In veel schakelingstoepassingen komen we componenten tegen die op een van de twee manieren met elkaar zijn verbonden om een netwerk met drie aansluitingen te vormen: de “Delta,” of Δ (ook bekend als de “Pi,” of π) configuratie, en de “Y” (ook bekend als de “T”) configuratie.
Het is mogelijk de juiste waarden van de weerstanden te berekenen die nodig zijn om het ene soort netwerk (Δ of Y) te vormen dat zich identiek gedraagt aan het andere soort, zoals geanalyseerd op basis van de aansluitingen alleen. Dat wil zeggen, als we twee afzonderlijke weerstandsnetwerken hadden, een Δ en een Y, elk met de weerstanden aan het zicht onttrokken, met alleen de drie aansluitingen (A, B en C) blootgesteld om te testen, dan zouden de weerstanden voor de twee netwerken zo gedimensioneerd kunnen worden dat er geen enkele manier zou zijn om elektrisch vast te stellen dat het ene netwerk verschillend is van het andere. Met andere woorden, gelijkwaardige Δ- en Y-netwerken gedragen zich identiek.
Vergelijkingen voor de omrekening van Δ en Y
Er zijn verschillende vergelijkingen om het ene netwerk om te rekenen naar het andere:
Δ- en Y-netwerken komen vaak voor in driefasige wisselstroomsystemen (een onderwerp dat in deel II van deze boekenreeks wordt behandeld), maar zelfs dan gaat het meestal om gebalanceerde netwerken (alle weerstanden hebben dezelfde waarde) en voor conversie van het ene naar het andere hoeven niet zulke ingewikkelde berekeningen te worden gemaakt. Wanneer zou de gemiddelde technicus deze vergelijkingen ooit moeten gebruiken?
Toepassing van Δ- en Y-omrekening
Een uitstekende toepassing van Δ-Y-omrekening is de oplossing van ongebalanceerde brugschakelingen, zoals de onderstaande:
De oplossing van deze schakeling met vertakkingsstroom- of netstroomanalyse is vrij ingewikkeld, en noch de Millman- noch de Superpositietheorema’s helpen omdat er maar één stroombron is. We zouden Thevenin’s of Norton’s Theorema kunnen gebruiken, waarbij we R3 als onze belasting beschouwen, maar wat zou dat voor lol zijn?
Als we de weerstanden R1, R2 en R3 behandelen als verbonden in een Δ-configuratie (respectievelijk Rab, Rac en Rbc) en een equivalent Y-netwerk genereren om ze te vervangen, kunnen we deze brugschakeling veranderen in een (eenvoudiger) serie/parallel-combinatieschakeling:
Na de Δ-Y omzetting ….
Als we onze berekeningen correct uitvoeren, zullen de spanningen tussen de punten A, B en C in de geconverteerde schakeling hetzelfde zijn als in de oorspronkelijke schakeling, en kunnen we deze waarden terug overbrengen naar de oorspronkelijke brugconfiguratie.
De weerstanden R4 en R5 blijven uiteraard gelijk op respectievelijk 18 Ω en 12 Ω. Als we de schakeling nu analyseren als een serie/parallel combinatie, komen we op de volgende getallen:
We moeten de spanningsverliezen uit de tabel hierboven gebruiken om de spanningen tussen de punten A, B, en C te bepalen, en te zien hoe ze optellen (of aftrekken, zoals het geval is met de spanning tussen de punten B en C):
Nu we deze spanningen weten, kunnen we ze overbrengen naar dezelfde punten A, B, en C in de oorspronkelijke brugschakeling:
De spanningsverliezen over R4 en R5 zijn natuurlijk precies hetzelfde als ze in de converter schakeling waren.
Op dit punt kunnen we deze spanningen nemen en de weerstandsstromen bepalen door herhaald gebruik van de wet van Ohm (I=E/R):
Simulatie met SPICE
Een snelle simulatie met SPICE dient om ons werk te verifiëren:
unbalanced bridge circuit v1 1 0 r1 1 2 12 r2 1 3 18 r3 2 3 6 r4 2 0 18 r5 3 0 12 .dc v1 10 10 1 .print dc v(1,2) v(1,3) v(2,3) v(2,0) v(3,0) .end v1 v(1,2) v(1,3) v(2,3) v(2) v(3) 1.000E+01 4.706E+00 5.294E+00 5.882E-01 5.294E+00 4.706E+00
De spanningscijfers, van links naar rechts afgelezen, geven de spanningsverliezen over de vijf respectieve weerstanden, R1 tot en met R5, weer. Ik had ook stromen kunnen laten zien, maar omdat dat het invoegen van “dummy” spanningsbronnen in de SPICE netlist zou hebben vereist, en omdat we primair geïnteresseerd zijn in het valideren van de Δ-Y omzettingsvergelijkingen en niet de Wet van Ohm, volstaat dit.
REVIEW:
- “Delta” (Δ) netwerken zijn ook bekend als “Pi” (π) netwerken.
- “Y” netwerken zijn ook bekend als “T” netwerken.
- Δ en Y netwerken kunnen worden geconverteerd naar hun equivalente tegenhangers met de juiste weerstandsvergelijkingen. Met “equivalent” bedoel ik dat de twee netwerken elektrisch identiek zullen zijn, gemeten vanaf de drie aansluitingen (A, B en C).
- Een brugschakeling kan worden vereenvoudigd tot een serie/parallelschakeling door de helft ervan om te zetten van een Δ- naar een Y-netwerk. Nadat spanningsverliezen tussen de oorspronkelijke drie aansluitpunten (A, B en C) zijn opgelost, kunnen die spanningen weer worden overgebracht naar de oorspronkelijke brugschakeling, over diezelfde equivalente punten.
GERELATEERD WERKBLAD:
- Delta- en Wye 3-fase-schakelingen werkblad