Tetraeder in der Abbildung illustriert. Die „Hypotenuse“ ist die Basis des Tetraeders im hinteren Teil der Abbildung, und die „Schenkel“ sind die drei Seiten, die vom Scheitelpunkt im Vordergrund ausgehen. Mit zunehmender Tiefe der Basis vom Scheitelpunkt vergrößert sich die Fläche der „Schenkel“, während die der Basis fest bleibt. Das Theorem besagt, dass, wenn diese Tiefe den Wert hat, der einen rechten Scheitelpunkt erzeugt, die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras gilt. Anders formuliert:

Gegeben ein n-rechteckiges n-dimensionales Simplex, ist das Quadrat des (n – 1)-Inhalts der Facette, die dem rechten Scheitelpunkt gegenüberliegt, gleich der Summe der Quadrate der (n – 1)-Inhalte der übrigen Facetten.

Innere Produkträume

Siehe auch: Hilbert-Raum

Vektoren, die am Parallelogrammgesetz beteiligt sind

Der Satz des Pythagoras kann auf innere Produkträume verallgemeinert werden, die Verallgemeinerungen der bekannten 2-dimensionalen und 3-dimensionalen euklidischen Räume sind. Zum Beispiel kann eine Funktion als ein Vektor mit unendlich vielen Komponenten in einem inneren Produktraum betrachtet werden, wie in der Funktionalanalysis.

In einem inneren Produktraum wird das Konzept der Rechtwinkligkeit durch das Konzept der Orthogonalität ersetzt: Zwei Vektoren v und w sind orthogonal, wenn ihr inneres Produkt ⟨ v , w ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle } ist Null. Das innere Produkt ist eine Verallgemeinerung des Punktprodukts von Vektoren. Das Punktprodukt wird als inneres Standardprodukt oder als euklidisches inneres Produkt bezeichnet. Es sind aber auch andere innere Produkte möglich.

Der Begriff der Länge wird durch den Begriff der Norm ||v| eines Vektors v ersetzt, definiert als:

‖ v ‖ ≡ ⟨ v , v ⟩ . ⟩ v ⟩ v ⟩ v ⟩ ⟩ v ⟩ v ⟩ v ⟩ v ⟩ v ⟩ v ⟩ v ⟩ v ⟩ v ⟩ v ⟩ v

In einem Innenproduktraum besagt der Satz des Pythagoras, dass für zwei beliebige orthogonale Vektoren v und w gilt

‖ v + w ‖ 2 = ‖ v ‖ 2 + ‖ w ‖ 2 . ‖ v + ‖ w ‖ 2 . \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.}

Hier sind die Vektoren v und w wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse durch die Vektorsumme v + w gegeben ist. Diese Form des Satzes von Pythagoras ist eine Folge der Eigenschaften des inneren Produkts:

‖ v + w ‖ 2 = ⟨ v + w , v + w ⟩ = ⟨ v , v ⟩ + ⟨ w , w ⟩ + ⟨ v , w ⟩ + ⟨ w , v ⟩ = ‖ v ‖ 2 + ‖ w ‖ 2 , {\displaystyle \le left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \rechts\|^{2}=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf {w,\ v} \rangle \ =\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},}

wobei die inneren Produkte der Kreuzterme wegen der Orthogonalität Null sind.

Eine weitere Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras in einem Innenproduktraum auf nicht orthogonale Vektoren ist das Parallelogrammgesetz :

2 ‖ v ‖ 2 + 2 ‖ w ‖ 2 = ‖ v + w ‖ 2 + ‖ v – w ‖ 2 , {\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|^{2}\ ,}

was besagt, dass das Doppelte der Summe der Quadrate der Längen der Seiten eines Parallelogramms die Summe der Quadrate der Längen der Diagonalen ist. Jede Norm, die diese Gleichheit erfüllt, ist ipso facto eine Norm, die einem inneren Produkt entspricht.

Die pythagoräische Identität kann auf Summen von mehr als zwei orthogonalen Vektoren erweitert werden. Wenn v1, v2, …, vn paarweise-orthogonale Vektoren in einem Raum mit innerem Produkt sind, dann ist die Anwendung des Satzes von Pythagoras auf aufeinanderfolgende Paare dieser Vektoren (wie für 3Dimensionen im Abschnitt über Festkörpergeometrie beschrieben) ergibt sich die Gleichung

‖ ∑ k = 1 n v k ‖ 2 = ∑ k = 1 n ‖ v k ‖ 2 {\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}}

Mengen von m-dimensionalen Objekten im n-dimensionalen Raum

Eine weitere Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras gilt für Lebesgue-messbare Mengen von Objekten in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen. Insbesondere ist das Quadrat des Maßes einer m-dimensionalen Menge von Objekten in einer oder mehreren parallelen m-dimensionalen Ebenen im n-dimensionalen euklidischen Raum gleich der Summe der Quadrate der Maße der orthogonalen Projektionen des Objekts/der Objekte auf alle m-dimensionalen Koordinatenteilräume.

Mathematisch gesehen:

μ m s 2 = ∑ i = 1 x μ 2 m p i {\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}}

Wobei:

μ m {\displaystyle \mu _{m}} ist ein Maß in m-Dimensionen (eine Länge in einer Dimension, eine Fläche in zwei Dimensionen, ein Volumen in drei Dimensionen usw.).
s {\displaystyle s} ist eine Menge von einem oder mehreren nicht überlappenden m-dimensionalen Objekten in einer oder mehreren parallelen m-dimensionalen Ebenen im n-dimensionalen euklidischen Raum.
μ m s {\displaystyle \mu _{ms}} ist das Gesamtmaß (Summe) der Menge der m-dimensionalen Objekte.
p {\displaystyle p} stellt eine m-dimensionale Projektion der ursprünglichen Menge auf einen orthogonalen Koordinatenunterraum dar.
μ m p i {\displaystyle \mu _{mp_{i}}} ist das Maß der m-dimensionalen Mengenprojektion auf den m-dimensionalen Koordinatenunterraum i {\displaystyle i} . Da sich Objektprojektionen auf einem Koordinatenunterraum überlappen können, muss das Maß jeder Objektprojektion in der Menge einzeln berechnet werden, dann werden die Maße aller Projektionen addiert, um das Gesamtmaß für die Menge der Projektionen auf dem gegebenen Koordinatenunterraum zu erhalten.
x {\displaystyle x} ist die Anzahl der orthogonalen, m-dimensionalen Koordinatenunterräume im n-dimensionalen Raum (Rn), auf die die m-dimensionalen Objekte projiziert werden (m ≤ n):

x = ( n m ) = n ! m ! ( n – m ) ! {\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}

Nicht-euklidische Geometrie

Hauptartikel: Nicht-euklidische Geometrie

Siehe auch: Hilbertsche Axiome

Der Satz des Pythagoras leitet sich aus den Axiomen der euklidischen Geometrie ab, und tatsächlich, wenn der Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck versagt, dann kann die Ebene, in der dieses Dreieck enthalten ist, nicht euklidisch sein. Genauer gesagt, impliziert der Satz des Pythagoras das Parallele (Fünfte) Postulat von Euklid und wird von diesem impliziert. Daher erfüllen rechtwinklige Dreiecke in einer nicht-euklidischen Geometrie nicht den Satz des Pythagoras. Zum Beispiel haben in der sphärischen Geometrie alle drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks (sagen wir a, b und c), die einen Oktanten der Einheitskugel begrenzen, die Länge π/2, und alle seine Winkel sind rechte Winkel, was den Satz des Pythagoras verletzt, weil a 2 + b 2 = 2 c 2 > c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=2c^{2}>c^{2}} .

Hier werden zwei Fälle der nicht-euklidischen Geometrie betrachtet – die sphärische Geometrie und die hyperbolische ebene Geometrie; in jedem Fall folgt, wie im euklidischen Fall für nicht-rechtwinklige Dreiecke, das Ergebnis anstelle des Satzes von Pythagoras aus dem entsprechenden Kosinussatz.

Der Satz des Pythagoras bleibt jedoch in der hyperbolischen Geometrie und der elliptischen Geometrie wahr, wenn man die Bedingung, dass das Dreieck rechtwinklig ist, durch die Bedingung ersetzt, dass zwei der Winkel die Summe des dritten Winkels bilden, z. B. A+B = C. Die Seiten stehen dann in folgender Beziehung: Die Summe der Flächen der Kreise mit den Durchmessern a und b ist gleich der Fläche des Kreises mit dem Durchmesser c.

Kugelgeometrie

Hauptartikel: Sphärische Geometrie

Kugeldreieck

Für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck auf einer Kugel mit dem Radius R (z.B. wenn γ in der Abbildung ein rechter Winkel ist), mit den Seiten a, b, c, hat die Beziehung zwischen den Seiten die Form:

cos ( c R ) = cos ( a R ) cos ( b R ) . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right).}

Diese Gleichung lässt sich als Spezialfall des sphärischen Kosinusgesetzes herleiten, das für alle sphärischen Dreiecke gilt:

cos ( c R ) = cos ( a R ) cos ( b R ) + sin ( a R ) sin ( b R ) cos γ . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cos \gamma \ .}

Indem man die Maclaurin-Reihe für die Kosinusfunktion als asymptotische Erweiterung mit dem Restterm in großer O-Schreibweise ausdrückt,

cos x = 1 – x 2 2 + O ( x 4 ) als x → 0 , {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\text{ als }}x\zu 0\ ,}

Es kann gezeigt werden, dass sich die sphärische Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks der euklidischen Form des Satzes von Pythagoras annähert, wenn der Radius R gegen unendlich geht und die Argumente a/R, b/R und c/R gegen Null tendieren. Setzt man die asymptotische Entwicklung für jeden der Kosinus in die sphärische Beziehung für ein rechtwinkliges Dreieck ein, so erhält man

1 – 1 2 ( c R ) 2 + O ( 1 R 4 ) = as R → ∞ . {displaystyle 1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {c}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)=\left\left{\text{ as }}R\zu \infty \ .}

Die Konstanten a4, b4 und c4 sind in den großen O-Resttermen aufgegangen, da sie unabhängig vom Radius R sind. Diese asymptotische Beziehung kann weiter vereinfacht werden, indem man die eingeklammerten Größen ausmultipliziert, die Einsen storniert, mit -2 durchmultipliziert und alle Fehlerterme zusammenfasst:

( c R ) 2 = ( a R ) 2 + ( b R ) 2 + O ( 1 R 4 ) als R → ∞ . {\displaystyle \left({\frac {c}{R}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}\right){\text{ as }}R\zu \infty \ .}

Nach dem Durchmultiplizieren mit R2 ergibt sich im Grenzwert, wenn der Radius R gegen unendlich geht (da der Restterm gegen Null tendiert), die euklidisch-pythagoreische Beziehung c2 = a2 + b2:

c 2 = a 2 + b 2 + O ( 1 R 2 ) als R → ∞ . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O\left({\frac {1}{R^{2}}}\right){\text{ as }}R\to \infty \ .}

Für kleine rechtwinklige Dreiecke (a, b << R) können die Kosinuswerte eliminiert werden, um einen Bedeutungsverlust zu vermeiden, so dass

sin 2 c 2 R = sin 2 a 2 R + sin 2 b 2 R – 2 sin 2 a 2 R sin 2 b 2 R . {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\sin ^{2}{\frac {b}{2R}},.}

Hyperbolische Geometrie

Hauptartikel: Hyperbolische Geometrie

Siehe auch: Hyperbolisches Dreieck und Gaußsche Krümmung

In einem hyperbolischen Raum mit gleichmäßiger Krümmung -1/R2 gilt für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln a, b und der Hypotenuse c, dass die Beziehung zwischen den Seiten die Form hat:

cosh c R = cosh a R cosh b R {\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}

wobei cosh der hyperbolische Kosinus ist. Diese Formel ist eine spezielle Form des hyperbolischen Kosinusgesetzes, das für alle hyperbolischen Dreiecke gilt:

cosh c R = cosh a R cosh b R – sinh a R sinh b R cos γ , {\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\ \sinh {\frac {b}{R}}\ \cos \gamma \ ,}

mit γ der Winkel am Scheitelpunkt gegenüber der Seite c.

Mit Hilfe der Maclaurin-Reihe für den hyperbolischen Kosinus, cosh x ≈ 1 + x2/2, kann man zeigen, dass sich die hyperbolische Beziehung für ein rechtwinkliges Dreieck der Form des Satzes von Pythagoras annähert, wenn ein hyperbolisches Dreieck sehr klein wird (d. h. wenn a, b und c gegen Null gehen).

Für kleine rechtwinklige Dreiecke (a, b << R) können die hyperbolischen Kosinus eliminiert werden, um einen Bedeutungsverlust zu vermeiden, so dass

sinh 2 c 2 R = sinh 2 a 2 R + 2 sinh 2 b 2 R sinh 2 b 2 R . {\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}

Sehr kleine Dreiecke

c 2 = a 2 + b 2 – K 3 a 2 b 2 – K 2 45 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 ) – 2 K 3 945 a 2 b 2 ( a 2 – b 2 ) 2 + O ( K 4 c 10 ) . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{\frac {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.}

Differentialgeometrie

Hauptartikel: Differentialgeometrie

Abstand zwischen infinitesimal getrennten Punkten in kartesischen Koordinaten (oben) und Polarkoordinaten (unten), gemäß dem Satz des Pythagoras

Auf einer infinitesimalen Ebene, im dreidimensionalen Raum, beschreibt der Satz des Pythagoras den Abstand zwischen zwei infinitesimal getrennten Punkten als:

d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 , {\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}

wobei ds das Element der Entfernung und (dx, dy, dz) die Komponenten des Vektors sind, der die beiden Punkte trennt. Einen solchen Raum nennt man einen euklidischen Raum. In der Riemannschen Geometrie hat jedoch eine Verallgemeinerung dieses Ausdrucks, die für allgemeine Koordinaten (nicht nur kartesische) und allgemeine Räume (nicht nur euklidische) nützlich ist, die Form:

d s 2 = ∑ i , j n g i j d x i d x j {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}

Dieser wird der metrische Tensor genannt. (Manchmal wird derselbe Begriff durch Missbrauch der Sprache auf die Menge der Koeffizienten gij angewendet.) Er kann eine Funktion der Position sein und beschreibt oft den gekrümmten Raum. Ein einfaches Beispiel ist der euklidische (ebene) Raum, ausgedrückt in krummlinigen Koordinaten. Zum Beispiel in Polarkoordinaten:

d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 . {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\.}

Ähnliche Figuren auf den drei Seiten