Als $P$ een zin of formule is, dan wordt $niet P$ de ontkenning van $P$ genoemd. Het vermogen om de ontkenning van een formule nauwkeurig te manipuleren is van cruciaal belang voor het begrijpen van wiskundige argumenten. De volgende tautologieën worden de wetten van De Morgan genoemd: Niet (P), niet (Q), & (P), niet (Q), & (P), niet (Q), & (P), niet (Q), #$ Deze zijn eenvoudig te controleren met waarheidstabellen, maar met een beetje nadenken, zijn ze niet moeilijk direct te begrijpen. De eerste zegt dat de enige manier waarop $P en Q niet waar kunnen zijn, is als zowel $P als $Q niet waar zijn. Bijvoorbeeld, de uitspraken “Ik hou niet van chocolade of vanille” en “Ik hou niet van chocolade en ik hou niet van vanille” drukken duidelijk dezelfde gedachte uit. Voor een meer wiskundig voorbeeld van de tweede tautologie, beschouw “$x$ ligt niet tussen 2 en3. Dit kan symbolisch geschreven worden als $%niet((2)
We kunnen ook de wetten van De Morgan gebruiken om de ontkenning van $PliciesQ$ te vereenvoudigen:$_eqalign{ P_implies Q) & \lnot (P_implies Q)\cr & \lnot (P_implies Q)\lnot (P_implies Q)\c & \lnot (P_implies Q)\lnot (P_implies Q) P)\land (\lnot Q)\cr & \iff P\land \lnot Q\cr}$ dus de ontkenning van $P\implies Q$ is $P\land \lnot Q$.Met andere woorden, het is niet zo dat $P$ $Q$ impliceert als en slechts als $P$ waar is en $Q$ onwaar. Dit komt natuurlijk overeen met de waarheidstabel voor $P$ impliceert Q$ die we al gezien hebben.
Er zijn versies van De Morgan’s wetten voor kwantoren:${ \lnot \forall x,P(x) &iff \exist x,\lnot P(x)\cr \lnot \exist x,P(x) &\iff x bestaat,\niet P(x)\cr}$Je ziet misschien meteen dat dit waar is. Zo niet, dan volgt hier een uitleg van $nietvoorallesx,P(x)impliceertxbestaat,niet P(x)$ die overtuigend zou moeten zijn: Als $nietvoorallex,P(x)$ bestaat, dan is $P(x)$ niet waar voor elke $x$, dat wil zeggen dat voor een bepaalde waarde $a$, $P(a)$ niet waar is. Dit betekent dat $Niet P(a)$ waar is. Aangezien $niet P(a)$ waar is, is het zeker zo dat er een waarde van $x$ is die $niet P(x)$ waar maakt, dat wil zeggen dat $x bestaat, $niet P(x)$ is waar. De andere drie implicaties kunnen op een vergelijkbare manier worden uitgelegd.
Hier is een andere manier om de kwantorversies van De Morgan’s spreuken te zien. De uitspraak $vooral x,P(x)$ lijkt veel op een grote samenvoeging. Als het universum van het discours de positieve gehele getallen zijn, bijvoorbeeld, dan is het equivalent met de uitspraak dat $ P(1)\en P(2)\en P(3)\en \cdots$ of, beknopter, we zouden kunnen schrijven $:bigwedge_{x\in U} P(x),$ met een notatie die lijkt op de “sigma-notatie” voor sommen.Natuurlijk is dit niet echt een “uitspraak” in onze officiële wiskunde-logica, omdat we geen oneindig lange formules toestaan.Op dezelfde manier kan $:xbestaat,P(x)$ worden opgevat als $:bigvee_{x:in U} P(x).$Nu kan de eerste kwantorwet geschreven worden als $ P(x) iff \bigvee_{xin U} (\lnot P(x)),$ wat erg lijkt op de wet $\lnot (Pland Q)iff (\lnot Plor \lnot Q),$ maar dan met een oneindige conjunctie en disjunctie. Merk op dat we de wetten van De Morgan voor P_land en P_lor ook kunnen schrijven als P_land en P_lor. &\riff \bigvee_{i=1}^2 (\lnot P_i(x))\cr \lnot \bigvee_{i=1}^2 (P_i(x)) &Dit is wat omslachtiger, maar het geeft de nauwe relatie weer met de kwantorvormen van de wetten van De Morgan.
Ten slotte wordt een algemeen begrip meestal geholpen door specifieke voorbeelden: stel dat het universum de verzameling auto’s is. Als $P(x)$ is “$x$ heeft vierwielaandrijving”, dan is de ontkenning van “elke auto heeft vierwielaandrijving” “er bestaat een auto die geen vierwielaandrijving heeft”. Dit is een voorbeeld van de eerste wet. Als $P(x)$is “$x$ heeft drie wielen”, dan is de ontkenning van “er is een auto met drie wielen” “elke auto heeft geen drie wielen”. Dit past in het patroon van de tweede wet. Op een meer wiskundige manier is een ontkenning van de zin “voor elke $x$ is $x^2$ positief” “er is een $x$ zodanig dat $x^2$ niet positief is”. Een ontkenning van “er is een $x$ zodanig dat $x^2=-1$” is “voor elke $x$ is $x^2 -1$.”
Het is gemakkelijk om de ontkenning van een zin te verwarren met iets sterkers. Als het universum de verzameling is van alle mensen, dan is de ontkenning van de zin “Alle mensen zijn lang” niet de zin “Geen mensen zijn lang. Dit zou je het tegenovergestelde van de oorspronkelijke zin kunnen noemen-het zegt meer dan simpelweg “Alle mensen zijn lang” is onwaar. De correcte ontkenning van deze zin is “er is iemand die niet lang is”, wat een aanzienlijk zwakkere uitspraak is. In symbolen is de ontkenning van “voor alle x bestaat P(x)$” “bestaat x niet P(x)$”, terwijl de tegenovergestelde ontkenning “voor alle x bestaat P(x)$ niet” is. (“Ontkenning” is een “officiële” term die veel gebruikt wordt; “tegenovergestelde”, zoals hier gebruikt, wordt niet veel gebruikt.
De wetten van Morgan kunnen worden gebruikt om ontkenningen van de “sommige” vorm en de “alle” vorm te vereenvoudigen; de ontkenningen zelf blijken dezelfde vormen te hebben, maar “omgekeerd”, dat wil zeggen, de ontkenning van een “alle” vorm is een “sommige” vorm, en vice versa. Stel dat $P(x)$ en $Q(x)$ formules zijn, dan hebben we $ niet voor alle x (P(x)impliceert Q(x)) \Bestaat x (P(x) en Q(x)) $$ Bestaat x niet (P(x) en Q(x) ) \De ontkenning van de zin “alle grasmaaiers lopen op benzine” is de zin “sommige grasmaaiers lopen niet op benzine” (niet “geen grasmaaiers lopen op benzine”, het omgekeerde).We verifiëren de eerste bewering en laten de tweede voor een oefening:$(P(x)geldt niet voor Q(x))iff(P(x)geldt niet voor Q(x))iff(P(x)geldt niet voor Q(x))$
Een formule is gewoonlijk eenvoudiger als $(P(x)geldt niet voor elke samengestelde uitdrukking, dat wil zeggen, het verschijnt alleen voor eenvoudige uitdrukkingen zoals $P(x)$. Het volgende is een voorbeeld van het vereenvoudigen van de ontkenning van een formule met behulp van de wetten van De Morgan:$ \lnot \lnot x (P(x)\lor \lnot Q(x))&iff \exist x \lnot(P(x)\lor \lnot Q(x))\cr &[iff]bestaat x(niet P(x)lor(niet Q(x))\cr &[iff]bestaat x(niet P(x)lor(niet Q(x))\cr \Ontkenningen van formules zijn uiterst nuttig. In een later hoofdstuk zullen we zien dat de technieken die bewijs door middel van tegenspraak en bewijs door middel van contrapositief worden genoemd er uitgebreid gebruik van maken. Ontkenningen kunnen ook een nuttig hulpmiddel zijn bij het studeren. Wanneer je een stelling of een definitie in de wiskunde leest, is het vaak nuttig om de ontkenning van die zin te vormen om te zien wat het betekent als de voorwaarde faalt. Hoe meer manieren je over een begrip in de wiskunde nadenkt, hoe duidelijker het moet worden.
Augustus De Morgan. ($y$-1871; DeMorgan noteerde zelf dat hij $x$ jaar oud was in het jaar $x^2$). DeMorgan’s vader stierf toen hij tien was, waarna hij werd opgevoed door zijn moeder, een vroom lid van de Church of England, die wilde dat hij dominee zou worden. In plaats van dominee te worden, ontwikkelde De Morgan een uitgesproken antipathie tegen de kerk, die zijn verdere loopbaan diep zou beïnvloeden.
De Morgan’s interesse in en talent voor wiskunde werden pas duidelijk op zijn veertiende, maar al op zijn zestiende ging hij naar Trinity College in Cambridge, waar hij algebra studeerde bij George Peacock en logica bij William Whewell. Hij was ook een uitstekend fluitspeler en werd prominent lid van muziekclubs in Cambridge.
Bij zijn afstuderen kon De Morgan geen positie krijgen in Oxford of Cambridge, omdat hij weigerde de vereiste religieuze test te ondertekenen (een test die pas in 1875 werd afgeschaft). In plaats daarvan werd hij, 22 jaar oud, professor in de wiskunde aan de universiteit van Londen, een nieuwe instelling die was opgericht volgens het principe van religieuze neutraliteit. Peacock en Gregory hadden al de aandacht gevestigd op het fundamentele belang van symboolmanipulatie voor de algebra; dat wil zeggen, zij stelden vast dat de fundamentele operaties van de algebra niet hoefden af te hangen van de interpretatie van de variabelen. De Morgan ging een (grote) stap verder: hij erkende dat de operaties ($+$, $-$, enz.) ook geen vaste betekenis hoeven te hebben (hoewel hij een uitzondering maakte voor de kwaliteit). Ondanks deze opvatting schijnt De Morgan toch gedacht te hebben dat de enige geschikte interpretaties voor de algebra de bekende numerieke domeinen waren, voornamelijk de reële en complexe getallen. Hij dacht zelfs dat de complexe getallen de meest algemene mogelijke algebra vormden, omdat hij de bekende algebraïsche eigenschappen van de reële en complexe getallen, zoals de commutativiteit, niet kon loslaten.
Een van De Morgans bekendste boeken was A Budget of Paradoxes. Hij gebruikte het woord `paradox’ voor alles wat buiten de geaccepteerde wijsheid over een onderwerp viel. Hoewel dit niet pejoratief geïnterpreteerd hoeft te worden, waren zijn voorbeelden in feite van de ‘wiskundige crank’-variant – wiskundig naïeve mensen die volhielden dat ze bijvoorbeeld de hoek konden berekenen of de kwadratuur van een cirkel konden bepalen.
De Morgan’s zoon George was zelf een vooraanstaand wiskundige. Samen met een vriend richtte hij de London Mathematical Society op, waarvan hij de eerste secretaris was; De Morgan was de eerste president.
In 1866 legde De Morgan zijn functie neer uit protest tegen een benoeming op religieuze gronden, die volgens De Morgan in strijd was met het beginsel van religieuze neutraliteit waarop de Londense universiteit was gestoeld. Twee jaar later overleed zijn zoon George, en kort daarna zijn dochter. Zijn eigen dood, wellicht bespoedigd door deze gebeurtenissen, stierf De Morgan in 1871 aan een zenuwinzinking.
De informatie hier is ontleend aan Lectures on Ten British Mathematicians, door Alexander Macfarlane, New York: John Wiley &Sons, 1916.
Oefeningen 1.3
Ex 1.3.1Verifieer deze tautologieën met behulp van waarheidstabellen.Niet (Plor Q)iff (niet (P) land niet (Q))$$ Niet (P) land Q)iff (niet (P) land niet (P) land niet (Q))$
Exercus 1.3.2Voorstel dat $R(x)$ de uitspraak is “$x$ is een rechthoek” en $S(x)$ de uitspraak “$x$ is een vierkant”. Schrijf de volgende beweringen symbolisch op en bepaal welke paren van beweringen elkaar ontkennen:
a) Alle rechthoeken zijn vierkanten.
b) Sommige rechthoeken zijn vierkanten.
c) Sommige vierkanten zijn geen rechthoeken.
d) Geen enkele rechthoek is een rechthoek.
e) Geen enkele rechthoek is een vierkant.
f) Alle vierkanten zijn rechthoeken.
g) Sommige vierkanten zijn rechthoeken.
h) Sommige rechthoeken zijn geen vierkanten.
Ex 1.3.3Schrijf symbolisch de volgende ontkenningen van definities betreffende een functie $f$:
| a) $f$ is niet stijgend. | c) $f$ is niet constant. |
| b) $f$ is niet afnemend. | d) $f$ heeft geen wortel. |
Exemplaar 1.3.4Versimpel de volgende uitdrukkingen:
| a) $iv niet voor alle x>0 (x^2>x)$ | c) $ niet vooralles x vooralles y (xy=y^2_uitgangspunt x=y)$ |
| b) $\lnot \exists x\in (x^2+x | d) $_x_x_x_x_x_x_x_x>y>x)$ |
Ex 1.3.5Verifieer de bewering:$ \leeft x (P(x) \lniet Q(x))$
Ex 1.3.6Opmerk dat$$Plor Q \lnot (P\lor Q)\lnot (\lnot P\land \lnot Q)$ dus $\lor$ kan worden uitgedrukt in termen van $\land$ en $\lnot$.
a) Laat zien hoe $\implies$ kan worden uitgedrukt in termen van $\land$ en $\lnot$.
b) Laat zien hoe $\land$ kan worden uitgedrukt in termen van $\niet$ en $\loor$.
c) Laat zien hoe $\loor$ kan worden uitgedrukt in termen van $\niet$ en $\volgt$.
Ex 1.3.7Uitdruk de universele kwantor $\vooral$ in termen van $\bestaat$ en $\niet$. Druk $:bestaat$ uit in termen van $:vooralles$ en $:niet$.
Examen 1.3.8Bereken het geboortejaar $y$ van De Morgan.