Voorstel dat je een functie $f(x)$ hebt, en je wilt zo nauwkeurig mogelijk vinden waar deze de $x$-as snijdt; met andere woorden, je wilt $f(x)=0$ oplossen. Veronderstel dat u geen enkele manier kent om een exacte oplossing te vinden via een algebraïsche procedure, maar dat u wel een benadering kunt gebruiken, op voorwaarde dat die vrij dicht bij de werkelijke waarde kan worden gebracht. De methode van Newton is een manier om een oplossing van de vergelijking te vinden tot in zoveel decimalen als u wilt. Het is wat men noemt een “iteratieve procedure”, hetgeen betekent dat zij steeds kan worden herhaald om een antwoord te krijgen dat steeds nauwkeuriger wordt. Iteratieve procedures zoals de methode van Newton zijn zeer geschikt voor het programmeren voor een computer. De methode van Newton maakt gebruik van het feit dat de raaklijn aan een kromme een goede benadering is van de kromme in de buurt van het raakpunt.
Voorbeeld 6.3.1 Benader $\ds \sqrt{3}$. Omdat $\ds \sqrt{3}$ een oplossing is voor $\ds x^2=3$ of $\ds x^2-3=0$, gebruiken we $\ds f(x)=x^2-3$. We beginnen met iets te raden dat redelijk dicht bij de echte waarde ligt; dit is meestal gemakkelijk te doen; laten we $\sqrt3x2$ gebruiken. Gebruik nu de raaklijn aan de kromme bij $x=2$ als benadering van de kromme, zoals weergegeven in figuur 6.3.1. Daar $f'(x)=2x$ is de helling van de raaklijn 4 en de vergelijking $y=4x-7$. De raaklijn ligt vrij dicht bij $f(x)$, dus snijdt ze de $x$-as in de buurt van het punt waar $f(x)$ in snijdt, dat wil zeggen in de buurt van $\ds \sqrt3$. Het is gemakkelijk te vinden waar de raaklijn de $x$-as snijdt: los $0=4x-7$ op om $x=7/4=1.75$ te krijgen. Dit is zeker een betere benadering dan 2, maar laat ons zeggen niet dicht genoeg. We kunnen het verbeteren door nog eens hetzelfde te doen: zoek de raaklijn aan $x=1.75$, zoek waar deze nieuwe raaklijn de $x$-as kruist, en gebruik die waarde als een betere benadering. We kunnen dit oneindig blijven doen, maar het wordt een beetje vervelend. Laten we eens kijken of we het proces kunnen verkorten. Stel dat de beste benadering van het intercept dat we tot nu toe hebben $ x_i$ is. Om een betere benadering te vinden doen we steeds hetzelfde: we zoeken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn op $x_i$, we zoeken de vergelijking van de raaklijn en we zoeken het $x$-afsnijpunt. De richtingscoëfficiënt is 2x_i$. De raaklijn is $ y=(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$, met behulp van de punt-helling formule voor een rechte. Tenslotte wordt het intercept gevonden door $0 =(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$ op te lossen. Met een beetje algebra wordt dit $_x=(x_i^2+3)/(2x_i)$; dit is de volgende benadering, die we natuurlijk $_x_{i+1}$ noemen. In plaats van telkens de hele raaklijnberekening te doen, kunnen we deze formule gebruiken om zoveel benaderingen te krijgen als we willen. Uitgaande van x_0=2$ krijgen we x_1=(x_0^2+3)/(2x_0)=(2^2+3)/4=7/4$ (dezelfde benadering als hierboven natuurlijk), x_2=(x_1^2+3)/(2x_1)=((7/4)^2+3)/(7/2)=97/56=1.73214$, $\ds x_3\approx 1.73205$, en binnenkort. Met de hand is dit nog wat omslachtig, maar met een rekenmachine of, nog beter, een goed computerprogramma, is het vrij eenvoudig om vele, vele benaderingen te krijgen. We kunnen al raden dat $1,73205$ tot op twee decimalen nauwkeurig is, en in feite blijkt het tot op 5 decimalen nauwkeurig te zijn.
Je kunt de functie hier veranderen, bijvoorbeeld in Math.sin(x) of Math.exp(x) of Math.pow(2,x) of 1-2/(x*x).
$x_{final}=$
Laten we dit proces eens in meer algemene termen bekijken. We willen een oplossing benaderen voor $f(x)=0$. We beginnen met een ruwe schatting, die we $x_0$ noemen. We gebruiken de raaklijn aan $f(x)$ om een nieuwe benadering te krijgen waarvan we hopen dat die dichter bij de echte waarde ligt. Wat is de vergelijking van de raaklijn als $0 x=x_0$? De richtingscoëfficiënt is $ f'(x_0)$ en de rechte gaat door $ f(x_0,f(x_0))$, dus de vergelijking van de rechte is $ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$Nu vinden we waar deze de $x$-as snijdt door $y=0$ te substitueren en op te lossen voor $x$:$x={x_0f'(x_0)-f(x_0)\over f'(x_0)} = x_0 – {f(x_0)\over f'(x_0)}.We zullen typisch meer dan één van deze verbeterde benaderingen willen berekenen, dus nummeren we ze opeenvolgend; uit $x_0$ hebben we $x_1$ berekend:$x_1={x_0f'(x_0)-f(x_0)²over f'(x_0)} = x_0 – {f(x_0)²over f'(x_0)},$ en in het algemeen uit $\ds x_i$ berekenen we $\ds x_{i+1}$:$x_{i+1}={x_if'(x_i)-f(x_i)²over f'(x_i)} = x_i – {f(x_i)²over f'(x_i)}.$
Voorbeeld 6.3.2 Terugkomend op het vorige voorbeeld, $\ds f(x)=x^2-3$, $f'(x)=2x$, en de formule wordt $\ds x_{i+1}=x_i – (x_i^2-3)/(2x_i)=(x_i^2+3)/(2x_i)$, zoals voorheen.
In de praktijk, dat wil zeggen als u een waarde moet benaderen bij het ontwerpen van een brug, een gebouw of een casco, moet u er enigszins op kunnen vertrouwen dat de benadering die u kiest nauwkeurig genoeg is. Als vuistregel geldt dat zodra een bepaald aantal decimalen niet meer verandert van de ene benadering naar de volgende, het waarschijnlijk is dat die decimalen juist zijn. Toch kan het zijn dat dit niet voldoende zekerheid biedt, in welk geval we het resultaat op nauwkeurigheid kunnen testen.
Voorbeeld 6.3.3 Bereken de $x$-coördinaat van het snijpunt van de krommen $y=2x$en $y=kan x$, tot op drie decimalen nauwkeurig. Om dit in de context van de methode van Newton te plaatsen, merken we op dat we willen weten waar $2x=2x2x$ of $f(x)=2x-2x=0$. We berekenen $³’s f'(x)=\sec^2 x – 2$ en stellen de formule op:$³’sx_{i+1} = x_i-{\tan x_i -2x_i\over \sec^2 x_i – 2}.$ Uit de grafiek in figuur 6.3.2 gokken we $1,310478030$, $2,223929096$, $3,176050900$,$4,165926508$, $5,165561636$ met behulp van de formule. We vermoeden dus dat de eerste drie plaatsen correct zijn, maar dat is niet hetzelfde als zeggen dat $1,165$ correct is tot op drie decimalen – $1,166$ zou de correcte, afgeronde benadering kunnen zijn. Hoe kunnen we dat zien? We kunnen $1.165$,$1.1655$ en $1.166$ substitueren in $\tan x – 2x$; dit geeft $-0.002483652$, $-0.000271247$, $0.001948654$. Aangezien de eerste twee negatief zijn en de derde positief, kruist $\tan x – 2x$ de$x$-as tussen $1,1655$ en $1,166$, dus de juiste waarde tot op drie plaatsen is $1,166$.
Oefeningen 6.3
Je kunt ditSage-werkblad gebruiken.
Examen 6.3.1Bepaal de vijfde wortel van 7, met $\ds x_0=1.5$ als eerste schatting. Gebruik de methode van Newton om x_3$ als benadering te vinden. (antwoord)
Exemplaar 6.3.2Gebruik de methode van Newton om de derdemachtswortel van 10 tot twee cijfers achter de komma te benaderen.(antwoord)
Exemplaar 6.3.3De functie $ f(x)=x^3-3x^2-3x+6$ heeft een wortel tussen 3 en 4, want $f(3)=-3$ en $f(4)=10$. Benader de wortel tot op twee decimalen.(antwoord)
Exemplaar 6.3.4Van een rechthoekig stuk karton met de afmetingen $8 maal 17$ wordt een doos met open dak gemaakt door uit elke hoek een vierkantje met zijde $x$ te knippen en de zijkanten om te buigen. (Zie oefening 20 in 6.1.) Als $x=2$, dan is het volume van de doos $2,4 maal 13=104$. Gebruik de methode van Newton om een waarde van $x$ te vinden waarvoor de doos volume100 heeft, tot op 3 significante cijfers nauwkeurig. (antwoord)