Equipotentiaallijnen | Natuurkunde

Leerdoelen

Aan het eind van dit hoofdstuk zul je in staat zijn:

Elektriciteitslijnen en equipotentiaalvlakken uit te leggen.
de werking van het aarden van een elektrisch apparaat beschrijven.
elektrisch veld en equipotentiaallijnen vergelijken.

We kunnen elektrische potentialen (spanningen) picturaal voorstellen, net zoals we plaatjes hebben getekend om elektrische velden te illustreren. Natuurlijk zijn de twee verwant. Beschouw figuur 1, die een geïsoleerde positieve puntlading en zijn elektrische veldlijnen toont. Elektrische veldlijnen stralen uit van een positieve lading en eindigen op negatieve ladingen. Terwijl we blauwe pijlen gebruiken om de grootte en richting van het elektrisch veld weer te geven, gebruiken we groene lijnen om plaatsen weer te geven waar de elektrische potentiaal constant is. Deze worden equipotentiaallijnen genoemd in twee dimensies, of equipotentiaalvlakken in drie dimensies. De term equipotentiaal wordt ook gebruikt als zelfstandig naamwoord, verwijzend naar een equipotentiaallijn of -oppervlak. De potentiaal van een puntlading is overal gelijk op een denkbeeldige bol met straal r die de lading omgeeft. Dit is waar omdat de potentiaal van een puntlading gegeven wordt door V=\frac{kQ}{r} en dus dezelfde waarde heeft in elk punt dat op een gegeven afstand r van de lading ligt. Een equipotentiaalgebied is een cirkel in het tweedimensionale beeld van figuur 1. Omdat de elektrische veldlijnen radiaal van de lading weg wijzen, staan ze loodrecht op de equipotentiaallijnen.

De figuur toont een positieve lading Q in het middelpunt van vier concentrische cirkels met oplopende stralen. De elektrische potentiaal is gelijk langs elk van de cirkels, equipotentiaallijnen genoemd. Rechte lijnen die elektrische veldlijnen voorstellen, worden vanuit de positieve lading getrokken en snijden de cirkels op verschillende punten. De equipotentiaallijnen staan loodrecht op de elektrische veldlijnen.

Figuur 1. Een geïsoleerde puntlading Q met de elektrische veldlijnen in blauw en de equipotentiaallijnen in groen. De potentiaal is langs elke equipotentiaallijn gelijk, wat betekent dat er geen arbeid nodig is om een lading ergens langs een van deze lijnen te verplaatsen. Er is wel arbeid nodig om een lading van de ene equipotentiaallijn naar de andere te verplaatsen. Equipotentiaallijnen staan in alle gevallen loodrecht op elektrische veldlijnen.

Het is belangrijk op te merken dat equipotentiaallijnen altijd loodrecht staan op elektrische veldlijnen. Er is geen arbeid nodig om een lading langs een equipotentiaal te bewegen, omdat ΔV = 0. De arbeid is dus

W = -ΔPE = -qΔV = 0.

De arbeid is nul als de kracht loodrecht op de beweging staat. De kracht staat in dezelfde richting als E, zodat de beweging langs een equipotentiaal loodrecht moet staan op E. Preciezer gezegd is arbeid gerelateerd aan het elektrisch veld door

W = Fd cos θ = qEd cos θ = 0.

Merk op dat in bovenstaande vergelijking E en F de grootheden van respectievelijk de elektrische veldsterkte en de kracht symboliseren. Noch q noch E noch d is nul, en dus moet cos θ 0 zijn, wat betekent dat θ 90º moet zijn. Met andere woorden, beweging langs een equipotentiaal staat loodrecht op E.

Een van de regels voor statische elektrische velden en geleiders is dat het elektrisch veld loodrecht moet staan op het oppervlak van elke geleider. Dit impliceert dat een geleider in statische situaties een equipotentiaal oppervlak is. Er kan geen spanningsverschil zijn over het oppervlak van een geleider, of er zullen ladingen vloeien. Een van de toepassingen van dit feit is dat een geleider op nul volt kan worden gefixeerd door hem met de aarde te verbinden met een goede geleider – een proces dat aarding wordt genoemd. Aarden kan een nuttig veiligheidsinstrument zijn. Zo zorgt aarding van de metalen behuizing van een elektrisch apparaat ervoor dat de spanning op nul staat ten opzichte van de aarde.

Gronding

Een geleider kan op nul worden gezet door hem met een goede geleider met de aarde te verbinden – een proces dat aarding wordt genoemd.

Omdat een geleider een equipotentiaal is, kan hij elk equipotentiaal oppervlak vervangen. Bijvoorbeeld, in Figuur 1 kan een geladen sferische geleider de puntlading vervangen, en het elektrische veld en de potentiaaloppervlakken buiten het zullen onveranderd zijn, bevestigend de bewering dat een sferische ladingsverdeling gelijkwaardig is aan een puntlading in zijn centrum.

Figuur 2 toont het elektrische veld en de equipotentiaallijnen voor twee gelijke en tegenovergestelde ladingen. Gegeven de elektrische veldlijnen, kunnen de equipotentiaallijnen eenvoudig worden getekend door ze loodrecht op de elektrische veldlijnen te zetten. Omgekeerd, gegeven de equipotentiaallijnen, zoals in figuur 3a, kunnen de elektrische veldlijnen worden getekend door ze loodrecht op de equipotentiaallijnen te zetten, zoals in figuur 3b.

De figuur toont twee reeksen concentrische cirkels, equipotentiaallijnen genoemd, getekend met positieve en negatieve ladingen in hun middelpunten. Gebogen elektrische veldlijnen gaan uit van de positieve lading en buigen af naar de negatieve lading. De lijnen vormen gesloten krommen tussen de ladingen. De equipotentiaallijnen staan altijd loodrecht op de veldlijnen.

Figuur 2. De elektrische veldlijnen en equipotentiaallijnen voor twee gelijke maar tegengestelde ladingen. De equipotentiaallijnen kunnen worden getekend door ze loodrecht op de elektrische veldlijnen te zetten, als die bekend zijn. Merk op dat de potentiaal het grootst (meest positief) is bij de positieve lading en het kleinst (meest negatief) bij de negatieve lading.

Figuur (a) toont twee cirkels, equipotentiaallijnen genoemd, waarlangs de potentiaal tien volt negatief is. Een haltervormig oppervlak omsluit de twee cirkels en is gelabeld met negatieve vijf volt. Dit oppervlak is omgeven door een ander oppervlak met het opschrift twee volt negatief. Figuur (b) toont dezelfde equipotentiaallijnen, elk met een negatieve lading in het middelpunt. Blauwe elektrische veldlijnen buigen vanuit alle richtingen naar de negatieve ladingen toe.

Figuur 3. (a) Deze equipotentiaallijnen kunnen worden gemeten met een voltmeter in een laboratoriumexperiment. (b) De overeenkomstige elektrische veldlijnen worden gevonden door ze loodrecht op de equipotentiaallijnen te tekenen. Merk op dat deze velden consistent zijn met twee gelijke negatieve ladingen.

De figuur toont twee parallelle platen A en B gescheiden door een afstand d. Plaat A is positief geladen, en B is negatief geladen. De elektrische veldlijnen zijn parallel aan elkaar tussen de platen en gebogen dichtbij de einden van de platen. De spanningen gaan van honderd volt bij plaat A tot nul volt bij plaat B.

Figuur 4. Het elektrisch veld en de equipotentiaallijnen tussen twee metalen platen.

Een van de belangrijkste gevallen is dat van de bekende parallelle geleidende platen, weergegeven in figuur 4. Tussen de platen zijn de equipotentiaallijnen gelijkmatig verdeeld en evenwijdig. Hetzelfde veld zou kunnen worden gehandhaafd door geleidende platen op de equipotentiaallijnen te plaatsen bij de afgebeelde potentialen.

Een belangrijke toepassing van elektrische velden en equipotentiaallijnen betreft het hart. Het hart vertrouwt op elektrische signalen om zijn ritme te handhaven. De beweging van elektrische signalen zorgt ervoor dat de kamers van het hart samentrekken en ontspannen. Wanneer iemand een hartaanval heeft, kan de beweging van deze elektrische signalen worden verstoord. Een kunstmatige pacemaker en een defibrillator kunnen worden gebruikt om het ritme van de elektrische signalen op gang te brengen. De equipotentiaallijnen rond het hart, de borststreek en de hartas zijn nuttige manieren om de structuur en de functies van het hart te controleren. Een elektrocardiogram (ECG) meet de kleine elektrische signalen die tijdens de activiteit van het hart worden opgewekt. Meer over de relatie tussen elektrische velden en het hart wordt besproken in Energie opgeslagen in condensatoren.

PhET Verkenningen: Charges and Fields

Verplaats puntladingen op het speelveld en bekijk vervolgens het elektrische veld, spanningen, equipotentiaallijnen en meer. Het is kleurrijk, het is dynamisch, het is gratis.

Klik om de simulatie uit te voeren.

Samenvatting van het hoofdstuk

Een equipotentiaallijn is een lijn waarlangs de elektrische potentiaal constant is.
Een equipotentiaaloppervlak is een driedimensionale versie van equipotentiaallijnen.
Equipotentiaallijnen staan altijd loodrecht op elektrische veldlijnen.
Het proces waarbij een geleider op nul volt kan worden vastgezet door hem met een goede geleider met de aarde te verbinden, wordt aarding genoemd.

Conceptuele vragen

Wat is een equipotentiaallijn? Wat is een equipotentiaal oppervlak?
Leg in je eigen woorden uit waarom equipotentiaallijnen en -oppervlakken loodrecht op elektrische veldlijnen moeten staan.
Kunnen verschillende equipotentiaallijnen elkaar kruisen? Leg uit.

Problemen & Oefeningen

(a) Schets de equipotentiaallijnen bij een puntlading +q. Geef de richting van de toenemende potentiaal aan. (b) Doe hetzelfde voor een puntlading -3q.
Schets de equipotentiaallijnen voor de twee gelijke positieve ladingen in figuur 5. Geef de richting van de toenemende potentiaal aan.

Figuur 5.
Figuur 6 toont de elektrische veldlijnen in de buurt van twee ladingen q1 en q2, waarvan de eerste een grootte heeft die vier keer zo groot is als de tweede. Schets de equipotentiaallijnen voor deze twee ladingen, en geef de richting van de toenemende potentiaal aan.
Schets de equipotentiaallijnen op grote afstand van de ladingen uit figuur 6. Geef de richting van de toenemende potentiaal aan.

Figuur 6. Het elektrisch veld nabij twee ladingen.
Schets de equipotentiaallijnen in de nabijheid van twee tegengestelde ladingen, waarbij de negatieve lading driemaal zo groot is als de positieve. Zie figuur 6 voor een vergelijkbare situatie. Geef de richting van de toenemende potentiaal aan.
Schets de equipotentiaallijnen in de nabijheid van de negatief geladen geleider in figuur 7. Hoe zullen deze equipotentialen er op grote afstand van het object uitzien?

Figuur 7. Een negatief geladen conductor.
Schets de equipotentiaallijnen rond de twee geleidende platen die in Figuur 8 worden getoond, gegeven de hoogste plaat positief is en de bodemplaat een gelijke hoeveelheid negatieve lading heeft. Geef de verdeling van de lading op de platen aan. Is het veld het sterkst waar de platen het dichtst bij elkaar liggen? Waarom zou dat zo zijn?

Figuur 8.
(a) Schets de elektrische veldlijnen in de nabijheid van de geladen isolator in Figuur 9. Let op de niet-uniforme ladingsverdeling. (b) Schets equipotentiaallijnen rond de isolator. Geef de richting van toenemende potentiaal aan.

Figuur 9.
De natuurlijke lading op de grond op een mooie dag in de open lucht is -1,00 nC/m2. (a) Wat is het elektrisch veld ten opzichte van de grond op een hoogte van 3,00 m? (b) Bereken de elektrische potentiaal op deze hoogte. (c) Schets het elektrisch veld en de equipotentiaallijnen voor dit scenario.
De kleine elektrische straal (Narcine bancroftii) heeft een ongelofelijke lading op zijn kop en een lading gelijk in grootte maar tegengesteld in teken op zijn staart (figuur 10). (a) Schets de equipotentiaallijnen rondom de straal. (b) Schets de equipotentiaal wanneer de straal in de buurt is van een schip met een geleidend oppervlak. (c) Hoe zou deze ladingsverdeling van nut kunnen zijn voor de straal?

Figuur 10. Kleine elektrische straal (Narcine bancroftii) (credit: National Oceanic and Atmospheric Administration, NOAA’s Fisheries Collection).