Distribution binomiale négative

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La distribution binomiale négative, également appelée distribution de Pascal ou distribution de Pólya, donne la probabilité de r-1 succès et x échecs dans x+r-1 essais, et de succès au (x+r)e essai. La fonction de densité de probabilité est donc donnée par

.

.

P_(r,p)(x) = p)]
(1)
= p
(2)
= (x+r-1 ; r-1)p^r(1-p)^x,
(3)

où (n ; k) est un coefficient binomial. La fonction de répartition est alors donnée par

D(x) = somme_(n=0)^(x)(n+r-1 ; r-1)p^r(1-p)^n
(4)
= 1-((1-p)^(x+1)p^rGamma(x+r+1)_2F^~_1(1,x+r+1 ;x+2 ;1-p))/(Gamma(r))
(5)
= I(p ;r,x+1),
(6)

où Gamma(z) est la fonction gamma, _2F^~_1(a,b;c;z) est une fonction hypergéométrique régularisée, et I(z;a,b) est une fonction bêta régularisée.

La distribution binomiale négative est implémentée dans le Wolfram Language sous le nom de NegativeBinomialDistribution.

Définition

.PP
 = (1-p)/p
(7)
Q = 1/p,
(8)

La fonction caractéristique est donnée par

la fonction caractéristique. fonction caractéristique est donnée par

phi(t)=(Q-Pe^(it))^(-r),
(9)

et la fonction génératrice de moment-par

M(t)=e^(tx)=sum_(x=0)^inftye^(tx)(x+r-1 ; r-1)p^r(1-p)^x.
(10)

Puisque (N ; n)=(N ; N-n),

M(t) = p^r^(-r)
(11)
M^'(t)'(t) = p^r(1-p)r^(-r-1)e^t
(12)
M^('')(t)'')(t) = (1-p)rp^r(1-e^t+pe^t)^(-r-2)×(-1-e^tr+e^tpr)e^t
(13)
M^(''')(t)''')(t) = (1-p)rp^r(1-e^t+e^tp)^(-r-3)×e^t.
(14)

Les moments bruts mu_n^'=M^((n))(0)'=M^((n))(0). sont donc

.

.

mu_1^'' = (rq)/p
(15)
mu_2^'' = (rq(1+rq))/(p^2)
(16)
mu_3^'' = (q)/(p^3)
(17)
mu_4^'' = (q)/(p^4),
(18)

où

q=1-p
(19)

et (r)_n est le symbole de Pochhammer. (Notez que Beyer 1987, p. 487, donne apparemment la moyenne de manière incorrecte.)

Cela donne les moments centraux comme

mu_2 = (r(1-p))/(p^2)
(20)
mu_3
 = (r(2-3p+p^2))/(p^3)=(r(p-1)(p-2))/(p^3)
(21)
mu_4 = (r(1-p)(6-6p+p^2+3r-3pr))/(p^4).
(22)

La moyenne, la variance, l’excès de skewnesset de kurtosis sont alors

.

mu = (rq)/p
(23)
sigma^2 = (rq)/(p^2)
(24)
gamma_1 = (2-p)/(sqrt(rq))
(25)
gamma_2 = (p^2-6p+6)/(rq),
(26)

qui peut aussi s’écrire

.

mu = nP
(27)
sigma^2 = nPQ
(28)
gamma_1 =
(Q+P)/(sqrt(rPQ)))
(29)
.gamma_2gamma_2
 = (1+6PQ)/(rPQ)-3.
(30)

Le premier cumulant est

kappa_1=nP,
(31)

et les cumulants suivants sont donnés par la relation de récurrence

kappa_(r+1)=PQ(dkappa_r)/(dQ).
(32)

.

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