L’infini est un concept puissant. Les philosophes, les artistes, les théologiens, les scientifiques et les personnes de tous horizons ont lutté avec les idées de l’infini et de l’éternel tout au long de l’histoire.
L’infini est également un concept extrêmement important en mathématiques. L’infini apparaît presque immédiatement lorsqu’il s’agit de traiter des ensembles infiniment grands – des collections de nombres qui se poursuivent indéfiniment, comme les nombres naturels, ou nombres à compter : 1, 2, 3, 4, 5, et ainsi de suite.
Les ensembles infinis ne sont pas tous créés égaux, cependant. Il existe en fait de nombreuses tailles ou niveaux d’infini différents ; certains ensembles infinis sont largement plus grands que d’autres ensembles infinis.
La théorie des ensembles infinis a été développée à la fin du XIXe siècle par le brillant mathématicien Georg Cantor. De nombreuses idées et théorèmes de Cantor sont à la base des mathématiques modernes. L’une des innovations les plus cool de Cantor était un moyen de comparer les tailles des ensembles infinis, et d’utiliser cette idée pour montrer qu’il existe de nombreuses infinités.
Pour voir comment fonctionne la théorie de Cantor, nous commençons par dire que deux ensembles ont la même taille si nous pouvons établir une correspondance un à un, ou appariement, des éléments des deux ensembles. Nous pouvons commencer petit – les ensembles {a, b, c} et {1, 2, 3} sont de même taille, puisque je peux apparier leurs éléments:
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Ceci est un peu trop compliqué pour comparer deux petits ensembles finis comme ceux-ci – il est évident qu’ils ont tous deux trois éléments, et sont donc de la même taille. Cependant, lorsque nous examinons des ensembles infinis, nous ne pouvons pas simplement regarder les ensembles et compter le nombre d’éléments, puisque les ensembles sont infinis. Donc, cette définition plus formelle sera très utile.
Ensembles infinis de façon comptable
Notre niveau de base de l’infini viendra de notre ensemble infini le plus basique : les nombres naturels précédemment mentionnés. Un ensemble qui a la même taille que les nombres naturels – qui peut être mis dans une correspondance un à un avec les nombres naturels – est appelé un ensemble infini dénombrable.
Un nombre surprenant d’ensembles infinis sont en fait dénombrables. À première vue, l’ensemble des nombres entiers, composé des nombres naturels, de leurs équivalents en nombres négatifs et de zéro, semble devoir être plus grand que les nombres naturels. Après tout, pour chacun de nos nombres naturels, comme 2 ou 10, nous avons simplement ajouté un nombre négatif, -2 ou -10. Mais les nombres entiers sont dénombrables – nous pouvons trouver un moyen d’attribuer exactement un nombre entier à chaque nombre naturel en rebondissant entre les nombres positifs et négatifs :
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Si nous continuons le schéma suggéré ci-dessus, nous finissons par attribuer exactement un entier à chaque nombre naturel, chaque entier étant attribué à un nombre naturel, ce qui nous donne le genre d’appariement un à un qui signifie que les deux ensembles ont la même taille.
C’est un peu bizarre, puisque les nombres naturels sont un sous-ensemble des nombres entiers – chaque nombre naturel est aussi un nombre entier. Mais même si les nombres naturels sont entièrement contenus dans les nombres entiers, les deux ensembles ont en fait la même taille.
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent être écrits comme une fraction, ou un rapport, de deux nombres entiers : 1/2, -5/4, 3 (qui peut être écrit 3/1), et ainsi de suite. C’est un autre ensemble infini qui semble devoir être plus grand que les nombres naturels – entre deux nombres naturels quelconques, nous avons une infinité de fractions.
Mais comme pour les nombres entiers, nous pouvons toujours faire un appariement un à un, en attribuant exactement un nombre naturel à chaque nombre rationnel. Commencez par faire une grille des rationnels : chaque ligne a un nombre naturel particulier dans la partie inférieure de la fraction – les dénominateurs de la première ligne sont tous des 1, et la 2e ligne tous des 2. Chaque colonne a un nombre particulier dans la partie supérieure de la fraction – les numérateurs de la première colonne sont tous des 1, et la deuxième colonne tous des 2. Cette grille couvre tous les nombres rationnels positifs, puisque tout rapport de deux entiers positifs apparaîtra quelque part dans la grille :
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Nous obtenons notre correspondance entre les rationnels et les naturels en nous déplaçant selon un motif en zig-zag dans la grille et en comptant. Les fractions comme 2/2 et 4/6 qui ne sont que des représentations alternatives de nombres que nous avons déjà vus (2/2 est identique à 1/1, et 4/6 est identique à 2/3) sont sautées :
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Donc, le premier nombre rationnel est 1/1, le deuxième est 2/1, le troisième est 1/2, le quatrième est 1/3, on saute 2/2 puisque cela se réduit juste à 1/1, le cinquième est 3/1, et ainsi de suite.
En continuant ainsi, chaque nombre rationnel se verra attribuer un nombre naturel unique, ce qui montre que, comme les nombres entiers, les rationnels sont également un ensemble infini dénombrable.
Même si nous avons ajouté toutes ces fractions et ces nombres négatifs à notre ensemble initial de base de nombres naturels, nous en sommes toujours à notre premier niveau, de base, d’infinité.
Ensembles infiniment infinis
Nous considérons maintenant les nombres réels. Les nombres réels sont la collection de nombres qui peuvent être écrits avec une sorte d’expansion décimale. Les nombres réels comprennent les nombres rationnels – toute fraction de deux entiers peut être divisée et transformée en décimal. 1/2 = 0,5 et 1/3 = 0,3333…, cette dernière fraction continuant indéfiniment avec des 3. Les nombres réels comprennent également des nombres irrationnels, ou des décimaux qui se poursuivent indéfiniment sans s’installer dans un modèle répété ou une fin. π est irrationnel – son expansion décimale commence par le familier 3,14159… mais continue indéfiniment, ses chiffres virant de façon sauvage.
Nous avons pu trouver des correspondances astucieuses avec les nombres naturels pour les entiers et les rationnels, montrant qu’ils sont tous infinis dénombrables et de même taille. Compte tenu de cela, nous pourrions penser que nous pouvons faire quelque chose de similaire avec les nombres réels.
Ceci est, cependant, impossible. Les nombres réels sont un ensemble indénombrablement infini – il y a en fait beaucoup plus de nombres réels que de nombres naturels, et il n’y a aucun moyen d’aligner les réels et les naturels de sorte que nous attribuions exactement un nombre réel à chaque nombre naturel.
Pour voir cela, nous utilisons une technique extrêmement puissante en mathématiques : la preuve par contradiction. Nous allons commencer par émettre l’hypothèse que le contraire de notre affirmation est vrai – que les nombres réels sont comptablement infinis, et qu’il existe donc un moyen d’aligner tous les réels avec les naturels dans une correspondance un à un. Nous verrons que la forme exacte de cette correspondance n’a pas d’importance, alors disons que les quelques premières paires de la correspondance sont les suivantes :
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Notre grande hypothèse ici est que chaque nombre réel apparaît quelque part dans cette liste. Nous allons maintenant montrer que c’est en fait faux en créant un nouveau nombre qui n’apparaît pas dans la liste.
Pour chaque nombre naturel n, nous regardons le nombre réel correspondant sur la liste, et prenons le chiffre à n places à droite de la virgule du nombre réel. Ainsi, on prend le premier chiffre du premier nombre, le deuxième chiffre du deuxième nombre, le troisième chiffre du troisième nombre, et ainsi de suite :
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À partir de notre premier nombre réel, nous obtenons un 5, notre deuxième nombre un 3, et notre troisième nombre un 1. Nous faisons un nouveau nombre en prenant chacun de ces chiffres, et en leur ajoutant 1 (en retournant à un 0 si mon chiffre d’origine est 9), ce qui nous donne le nombre 0,64207…, en continuant ainsi pour tous les autres nombres de notre liste.
Ce nouveau nombre « diagonal » est définitivement un nombre réel – il a une expansion décimale. Mais il est différent de tous les nombres de la liste : son premier chiffre est différent du premier chiffre de notre premier nombre, son deuxième chiffre est différent du deuxième chiffre de notre deuxième nombre, et ainsi de suite.
Nous avons fabriqué un nouveau nombre réel qui n’apparaît pas dans notre liste. Cela contredit notre hypothèse principale selon laquelle chaque nombre réel apparaît quelque part dans la correspondance.
Alors…
Nous avons mentionné précédemment que les détails de la correspondance n’avaient pas d’importance. C’est parce que, peu importe l’alignement que nous essayons entre les nombres réels et les nombres naturels, nous pouvons faire le même tour diagonal ci-dessus, en faisant un nombre qui n’apparaît pas dans la correspondance.
Cela montre que les réels ne sont pas comptablement infinis. Quoi que l’on essaie, il n’y a aucun moyen de faire une correspondance biunivoque entre les nombres naturels et les nombres réels. Ces deux ensembles n’ont pas la même taille. Cela conduit à la réalisation profonde et quelque peu inconfortable qu’il doit y avoir plusieurs niveaux d’infini – les nombres naturels et les nombres réels sont tous deux des ensembles infinis, mais les réels forment un ensemble qui est largement plus grand que les naturels – ils représentent un certain « niveau supérieur » d’infini.