De afsnijfrequentie van een elektromagnetische golfgeleider is de laagste frequentie waarvoor een modus zich in de golfgeleider zal voortplanten. In de glasvezeloptiek wordt meestal uitgegaan van de afsnijgolflengte, de maximale golflengte die zich in een optische vezel of golfgeleider kan voortplanten. De afsnijfrequentie wordt gevonden met de karakteristieke vergelijking van de Helmholtz-vergelijking voor elektromagnetische golven, die wordt afgeleid van de elektromagnetische golfvergelijking door het longitudinale golfgetal gelijk te stellen aan nul en op te lossen voor de frequentie. Elke opwindingsfrequentie lager dan de afsnijfrequentie zal dus verzwakken in plaats van zich voortplanten. De volgende afleiding gaat uit van wanden zonder verliezen. De waarde van c, de lichtsnelheid, moet worden genomen als de groepssnelheid van licht in het materiaal van de golfgeleider.
Voor een rechthoekige golfgeleider is de afsnijfrequentie
ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 , {\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}}rechts)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}}rechts)^{2}}},
waarbij de gehele getallen n , m ≥ 0}
zijn de modusgetallen, en a en b de lengtes van de zijden van de rechthoek. Voor de TE-standen zijn n , m ≥ 0 {{displaystyle n,m} 0}
(maar n = m = 0 {{displaystyle n=m=0}
is niet toegestaan), terwijl voor TM-standen n , m ≥ 1 {\displaystyle n,m=geq 1}
.
De afsnijfrequentie van de TM01-stand (de eerstvolgende hogere van de dominante TE11-stand) in een golfgeleider met cirkelvormige doorsnede (de transversaal-magnetische stand zonder hoekafhankelijkheid en met de laagste radiale afhankelijkheid) wordt gegeven door
ω c = c χ 01 r = c 2.4048 r , {Displaystyle ω _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},}
waar r {{\displaystyle r}}
de straal van de golfgeleider is, en χ 01 {\displaystyle \chi _{01}}
is de eerste wortel van J 0 ( r ) {\displaystyle J_{0}(r)}
, de Bessel-functie van de eerste soort van orde 1.
De afsnijfrequentie van de dominante toestand TE11 wordt gegeven door
ω c = c χ 11 r = c 1,8412 r {\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {chi _{11}}{r}}=c{\frac {1,8412}{r}}}
De afsnijfrequentie van de dominante modus kan echter worden verlaagd door de invoering van een baffle binnen de golfgeleider met cirkelvormige doorsnede. Voor een optische vezel met enkele modus is de afsnijfrequentie de golflengte waarbij de genormaliseerde frequentie ongeveer gelijk is aan 2,405.
Wiskundige analyseEdit
Het uitgangspunt is de golfvergelijking (die is afgeleid van de Maxwell-vergelijkingen),
( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) ψ ( r , t ) = 0 , {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{c^{2}}}{\frac {\partieel ^{2}}}{\partieel {t}^{2}}}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,}
die een Helmholtz-vergelijking wordt door alleen functies van de vorm
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y , z ) e i ω t . {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{iomega t}.}
Substitueren en evalueren van de tijdsafgeleide geeft
( ∇ 2 + ω 2 c 2 ) ψ ( x , y , z ) = 0. {\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}rechts)\psi (x,y,z)=0.}
De functie ψ {\displaystyle \psi }
verwijst hier naar het veld (het elektrische veld of het magnetische veld) dat geen vectorcomponent in de lengterichting heeft – het “transversale” veld. Het is een eigenschap van alle eigenmodes van de elektromagnetische golfgeleider dat ten minste één van de twee velden transversaal is. De z-as wordt gedefinieerd als langs de as van de golfgeleider.
De “longitudinale” afgeleide in de Laplaciaan kan verder worden gereduceerd door alleen functies van de vorm
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y ) e i ( ω t – k z z ) te beschouwen , {{,y,z,t)=:psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z}rechts)},}
waarbij k z {{displaystyle k_{z}}
het longitudinale golfgetal is, resulterend in ( ∇ T 2 – k z 2 + ω 2 c 2 ) ψ ( x , y , z ) = 0 , {{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}})\psi (x,y,z)=0,}
waarbij subscript T een 2-dimensionale transversale Laplaciaan aangeeft. De laatste stap hangt af van de geometrie van de golfgeleider. De gemakkelijkst op te lossen geometrie is de rechthoekige golfgeleider. In dat geval kan de rest van de Laplaciaan worden geëvalueerd tot zijn karakteristieke vergelijking door oplossingen van de vorm
ψ ( x , y , z , t ) = ψ 0 e i ( ω t – k z z – k x x – k y y ) te beschouwen. {{0}e^{i}left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}yright)}.}
Dus voor de rechthoekige geleider wordt de Laplaciaan geëvalueerd, en komen we op
ω 2 c 2 = k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}
De transversale golfgetallen kunnen worden gespecificeerd uit de randvoorwaarden voor staande golven voor een dwarsdoorsnede met rechthoekige geometrie met afmetingen a en b:
k x = n π a , {{displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{a}},}
k y = m π b , {displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{b}},}
waarbij n en m de twee gehele getallen zijn die een specifieke eigenmode vertegenwoordigen. Door de laatste substitutie uit te voeren, verkrijgen we
ω 2 c 2 = ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 + k z 2 , {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}=-links({\frac {npi }{a}}rechts)^{2}+-links({\frac {mpi }{b}}rechts)^{2}+k_{z}^{2},}
dat is de dispersierelatie in de rechthoekige golfgeleider. De afsnijfrequentie ω c {{c}}
is de kritische frequentie tussen voortplanting en verzwakking, die overeenkomt met de frequentie waarbij het longitudinale golfgetal k z {\displaystyle k_{z}}
nul is. Deze wordt gegeven door ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 {\displaystyle \omega _{c}=c{{sqrt {links({\frac {n_pi }{a}}}rechts)^{2}+links({\frac {m_pi }{b}}}rechts)^{2}}}}
=c{\sqrt {\left({nfrac {npi}{a}}}right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}right)^{2}}