La fréquence de coupure d’un guide d’ondes électromagnétiques est la fréquence la plus basse pour laquelle un mode s’y propagera. En fibre optique, il est plus courant de considérer la longueur d’onde de coupure, c’est-à-dire la longueur d’onde maximale qui se propagera dans une fibre optique ou un guide d’ondes. La fréquence de coupure est trouvée grâce à l’équation caractéristique de l’équation de Helmholtz pour les ondes électromagnétiques, qui est dérivée de l’équation des ondes électromagnétiques en fixant le nombre d’ondes longitudinales à zéro et en résolvant la fréquence. Ainsi, toute fréquence d’excitation inférieure à la fréquence de coupure sera atténuée, plutôt que de se propager. La dérivation suivante suppose des parois sans perte. La valeur de c, la vitesse de la lumière, doit être considérée comme la vitesse de groupe de la lumière dans le matériau quelconque qui remplit le guide d’ondes.
Pour un guide d’ondes rectangulaire, la fréquence de coupure est
ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 , {\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}},
où les entiers n , m ≥ 0 {\displaystyle n,m\geq 0}
sont les numéros de mode, et a et b les longueurs des côtés du rectangle. Pour les modes TE, n , m ≥ 0 {\displaystyle n,m\geq 0}
(mais n = m = 0 {\displaystyle n=m=0}.
n’est pas autorisé), tandis que pour les modes TM n , m ≥ 1 {\displaystyle n,m\geq 1}.
.
La fréquence de coupure du mode TM01 (immédiatement supérieur du mode dominant TE11) dans un guide d’ondes de section circulaire (le mode magnétique transversal sans dépendance angulaire et avec la plus faible dépendance radiale) est donnée par
ω c = c χ 01 r = c 2.4048 r , {\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},}
où r {\displaystyle r}
est le rayon du guide d’ondes, et χ 01 {\displaystyle \chi _{01}}.
est la racine première de J 0 ( r ) {\displaystyle J_{0}(r)}.
, la fonction de Bessel de première espèce d’ordre 1.
La fréquence de coupure du mode dominant TE11 est donnée par
ω c = c χ 11 r = c 1,8412 r {\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1,8412}{r}}}.
Cependant, la fréquence de coupure du mode dominant peut être réduite par l’introduction d’un baffle à l’intérieur du guide d’onde à section circulaire. Pour une fibre optique monomode, la longueur d’onde de coupure est la longueur d’onde à laquelle la fréquence normalisée est approximativement égale à 2,405.
Analyse mathématiqueModification
Le point de départ est l’équation d’onde (qui est dérivée des équations de Maxwell) ,
( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) ψ ( r , t ) = 0 , {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,}
qui devient une équation de Helmholtz en ne considérant que les fonctions de la forme
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y , z ) e i ω t . {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{i\omega t}.}
Substituer et évaluer la dérivée temporelle donne
( ∇ 2 + ω 2 c 2 ) ψ ( x , y , z ) = 0. {\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}\right)\psi (x,y,z)=0.}
La fonction ψ {\displaystyle \psi }
désigne ici le champ (le champ électrique ou le champ magnétique) qui n’a pas de composante vectorielle dans la direction longitudinale – le champ « transverse ». C’est une propriété de tous les modes propres du guide d’ondes électromagnétiques qu’au moins un des deux champs soit transversal. L’axe z est défini comme étant le long de l’axe du guide d’ondes.
La dérivée « longitudinale » du Laplacien peut encore être réduite en ne considérant que les fonctions de la forme
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y ) e i ( ω t – k z z ) , {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},}
où k z {\displaystyle k_{z}}
est le nombre d’onde longitudinal, ce qui donne ( ∇ T 2 – k z 2 + ω 2 c 2 ) ψ ( x , y , z ) = 0 , {\displaystyle (\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}})\psi (x,y,z)=0,}
où l’indice T indique un Laplacien transversal bidimensionnel. L’étape finale dépend de la géométrie du guide d’ondes. La géométrie la plus facile à résoudre est le guide d’ondes rectangulaire. Dans ce cas, le reste du Laplacien peut être évalué à son équation caractéristique en considérant des solutions de la forme
ψ ( x , y , z , t ) = ψ 0 e i ( ω t – k z z – k x x – k y y ) . {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}.}
Ainsi, pour le guide rectangulaire, on évalue le Laplacien, et on arrive à
ω 2 c 2 = k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}.
Les nombres d’onde transversaux peuvent être spécifiés à partir des conditions aux limites des ondes stationnaires pour une crosse de géométrie rectangulaire de dimensions a et b :
k x = n π a , {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{a}},}
k y = m π b , {\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{b}},}
où n et m sont les deux entiers représentant un mode propre spécifique. En effectuant la substitution finale, on obtient
ω 2 c 2 = ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 + k z 2 , {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2},
qui est la relation de dispersion dans le guide d’onde rectangulaire. La fréquence de coupure ω c {\displaystyle \omega _{c}}.
est la fréquence critique entre propagation et atténuation, qui correspond à la fréquence à laquelle le nombre d’onde longitudinal k z {\displaystyle k_{z}}.
est nul. Il est donné par ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 {\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}}
