Effet Doppler longitudinal relativisteEdit
Le décalage Doppler relativiste pour le cas longitudinal, la source et le récepteur se rapprochant ou s’éloignant directement l’un de l’autre, est souvent dérivé comme s’il s’agissait du phénomène classique, mais modifié par l’ajout d’un terme de dilatation du temps. C’est l’approche employée dans les manuels de physique ou de mécanique de première année, comme ceux de Feynman ou de Morin.
Suivant cette approche vers la dérivation de l’effet Doppler longitudinal relativiste, supposons que le récepteur et la source s’éloignent l’un de l’autre avec une vitesse relative v {\displaystyle v\,}
telle que mesurée par un observateur sur le récepteur ou la source (La convention de signe adoptée ici est que v {\displaystyle v\,}
est négative si le récepteur et la source se rapprochent l’un de l’autre).
Considérons le problème dans le référentiel de la source.
Supposons qu’un front d’onde arrive au récepteur. Le front d’onde suivant se trouve alors à une distance λ s = c / f s {\displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s}\,}
loin du récepteur (où λ s {\displaystyle \lambda _{s}\,}
est la longueur d’onde, f s {\displaystyle f_{s}\,}
est la fréquence des ondes que la source émet, et c {\displaystyle c\,}
est la vitesse de la lumière).
Le front d’onde se déplace à la vitesse c {\displaystyle c\,}
, mais en même temps le récepteur s’éloigne avec une vitesse v {\displaystyle v}
pendant un temps t s = 1 / f s = λ s / c {\displaystyle t_{s}=1/f_{s}=\lambda _{s}/c}.
, donc
où β = v / c {\displaystyle \beta =v/c\,}
est la vitesse du récepteur en termes de vitesse de la lumière, et où t r , s {\displaystyle t_{r,s}}
est la période des ondes lumineuses frappant le récepteur, telle qu’observée dans le cadre de la source. La fréquence correspondante f r , s {\displaystyle f_{r,s}}
est : f r , s = 1 / t r , s = f s ( 1 – β ) . {\displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).}
Jusqu’ici, les équations étaient identiques à celles de l’effet Doppler classique avec une source stationnaire et un récepteur mobile.
Cependant, en raison des effets relativistes, les horloges du récepteur sont dilatées en temps par rapport aux horloges de la source : t r = t r , s / γ {\displaystyle t_{r}=t_{r,s}/\gamma }.
, où γ = 1 / 1 – β 2 {\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}
est le facteur de Lorentz. Afin de savoir quel temps est dilaté, on rappelle que t r , s {\displaystyle t_{r,s}}
est le temps dans le cadre dans lequel la source est au repos. Le récepteur mesurera la fréquence reçue comme étant Eq. 1 : f r = f r , s γ {\displaystyle f_{r}=f_{r,s}\gamma }.
= 1 – β 1 – β 2 f s {\displaystyle ={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}}
= 1 – β 1 + β f s . {\displaystyle ={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}\,f_{s}.}
Le rapport
f s f r = 1 + β 1 – β {\displaystyle {\frac {f_{s}}{f_{r}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}.
On l’appelle le facteur Doppler de la source par rapport au récepteur. (Cette terminologie est particulièrement répandue dans le domaine de l’astrophysique : voir le rayonnement relativiste.)
Les longueurs d’onde correspondantes sont liées par
Eq. 2 : λ r λ s = f s f r = 1 + β 1 – β , {\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }},
Des expressions identiques pour le décalage Doppler relativiste sont obtenues lorsqu’on effectue l’analyse dans le cadre de référence du récepteur avec une source mobile. Cela correspond aux attentes du principe de relativité, qui impose que le résultat ne puisse pas dépendre de l’objet considéré comme étant celui au repos. En revanche, l’effet Doppler classique non relativiste dépend du fait que ce soit la source ou le récepteur qui soit immobile par rapport au milieu.
Effet Doppler transverseEdit
Supposons qu’une source et un récepteur s’approchent tous deux en mouvement inertiel uniforme selon des trajectoires qui n’entrent pas en collision. L’effet Doppler transverse (TDE) peut désigner (a) le décalage nominal vers le bleu prédit par la relativité restreinte qui se produit lorsque l’émetteur et le récepteur sont à leurs points d’approche les plus proches ; ou (b) le décalage nominal vers le rouge prédit par la relativité restreinte lorsque le récepteur voit l’émetteur comme étant à son approche la plus proche. L’effet Doppler transverse est l’une des principales prédictions inédites de la théorie spéciale de la relativité.
La question de savoir si un rapport scientifique décrit l’EDT comme étant un redshift ou un blueshift dépend des particularités du dispositif expérimental relaté. Par exemple, la description originale du TDE par Einstein en 1907 décrivait un expérimentateur regardant le centre (point le plus proche) d’un faisceau de « rayons de canal » (un faisceau d’ions positifs qui est créé par certains types de tubes à décharge de gaz). Selon la relativité restreinte, la fréquence émise par les ions en mouvement serait réduite par le facteur de Lorentz, de sorte que la fréquence reçue serait réduite (décalée vers le rouge) par le même facteur.
D’autre part, Kündig (1963) a décrit une expérience où un absorbeur Mössbauer était mis en rotation dans une trajectoire circulaire rapide autour d’un émetteur Mössbauer central. Comme expliqué ci-dessous, ce dispositif expérimental a permis à Kündig de mesurer un décalage vers le bleu.
La source et le récepteur sont à leurs points d’approche les plus prochesEdit
Dans ce scénario, le point d’approche le plus proche est indépendant du cadre et représente le moment où il n’y a pas de changement de distance par rapport au temps. La figure 2 démontre que la facilité d’analyse de ce scénario dépend du cadre dans lequel il est analysé.
- Fig. 2a. Si nous analysons le scénario dans le cadre du récepteur, nous constatons que l’analyse est plus compliquée qu’elle ne devrait l’être. La position apparente d’un objet céleste est déplacée par rapport à sa position réelle (ou position géométrique) en raison du mouvement de l’objet pendant le temps que met sa lumière à atteindre un observateur. La source serait dilatée dans le temps par rapport au récepteur, mais le décalage vers le rouge impliqué par cette dilatation temporelle serait compensé par un décalage vers le bleu dû à la composante longitudinale du mouvement relatif entre le récepteur et la position apparente de la source.
- Fig. 2b. C’est beaucoup plus facile si, au contraire, nous analysons le scénario à partir du cadre de la source. Un observateur situé à la source sait, d’après l’énoncé du problème, que le récepteur est à son point le plus proche de lui. Cela signifie que le récepteur n’a pas de composante longitudinale de mouvement pour compliquer l’analyse. (c’est-à-dire dr/dt = 0 où r est la distance entre le récepteur et la source) Comme les horloges du récepteur sont dilatées dans le temps par rapport à la source, la lumière que le récepteur reçoit est décalée vers le bleu par un facteur gamma. En d’autres termes,
Eq. 3 : f r = γ f s {\displaystyle f_{r}=\gamma f_{s}}
Le récepteur voit la source comme étant à . son point le plus procheEdit
Ce scénario est équivalent à ce que le récepteur regarde à un angle droit direct par rapport à la trajectoire de la source. L’analyse de ce scénario est mieux menée à partir du cadre du récepteur. La figure 3 montre que le récepteur est éclairé par la lumière du moment où la source était la plus proche du récepteur, même si la source s’est déplacée. Parce que l’horloge de la source est dilatée dans le temps mesuré dans le cadre du récepteur, et parce qu’il n’y a pas de composante longitudinale de son mouvement, la lumière de la source, émise depuis ce point le plus proche, est décalée vers le rouge avec la fréquence
Eq. 4 : f r = f s γ {\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.
Dans la littérature, la plupart des rapports sur le décalage Doppler transversal analysent l’effet en termes de récepteur pointé à angle droit direct par rapport à la trajectoire de la source, voyant ainsi la source comme étant à son point le plus proche et observant un redshift.
Point de décalage de fréquence nulleModification
Du fait que, dans le cas où la source et le récepteur en mouvement inertiel sont géométriquement à leur plus proche approche l’un de l’autre, le récepteur observe un blueshift, alors que dans le cas où le récepteur voit la source comme étant à son point le plus proche, le récepteur observe un redshift, il doit évidemment exister un point où le blueshift se transforme en redshift. Dans la figure 2, le signal se déplace perpendiculairement à la trajectoire du récepteur et subit un décalage vers le rouge. Dans la figure 3, le signal voyage perpendiculairement au chemin de la source et est décalé vers le rouge.
Comme on le voit dans la figure 4, un décalage de fréquence nul se produit pour une impulsion qui parcourt la plus courte distance entre la source et le récepteur. Vue dans le cadre où la source et le récepteur ont la même vitesse, cette impulsion est émise perpendiculairement à la trajectoire de la source et est reçue perpendiculairement à la trajectoire du récepteur. L’impulsion est émise légèrement avant le point d’approche le plus proche, et elle est reçue légèrement après.
Un objet en mouvement circulaire autour de l’autreEdit
La figure 5 illustre deux variantes de ce scénario. Les deux variantes peuvent être analysées à l’aide d’arguments simples de dilatation du temps. La figure 5a est essentiellement équivalente au scénario décrit à la figure 2b, et le récepteur observe la lumière provenant de la source comme étant décalée vers le bleu d’un facteur γ {\displaystyle \gamma }.
. La figure 5b est essentiellement équivalente au scénario décrit dans la figure 3, et la lumière est décalée vers le rouge.
La seule complication apparente est que les objets en orbite sont en mouvement accéléré. Une particule accélérée n’a pas de cadre inertiel dans lequel elle est toujours au repos. Cependant, on peut toujours trouver un cadre d’inertie qui est momentanément covoisin avec la particule. Ce cadre, le cadre de référence à rapprochement momentané (MCRF), permet d’appliquer la relativité restreinte à l’analyse des particules accélérées. Si un observateur inertiel regarde une horloge en accélération, seule la vitesse instantanée de l’horloge est importante lors du calcul de la dilatation temporelle.
L’inverse, cependant, n’est pas vrai. L’analyse des scénarios où les deux objets sont en mouvement accéléré nécessite une analyse un peu plus sophistiquée. Ne pas comprendre ce point a entraîné des confusions et des malentendus.
Source et récepteur tous deux en mouvement circulaire autour d’un centre communEdit
Supposons que la source et le récepteur soient situés aux extrémités opposées d’un rotor en rotation, comme illustré à la figure 6. Les arguments cinématiques (relativité restreinte) et les arguments basés sur le fait de noter qu’il n’y a pas de différence de potentiel entre la source et le récepteur dans le champ pseudogravitationnel du rotor (relativité générale) conduisent tous deux à la conclusion qu’il ne devrait pas y avoir de décalage Doppler entre la source et le récepteur.
En 1961, Champeney et Moon ont mené une expérience de rotor Mössbauer testant exactement ce scénario, et ont constaté que le processus d’absorption Mössbauer n’était pas affecté par la rotation. Ils ont conclu que leurs résultats soutenaient la relativité restreinte.
Cette conclusion a généré une certaine controverse. Un certain critique persistant de la relativité a soutenu que, bien que l’expérience soit cohérente avec la relativité générale, elle réfutait la relativité restreinte, son point étant que, puisque l’émetteur et l’absorbeur étaient en mouvement relatif uniforme, la relativité restreinte exigeait qu’un décalage Doppler soit observé. L’erreur de l’argument de ce critique était, comme démontré dans la section Point de décalage de fréquence nul, qu’il n’est tout simplement pas vrai qu’un décalage Doppler doit toujours être observé entre deux cadres en mouvement relatif uniforme. De plus, comme nous l’avons démontré dans la section La source et le récepteur sont à leurs points d’approche les plus proches, la difficulté d’analyser un scénario relativiste dépend souvent du choix du cadre de référence. Tenter d’analyser le scénario dans le cadre du récepteur implique beaucoup d’algèbre fastidieuse. Il est beaucoup plus facile, presque trivial, d’établir l’absence de décalage Doppler entre l’émetteur et l’absorbeur dans le cadre du laboratoire.
En fait, cependant, l’expérience de Champeney et Moon ne disait rien ni pour ni contre la relativité restreinte. En raison de la symétrie du montage, il s’avère que pratiquement toute théorie concevable du décalage Doppler entre des cadres en mouvement inertiel uniforme doit donner un résultat nul dans cette expérience.
Plutôt que d’être équidistants du centre, supposons que l’émetteur et l’absorbeur soient à des distances différentes du centre du rotor. Pour un émetteur de rayon R ′ {\displaystyle R’}
et l’absorbeur au rayon R {\displaystyle R}.
n’importe où sur le rotor, le rapport de la fréquence de l’émetteur, ν ′ , {\displaystyle \nu ‘,}
et la fréquence de l’absorbeur, ν , {\displaystyle \nu ,}
est donnée par Eq. 5 : ν ′ ν = ( 1 – R 2 ω 2 1 – R ′ 2 ω 2 ) 1 / 2 {\displaystyle {\frac {\nu ‘}{\nu }}=\left({\frac {1-R^{2}\omega ^{2}}{1-R’^{2}\omega ^{2}}\right)^{1/2}}
où ω {\displaystyle \omega }
est la vitesse angulaire du rotor. La source et l’émetteur n’ont pas besoin d’être séparés de 180°, mais peuvent être à n’importe quel angle par rapport au centre.
Mouvement dans une direction arbitraireModification
L’analyse utilisée dans la section Effet Doppler longitudinal relativiste peut être étendue de manière simple pour calculer le décalage Doppler pour le cas où les mouvements inertiels de la source et du récepteur sont à un angle spécifié quelconque.La figure 7 présente le scénario à partir du cadre du récepteur, la source se déplaçant à la vitesse v {\displaystyle v}
à un angle θ r {\displaystyle \theta _{r}}.
mesuré dans le cadre du récepteur. La composante radiale du mouvement de la source le long de la ligne de visée est égale à v cos θ r . {\displaystyle v\cos {\theta _{r}}.}
L’équation ci-dessous peut être interprétée comme le décalage Doppler classique pour une source fixe et mobile modifié par le facteur de Lorentz γ : {\displaystyle \gamma :}.
Eq. 6 : f r = f s γ ( 1 + β cos θ r ) . {\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}.}
Dans le cas où θ r = 90 ∘ {\displaystyle \theta _{r}=90^{\circ}}
, on obtient l’effet Doppler transverse : f r = f s γ .
Dans son article de 1905 sur la relativité restreinte, Einstein a obtenu une équation d’apparence quelque peu différente pour l’équation du décalage Doppler. Après avoir changé les noms des variables dans l’équation d’Einstein pour qu’ils soient cohérents avec ceux utilisés ici, son équation se lit comme suit
Eq. 7 : f r = γ ( 1 – β cos θ s ) f s . {\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)f_{s}.}
Les différences proviennent du fait qu’Einstein a évalué l’angle θ s {\displaystyle \theta _{s}.
par rapport au cadre de repos de la source plutôt qu’au cadre de repos du récepteur. θ s {\displaystyle \theta _{s}}
n’est pas égal à θ r {\displaystyle \theta _{r}}
à cause de l’effet de l’aberration relativiste. L’équation de l’aberration relativiste est la suivante : Eq. 8 : cos θ r = cos θ s – β 1 – β cos θ s {\displaystyle \cos \theta _{r}={\frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}},}
Substituer l’équation d’aberration relativiste de l’équation 8 à l’équation 6 donne l’équation 7, démontrant la cohérence de ces équations alternatives pour le décalage Doppler.
En fixant θ r = 0 {\displaystyle \theta _{r}=0}.
dans l’équation 6 ou θ s = 0 {\displaystyle \theta _{s}=0}.
dans l’équation 7 donne l’équation 1, l’expression du décalage Doppler longitudinal relativiste.
Une approche à quatre vecteurs pour dériver ces résultats peut être trouvée dans Landau et Lifshitz (2005).