Toon mobiele notitie Toon alle notities Verberg alle notities
Hoofdstuk 4-13 : Methode van Newton
De volgende toepassing die we in dit hoofdstuk zullen bekijken, is een belangrijke toepassing die op veel gebieden wordt gebruikt. Als je het hoofdstuk tot nu toe hebt gevolgd, is het heel goed mogelijk dat je de indruk hebt gekregen dat veel van de toepassingen die we hebben bekeken alleen maar door ons zijn verzonnen om jou aan het werk te zetten. Dat is jammer, want alle toepassingen die we tot nu toe hebben bekeken zijn echte toepassingen die echt in echte situaties worden gebruikt. Het probleem is vaak dat we meer kennis nodig hebben over de wetenschap en/of de fysica achter het probleem dan we in het algemeen hebben, om zinvollere voorbeelden van de toepassingen te kunnen werken. Zonder die kennis zitten we vast aan tamelijk simplistische voorbeelden die vaak helemaal niet zo realistisch lijken en dat maakt het moeilijk om te begrijpen dat de toepassing waar we naar kijken een echte toepassing is.
Dat gaat in deze sectie veranderen. Dit is een toepassing die we allemaal kunnen begrijpen en waarvan we allemaal begrijpen dat die soms nodig is, zelfs als we de natuurkunde/wetenschap achter een echte toepassing niet begrijpen.
In dit deel gaan we kijken naar een methode om oplossingen van vergelijkingen te benaderen. We weten allemaal dat vergelijkingen soms moeten worden opgelost en in feite hebben we tot nu toe zelf al heel wat vergelijkingen opgelost. In alle voorbeelden die we tot nu toe hebben bekeken waren we in staat om de oplossingen te vinden, maar het is niet altijd mogelijk om dat precies te doen en/of het werk met de hand te doen. Dat is waar deze toepassing in het spel komt. Laten we eens kijken waar deze toepassing over gaat.
Stel dat we de oplossing van f(links( x rechts) = 0) willen benaderen en stel ook dat we op de een of andere manier een eerste benadering van deze oplossing hebben gevonden, laten we zeggen, \({x_0}}. Deze eerste benadering is waarschijnlijk niet zo goed, in feite is het misschien niet meer dan een snelle gok die we hebben gedaan, en dus willen we een betere benadering vinden. Dit is gemakkelijk genoeg om te doen. Eerst krijgen we de raaklijn aan {x_0}.
Nu kijken we naar de grafiek hieronder.
De blauwe lijn (als je dit toch in kleur leest…) is de raaklijn aan $x_{0}}. We kunnen zien dat deze lijn de x-as veel dichter zal kruisen dan de werkelijke oplossing van de vergelijking. We noemen het punt waar de raaklijn aan de x-as de x-as kruist, het punt waar de raaklijn de x-as kruist, en we gebruiken dit punt als onze nieuwe benadering van de oplossing.
Dus, hoe vinden we dit punt? We kennen de coördinaten, links({x_1},0} rechts)\), en we weten dat het op de raaklijn ligt, dus we plaatsen dit punt in de raaklijn en lossen op voor \({x_1},0}) als volgt,
Dus we kunnen de nieuwe benadering vinden, mits de afgeleide niet nul is bij de oorspronkelijke benadering.
Nu herhalen we het hele proces om een nog betere benadering te vinden. We vormen de raaklijn aan f(links( x rechts)bij f({x_1}) en gebruiken de wortel daarvan, die we f({x_2}) noemen, als nieuwe benadering van de eigenlijke oplossing. Als we dit doen, krijgen we de volgende formule.
Dit punt staat ook in de grafiek hierboven en we kunnen in deze grafiek zien dat als we dit proces blijven volgen, we een rij getallen krijgen die heel dicht bij de eigenlijke oplossing komen. Dit proces wordt de Methode van Newton genoemd.
Hier volgt de algemene Methode van Newton
Methode van Newton
Als \({x_n}} een benadering is van een oplossing van f(links( x rechts) = 0) en als \(f’links( {x_n}} rechts) = 0) dan wordt de volgende benadering gegeven door,
Dit zou moeten leiden tot de vraag: wanneer stoppen we? Hoe vaak doorlopen we dit proces? Een van de meest voorkomende stoppunten in het proces is om door te gaan tot twee opeenvolgende benaderingen tot een bepaald aantal decimalen overeenkomen.
Voordat we met voorbeelden gaan werken, moeten we twee zaken aan de orde stellen. Ten eerste moeten we echt f(links( x rechts) = 0 oplossen om de Methode van Newton te kunnen toepassen. Dit is niet zo’n groot probleem, maar we moeten er wel zeker van zijn dat de vergelijking deze vorm heeft voordat we de methode gebruiken.
Ten tweede moeten we op de een of andere manier een eerste benadering van de oplossing zien te krijgen (d.w.z. we hebben op de een of andere manier \({x_0}) nodig). Een van de meest gebruikelijke manieren om aan \({x_0}} te komen is door de grafiek van de functie te schetsen en die te gebruiken om een schatting van de oplossing te krijgen, die we dan gebruiken als \({x_0}}). Een andere gebruikelijke methode is als we weten dat er een oplossing is voor een functie in een interval, dan kunnen we het midden van het interval gebruiken als ({x_0}).
Laten we een voorbeeld geven van de methode van Newton.
Merk eerst op dat we geen eerste schatting hebben gekregen. We hebben wel een interval gekregen waarin we moeten zoeken. We zullen dit gebruiken om onze eerste schatting te krijgen. Zoals hierboven opgemerkt is de algemene vuistregel in dit soort gevallen dat de eerste benadering het midden van het interval moet zijn. We gebruiken dus \({x_0} = 1) als onze eerste schatting.
Nogmaals herinneren we ons dat we de functie moeten hebben in de vorm \(f_links( x \rechts) = 0). Daarom herschrijven we de vergelijking eerst als,
We kunnen nu de algemene formule voor Newtons Methode opschrijven. Dit maakt het werk vaak wat eenvoudiger, dus het is meestal geen slecht idee om dit te doen.
Laten we nu de eerste benadering maken.
Op dit punt moeten we erop wijzen dat de uitdrukking “zes decimalen” niet betekent dat we gewoon zes decimalen achter de komma halen en dan stoppen. In plaats daarvan betekent het dat we doorgaan tot twee opeenvolgende benaderingen tot zes cijfers achter de komma overeenkomen.
Gezien deze stopvoorwaarde moeten we duidelijk nog minstens één stap verder gaan.
Okee, we maken vorderingen. We hebben de benadering op 1 decimaal. We doen er nog een, maar laten de details aan jou over.
We hebben het tot drie cijfers achter de komma. We hebben er nog een nodig.
En nu hebben we twee benaderingen die tot 9 cijfers achter de komma overeenkomen en dus kunnen we stoppen. We nemen aan dat de oplossing ongeveer {x_4} = 0,7390851332} is.
In dit laatste voorbeeld hebben we gezien dat we niet al te veel berekeningen hoefden uit te voeren om met de Methode van Newton een benadering te krijgen in het gewenste nauwkeurigheidsbereik. Dit zal niet altijd het geval zijn. Soms zijn er vele iteraties nodig om de gewenste nauwkeurigheid te bereiken en soms kan het helemaal mislukken.
Het volgende voorbeeld is een beetje flauw, maar het maakt wel duidelijk dat de methode mislukt.
Ja, het is een dom voorbeeld. De oplossing is natuurlijk x = 0, maar het maakt wel een heel belangrijk punt. Laten we de algemene formule voor de methode van Newton eens doornemen.
In feite hoeven we hier geen berekeningen te maken. Deze berekeningen raken bij elke iteratie steeds verder van de oplossing, x = 0, verwijderd. Hier zijn een paar berekeningen om het duidelijk te maken.
Dus in dit geval faalt de methode en faalt spectaculair.
Dus moeten we een beetje voorzichtig zijn met de methode van Newton. Meestal vindt de methode snel een benadering van een vergelijking. Er zijn echter momenten dat het veel werk kost of dat het helemaal niet werkt.