Courants électriques (le long d’une courbe/fil fermé)
, r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}’} }
, et la valeur de | r ′ | {\displaystyle |\mathbf {r’} } |}
La loi de Biot-Savart est utilisée pour calculer le champ magnétique résultant B à la position r dans l’espace 3D généré par un courant flexible I (par exemple dû à un fil). Un courant stable (ou stationnaire) est un flux continu de charges qui ne change pas avec le temps et la charge ne s’accumule ni ne s’épuise en aucun point. La loi est un exemple physique d’une intégrale de ligne, évaluée sur le chemin C dans lequel circulent les courants électriques (par exemple, le fil). L’équation en unités SI est
B ( r ) = μ 0 4 π ∫ C I d ℓ × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r’} }{||mathbf {r’} |^{3}}}}
où d ℓ {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}
est un vecteur le long du chemin C {\displaystyle C}.
dont la grandeur est la longueur de l’élément différentiel du fil dans le sens du courant conventionnel. ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}
est un point sur le chemin C {\displaystyle C}.
. r ′ = r – ℓ {\displaystyle \mathbf {r’} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}
est le vecteur de déplacement complet de l’élément filaire ( d ℓ {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}
) au point ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}.
au point où le champ est calculé ( r {\displaystyle \mathbf {r} }
), et μ0 est la constante magnétique. Alternativement : B ( r ) = μ 0 4 π ∫ C I d ℓ × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {{\i}at {r}}’} }{||mathbf {r’} |^{2}}}}
où r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}’} }
est le vecteur unitaire de r ′ {\displaystyle \mathbf {r’} }. }
. Les symboles en caractères gras désignent des quantités vectorielles.
L’intégrale est généralement autour d’une courbe fermée, car les courants électriques stationnaires ne peuvent circuler que sur des chemins fermés lorsqu’ils sont bornés. Cependant, la loi s’applique également aux fils infiniment longs (ce concept a été utilisé dans la définition de l’unité SI de courant électrique – l’ampère – jusqu’au 20 mai 2019).
Pour appliquer l’équation, on choisit arbitrairement le point de l’espace où le champ magnétique doit être calculé ( r {\displaystyle \mathbf {r} }
). En maintenant ce point fixe, on calcule l’intégrale linéaire sur le trajet du courant électrique pour trouver le champ magnétique total en ce point. L’application de cette loi repose implicitement sur le principe de superposition des champs magnétiques, c’est-à-dire sur le fait que le champ magnétique est une somme vectorielle du champ créé par chaque section infinitésimale du fil individuellement.
Il existe également une version 2D de l’équation de Biot-Savart, utilisée lorsque les sources sont invariantes dans une direction. En général, il n’est pas nécessaire que le courant ne circule que dans un plan normal à la direction invariante et il est donné par J {\displaystyle \mathbf {J} }
(densité de courant). La formule qui en résulte est la suivante : B ( r ) = μ 0 2 π ∫ C ( J d ℓ ) × r ′ | r ′ | = μ 0 2 π ∫ C ( J d ℓ ) × r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\{\frac {(\mathbf {J} \,d\ell )\times \mathbf {r} ‘}{\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\ (\mathbf {J} \,d\ell )\times \mathbf {{\hat {r}}’} }
Densité de courant électrique (dans tout le volume du conducteur)Edit
Les formulations données ci-dessus fonctionnent bien lorsque le courant peut être approximé comme passant dans un fil infiniment étroit. Si le conducteur a une certaine épaisseur, la formulation adéquate de la loi de Biot-Savart (toujours en unités SI) est :
B ( r ) = μ 0 4 π ∭ V ( J d V ) × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }\iiint _{V}\{\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r}’}{|\mathbf {r}’|^{3}}}}
où r ′ {\displaystyle \mathbf {r’} }
est le vecteur allant de dV au point d’observation r {\displaystyle \mathbf {r}}. }
, d V {\displaystyle dV}
est l’élément de volume, et J {\displaystyle \mathbf {J} }
est le vecteur densité de courant dans ce volume (en SI en unités A/m2).
En termes de vecteur unitaire r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}’} }
B ( r ) = μ 0 4 π ∭ V d V J × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {B}} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }\iiint _{V}\ dV{\frac {\mathbf {J}} \times \mathbf {{\hat {r}}’} }{||mathbf {r}’|^{2}}}}
Courant constant uniformeEdit
Dans le cas particulier d’un courant constant uniforme I, le champ magnétique B {\displaystyle \mathbf {B} }
est B ( r ) = μ 0 4 π I ∫ C d ℓ × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B}} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r’} }{||mathbf {r’} |^{3}}}}
C’est-à-dire que le courant peut être retiré de l’intégrale.
Charge ponctuelle à vitesse constanteEdit
Dans le cas d’une particule q chargée ponctuellement et se déplaçant à une vitesse constante v, les équations de Maxwell donnent l’expression suivante pour le champ électrique et le champ magnétique :
E = q 4 π ϵ 0 1 – v 2 c 2 ( 1 – v 2 c 2 sin 2 θ ) 3 2 r ^ ′ | r ′ | 2 H = v × D B = 1 c 2 v × E {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}{\frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1-{\frac {v^{2}{c^{2}}\sin ^{2}\theta \right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {mathbf {{\hat {r}}’} }{{\mathbf {r}’|^{2}}}\\\N{\i1}mathbf {H}} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D} \\N- \N- B} &={\frac {1}{c^{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{aligned}}
où r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ‘}
est le vecteur unitaire pointant de la position actuelle (non retardée) de la particule au point où le champ est mesuré, et θ est l’angle entre v {\displaystyle \mathbf {v} }.
et r ′ {\displaystyle \mathbf {r}’}
.
Quand v2 ≪ c2, le champ électrique et le champ magnétique peuvent être approximés comme
E = q 4 π ϵ 0 r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}\\frac {\mathbf {{\hat {r}}’} }{|\mathbf {r}’|^{2}}}}
B = μ 0 q 4 π v × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\{0}q}{4\pi }}\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {{\hat {r}}’} }{|\mathbf {r}’|^{2}}}}
Ces équations ont été dérivées pour la première fois par Oliver Heaviside en 1888. Certains auteurs appellent l’équation ci-dessus pour B {\displaystyle \mathbf {B} }
la « loi de Biot-Savart pour une charge ponctuelle » en raison de sa forte ressemblance avec la loi standard de Biot-Savart. Cependant, ce langage est trompeur car la loi de Biot-Savart ne s’applique qu’aux courants permanents et une charge ponctuelle se déplaçant dans l’espace ne constitue pas un courant permanent.