Calcul I - Méthode de Newton

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Section 4-13 : Méthode de Newton

La prochaine application que nous allons examiner dans ce chapitre est une application importante qui est utilisée dans de nombreux domaines. Si vous avez suivi le chapitre jusqu’ici, il est fort possible que vous ayez eu l’impression que beaucoup des applications que nous avons examinées sont juste inventées par nous pour vous faire travailler. C’est regrettable, car toutes les applications que nous avons examinées jusqu’à présent sont des applications réelles, utilisées dans des situations réelles. Le problème, c’est qu’il faut souvent avoir plus de connaissances que nous n’en avons généralement sur la science et/ou la physique qui sous-tend le problème pour pouvoir travailler sur des exemples d’applications plus significatifs. Sans ces connaissances, nous sommes coincés à faire des exemples assez simplistes qui ne semblent souvent pas du tout très réalistes et cela rend difficile de comprendre que l’application que nous regardons est une application réelle.

Cela va changer dans cette section. C’est une application que nous pouvons tous comprendre et nous pouvons tous comprendre qu’il faut faire à l’occasion même si nous ne comprenons pas la physique/science derrière une application réelle.

Dans cette section, nous allons examiner une méthode d’approximation des solutions d’équations. Nous savons tous que les équations doivent être résolues à l’occasion et, en fait, nous avons nous-mêmes résolu pas mal d’équations jusqu’à présent. Dans tous les exemples que nous avons examinés jusqu’à présent, nous avons pu trouver les solutions, mais il n’est pas toujours possible de le faire exactement et/ou de faire le travail à la main. C’est là que cette application entre en jeu. Donc, voyons en quoi consiste cette application.

Supposons que nous voulons approximer la solution de $f\left( x \right) = 0$ et supposons également que nous avons en quelque sorte trouvé une approximation initiale de cette solution disons, ${x_0}$. Cette approximation initiale n’est probablement pas si bonne que cela, en fait, il se peut qu’elle ne soit rien de plus qu’une estimation rapide que nous avons faite, et nous aimerions donc trouver une meilleure approximation. C’est assez facile à faire. Tout d’abord, nous allons obtenir la ligne tangente à$f\left( x \right)$à ${x_0}$.

Maintenant, regardez le graphique ci-dessous.

$C'est le graphique d'une fonction inconnue qui ressemble au côté droit d'une parabole s'ouvrant vers le haut et dont le sommet est sur la partie négative de l'axe des ordonnées. Le graphique montre également un point rouge à l'endroit où le graphique croise l'axe des x (c'est-à-dire la solution que nous recherchons). À une certaine distance à droite du point rouge se trouve un point nommé $x_{0}$ et au-dessus de ce point se trouve la ligne tangente au graphique à ce point. Le point où cette ligne tangente coupe l'axe des x est appelé $x_{1}$ et est plus proche du point rouge que $x_{0}$. Au-dessus de $x_{1} se trouve la ligne tangente au graphique à ce point. Le point où cette deuxième ligne tangente coupe l'axe des x est étiqueté $x_{2} et est plus proche du point rouge que $x_{1}.$

La ligne bleue (si vous lisez ceci en couleur de toute façon…) est la ligne tangente à ${x_0}$. Nous pouvons voir que cette ligne traversera l’axe $x$ beaucoup plus près de la solution réelle de l’équation que ne le fait ${x_0}$. Appelons ce point où la tangente à ${x_0}$ croise l’axe $x$ ${x_1}$ et nous utiliserons ce point comme notre nouvelle approximation de la solution.

Alors, comment trouvons-nous ce point ? Eh bien, nous connaissons ses coordonnées, $\left( {{x_1},0} \right)$, et nous savons qu’il se trouve sur la ligne tangente, donc nous branchons ce point sur la ligne tangente et nous résolvons ${x_1}$ comme suit,

Donc, nous pouvons trouver la nouvelle approximation à condition que la dérivée ne soit pas nulle à l’approximation originale.

Maintenant, nous répétons tout le processus pour trouver une approximation encore meilleure. Nous formons la ligne tangente à $f\left( x \right)$à ${x_1}$ et utilisons sa racine, que nous appellerons ${x_2}$, comme nouvelle approximation de la solution réelle. Si nous faisons cela, nous arriverons à la formule suivante.

Ce point est également représenté sur le graphique ci-dessus et nous pouvons voir sur ce graphique que si nous continuons à suivre ce processus obtiendra une séquence de nombres qui se rapprochent beaucoup de la solution réelle. Ce processus est appelé la méthode de Newton.

Voici la méthode générale de Newton

Méthode de Newton

Si ${x_n}$ est une approximation une solution de$f\left( x \right) = 0$ et si $f’\left( {{x_n}} \right) \ne 0$ la prochaine approximation est donnée par,

Ceci devrait conduire à la question de savoir quand on s’arrête ? Combien de fois devons-nous passer par ce processus ? L’un des points d’arrêt les plus courants dans le processus est de continuer jusqu’à ce que deux approximations successives soient d’accord avec un nombre donné de décimales.

Avant de travailler sur des exemples, nous devons aborder deux questions. Premièrement, nous devons vraiment résoudre $f\left( x \right) = 0$ pour que la méthode de Newton soit appliquée. Ce n’est pas vraiment tout à fait un problème, mais nous devons nous assurer que l’équation est sous cette forme avant d’utiliser la méthode.

Deuxièmement, nous devons en quelque sorte mettre la main sur une approximation initiale de la solution (c’est-à-dire que nous avons besoin de ${x_0}$ en quelque sorte). L’une des façons les plus courantes de mettre la main sur ${x_0}$ est d’esquisser le graphique de la fonction et de l’utiliser pour obtenir une estimation de la solution que nous utilisons ensuite comme ${x_0}$. Une autre méthode commune est que si nous savons qu’il y a une solution à une fonction dans un intervalle alors nous pouvons utiliser le point médian de l’intervalle comme ${x_0}$.

Travaillons un exemple de la méthode de Newton.

Exemple 1 Utilisez la méthode de Newton pour déterminer une approximation de la solution de $\cos x = x$ qui se trouve dans l’intervalle $\left$. Trouvez l’approximation à six décimales près.

Show Solution

Premièrement, notez que l’on ne nous a pas donné une estimation initiale. On nous a cependant donné un intervalle dans lequel chercher. Nous allons l’utiliser pour obtenir notre estimation initiale. Comme indiqué ci-dessus, la règle générale dans ces cas est de prendre l’approximation initiale pour être le point médian de l’intervalle. Nous utiliserons donc ${x_0} = 1$ comme approximation initiale.

Puis, rappelons que nous devons avoir la fonction sous la forme $f\left( x \right) = 0$. Par conséquent, nous réécrivons d’abord l’équation comme,

Nous pouvons maintenant écrire la formule générale de la méthode de Newton. Faire cela simplifiera souvent un peu le travail, donc ce n’est généralement pas une mauvaise idée de le faire.

Donnons maintenant la première approximation.

À ce stade, nous devons souligner que l’expression « six décimales » ne signifie pas qu’il suffit d’obtenir ${x_1}$ à six décimales, puis de s’arrêter. Cela signifie plutôt que nous continuons jusqu’à ce que deux approximations successives s’accordent à six décimales.

Vu cette condition d’arrêt, nous devons clairement aller au moins une étape plus loin.

D’accord, nous faisons des progrès. Nous avons obtenu l’approximation à une décimale près. Faisons-en une autre, en vous laissant les détails du calcul.

Nous l’avons obtenue à trois décimales. Il nous en faudra une autre.

Et maintenant nous avons deux approximations qui concordent à 9 décimales près et nous pouvons donc nous arrêter. Nous allons supposer que la solution est approximativement ${x_4} = 0,7390851332$.

Dans ce dernier exemple, nous avons vu que nous n’avions pas besoin de faire trop de calculs pour que la méthode de Newton nous donne une approximation dans la plage de précision souhaitée. Ce ne sera pas toujours le cas. Parfois, il faudra de nombreuses itérations dans le processus pour obtenir la précision souhaitée et, à l’occasion, cela peut échouer complètement.

L’exemple suivant est un peu idiot mais il fait comprendre l’échec de la méthode.

Exemple 2 Utilisez ${x_0} = 1$ pour trouver l’approximation de la solution de $\sqrt{x} = 0$.

Show Solution

Oui, c’est un exemple stupide. Il est clair que la solution est $x = 0$, mais il fait ressortir un point très important. Obtenons la formule générale de la méthode de Newton.

En fait, nous n’avons pas vraiment besoin de faire de calculs ici. Ces calculs s’éloignent de plus en plus de la solution, $x = 0$,à chaque itération. Voici quelques calculs pour faire le point.

Donc, dans ce cas, la méthode échoue et échoue spectaculairement.

Donc, nous devons être un peu prudents avec la méthode de Newton. En général, elle trouvera rapidement une approximation d’une équation. Cependant, il y a des moments où elle demandera beaucoup de travail ou bien où elle ne fonctionnera pas du tout.

Calcul I – Méthode de Newton

Section 4-13 : Méthode de Newton

Méthode de Newton

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