Grenzenloze Algebra

Basisprincipes van Grafieken Exponentiële functies

De exponentiële functie y=b^x waarbij b>0 is een functie die evenredig blijft met haar oorspronkelijke waarde wanneer zij groeit of afneemt.

Definities

Op het meest basale niveau is een exponentiële functie een functie waarin de variabele in de exponent voorkomt. De meest elementaire exponentiële functie is een functie van de vorm y=b^x waarbij b een positief getal is.

Wanneer b>1 groeit de functie op een manier die evenredig is met de oorspronkelijke waarde. Dit heet exponentiële groei.

Wanneer 0>b>1 neemt de functie af op een manier die evenredig is met haar oorspronkelijke waarde. Dit heet exponentieel verval.

Grafiek van een exponentiële functie

Laten we eens kijken naar de functie y=2^x als b>1. Een manier om deze functie grafisch weer te geven is door waarden voor x te kiezen en deze in de vergelijking te substitueren om waarden voor y te genereren. Dit levert de volgende punten op:

(-2,\frac{1}{4}), (-1,\frac{1}{2}), (0,1), (1,2) en (2,4)

Als je de punten met elkaar verbindt, zie je een vloeiende kromme die de y-as kruist in het punt (0,1) en steeds groter wordt naarmate x een steeds grotere waarde aanneemt. Dat wil zeggen dat de kromme oneindig wordt naarmate x oneindig wordt. Als x steeds kleiner wordt, komt de kromme steeds dichter bij de x-as te liggen. Dat wil zeggen dat de kromme nul nadert als x negatief oneindig nadert, waardoor de x-as een horizontale asymptoot van de functie is. Het punt (1,b) ligt op de grafiek. Dit geldt voor de grafiek van alle exponentiële functies van de vorm y=b^x voor x>1.

Voorbeeld 2

Beschouwen we de functie y=2^x als 0<b<1. Een manier om deze functie grafisch weer te geven is door waarden voor x te kiezen en deze in de vergelijking te substitueren om waarden voor y te genereren. Zo krijg je de volgende punten:

(-2,4), (-1,2), (0,1), (1,\frac{1}{2}) en (2,\frac{1}{4})

Als je de punten met elkaar verbindt zie je een vloeiende kromme die de y-as kruist in het punt (0,1) en afneemt naarmate x steeds grotere waarden aanneemt. De kromme nadert oneindig nul als oneindig nadert. Als x steeds kleiner wordt, komt de kromme steeds dichter bij de x-as te liggen. Dat wil zeggen, de kromme nadert nul als x negatief oneindig nadert, waardoor de x-as een horizontale asymptoot van de functie wordt. Het punt (1,b) ligt op de grafiek. Dit geldt voor de grafiek van alle exponentiële functies van de vorm y=b^x voor 0<x<1.

Zoals je in de grafiek hieronder kunt zien, is de grafiek van y=\frac{1}{2}^x symmetrisch met die van y=2^x over de y-as. Dat wil zeggen dat als het vlak over de y-as zou worden gevouwen, de twee krommen op elkaar zouden liggen.

Waarom moet b een positief getal zijn?

Als b=1, dan wordt de functie y=1^x. Aangezien 1 tot elke macht 1 oplevert, is de functie gelijk aan y=1, wat een horizontale lijn is, geen exponentiële vergelijking.

Als b negatief is, dan resulteert verhoging van b tot een even macht in een positieve waarde voor y, terwijl verhoging van b tot een oneven macht resulteert in een negatieve waarde voor y, waardoor het onmogelijk is de verkregen punten op een zinvolle manier samen te voegen en zeker niet op een manier die een kromme oplevert zoals in de voorbeelden hierboven.

Eigenschappen van exponentiële grafieken

Het punt (0,1) ligt altijd op de grafiek van een exponentiële functie van de vorm y=b^x omdat b positief is en elk positief getal tot de macht nul levert 1 op.

Het punt (1,b) ligt altijd op de grafiek van een exponentiële functie van de vorm y=b^x omdat elk positief getal b tot de eerste macht 1 oplevert.

De functie y=b^x neemt alleen positieve waarden aan omdat elk positief getal b alleen positieve waarden oplevert als het tot een willekeurige macht wordt verheven.

De functie y=b^x heeft de x-as als horizontale asymptoot omdat de kromme altijd de x-as zal naderen als x ofwel positief ofwel negatief oneindig nadert, maar nooit de as zal kruisen omdat deze nooit gelijk aan nul zal zijn.

Grafieken van logaritmische functies

Logaritmische functies kunnen handmatig of elektronisch worden gegraveerd, waarbij de punten meestal met behulp van een rekenmachine of tabel worden bepaald.

Hieronder staan grafieken van logaritmische functies met grondslagen 2, e, en 10.

Alledrie de logaritmische grafieken beginnen met een steile klim na x=0, maar strekken zich steeds meer horizontaal uit, waarbij hun helling steeds kleiner wordt naarmate x toeneemt. Ze kruisen allemaal de x-as bij x=1.

Eigenschappen van de grafieken van logaritmische functies

De grafiek kruist de x-as bij 1. Dat wil zeggen, de grafiek heeft een x-afsnijpunt van 1, en als zodanig ligt het punt (1,0) op de grafiek. In feite ligt het punt (1,0) altijd op de grafiek van een functie van de vorm y=log{_b}x waarbij b>0. Voor x=1 wordt de vergelijking van de grafiek namelijk y=log{_b}1.

Dus zijn we op zoek naar een exponent y zodat b^y=1. Aangezien b>0 is, is de exponent die we zoeken 1, ongeacht de waarde van b. Dit betekent dat het punt (x,y)=(1,0) altijd op een logaritmische functie van dit type zal liggen.

Asymptoten

De y-as is een verticale asymptoot van de grafiek. Dit betekent dat de kromme steeds dichter bij de y-as komt, maar deze niet kruist.

Laten we eens kijken wat er gebeurt als de waarde van x van rechts nul nadert voor de vergelijking waarvan de grafiek hierboven staat. Namelijk, y=log{_b}x. We kunnen dit doen door waarden voor x te kiezen, die in de vergelijking in te vullen en zo waarden voor y te genereren.

Laten we aannemen dat b een positief getal groter dan 1 is, en laten we waarden van x tussen 0 en 1 onderzoeken. Onder deze omstandigheden wordt de vergelijking, als we x==Log = b.

Dus zoeken we een exponent zodanig dat b verheven tot die exponent resulteert in γfrac{1}{b}. De exponent die we zoeken is -1 en het punt (\frac{1}{b},-1) ligt op de grafiek. Op dezelfde manier kunnen we de volgende punten krijgen die ook op de grafiek liggen:

(\frac{1}{b^2},-2),(\frac{1}{b^3},-3),(\frac{1}{b^4},-4) enzovoort

Als we waarden van x nemen die nog dichter bij 0 liggen, komen we op de volgende punten uit: (\frac{1}{b^{10}},-10),(\frac{1}{b^{100}},-100) en (\frac{1}{b^{1000}},-1000)

Zoals je ziet wordt de grafiek steeds negatiever naarmate de waarde van x dichter bij 0 komt. Dat wil zeggen, als x dichter bij nul komt, nadert de grafiek negatieve oneindigheid. Dit betekent dat de y-as een verticale asymptoot van de functie is.

Domein en Bereik

Het domein van de functie bestaat uit alle positieve getallen. Dat betekent dat de x-waarde van de functie altijd positief zal zijn. Laten we eerst eens nagaan waarom de x-waarde van de kromme nooit 0 is.

Als de x-waarde nul zou zijn, zou de functie luiden y=log{_b}0.

Hier zoeken we een exponent zodanig dat b verheven tot die exponent 0 is. Aangezien b een positief getal is, is er geen exponent waartoe we b kunnen verheffen om 0 te krijgen. In feite, aangezien b positief is, zal verheffen tot een macht altijd een positief getal opleveren.

Het bereik van de functie is alle reële getallen. Dat wil zeggen dat de grafiek elk reëel getal kan aannemen.

Vergelijking van y=log{_x} en y=\sqrt{x}

Op het eerste gezicht kan de grafiek van de logaritmische functie gemakkelijk verward worden met die van de vierkantswortel functie.

Zowel de vierkantswortel- als de logaritmische functie hebben een domein dat beperkt is tot x-waarden groter dan 0. De logaritmische functie heeft echter een verticale asymptoot die afdaalt naar -40 naarmate x dichter bij 0 komt, terwijl de vierkantswortel een minimale y-waarde van 0 bereikt. Het bereik van de vierkantswortelfunctie is alle niet-negatieve reële getallen, terwijl het bereik van de logaritmische functie alle reële getallen is.

Grafiek van logaritmische functies

Grafiek van logaritmische functies kan worden gedaan door punten op de kromme met de hand of met een rekenmachine te zoeken.

Bij grafiektekenen zonder rekenmachine gebruiken we het feit dat de inverse van een logaritmische functie een exponentiële functie is.

Bij grafieken met een rekenmachine maken we gebruik van het feit dat de rekenmachine alleen gewone logaritmen (basis is 10), natuurlijke logaritmen (basis is e) of binaire logaritmen (basis is 2) kan berekenen. Natuurlijk, als we een grafische rekenmachine hebben, kan de rekenmachine een grafiek van de functie maken zonder dat we punten op de grafiek hoeven te vinden.

Grafiek van logaritmische functies met behulp van hun inverses

Logaritmische functies kunnen met de hand worden berekend zonder gebruik te maken van een rekenmachine, als we gebruik maken van het feit dat ze inverses zijn van exponentiële functies.

Laten we opnieuw de grafiek van de volgende functie bekijken:

y=log{_3}x

Dit kan in exponentiële vorm worden geschreven als:

3^y=x

Nu bekijken we de inverse van deze functie. Daartoe verwisselen we x en y:

3^x=y

De exponentiële functie 3^x=y is er een waar we gemakkelijk punten voor kunnen genereren. Als we enkele waarden voor x nemen en die in de vergelijking stoppen om de overeenkomstige waarden voor y te vinden, krijgen we de volgende punten:

(-2,\frac{1}{9}),(-1,\frac{1}{3}),(0,1),(1,3),(2,9) en (3,27)

Nou moeten we opmerken dat deze punten niet op de oorspronkelijke functie liggen (y=log{_3}x) maar eerder op zijn inverse 3^x=y. Als we echter de x- en y-coördinaten van elk punt omwisselen, krijgen we in feite een lijst van punten op de oorspronkelijke functie.

Dit zijn: (\frac{1}{9},-2),(\frac{1}{3},-1),(1,0),(3,1),(9,2) en (27,3).

We plotten en verbinden deze punten om de onderstaande grafiek van de functie y=log{_3}x te krijgen.

Grafiek van logaritmische functies met basen tussen 0 en 1

Tot nu toe hebben we een grafiek gemaakt van logaritmische functies waarvan de basen groter zijn dan 1. Als we in plaats daarvan logaritmische functies bekijken met een basis b, zodanig dat 0<b<1, dan krijgen we een grafiek die erg lijkt op de grafieken die we al gezien hebben.

In feite, als b>0 is, zijn de grafiek van y=log{_b}x en de grafiek van y=log{_frac{1}{b}}x symmetrisch over de x-as. Als we dus een punt (x,y) vinden op de grafiek van y=log{_b}x, dan kunnen we het overeenkomstige punt op y=log{_frac{1}{b}x vinden door het teken van de y-coördinaat te veranderen. Het overeenkomstige punt is (x,-y).

Hier volgt een voorbeeld voor b=2.

Oplossen van problemen met logaritmische grafieken

Sommige functies met een snel veranderende vorm kunnen het beste worden uitgezet op een schaal die exponentieel toeneemt, zoals een logaritmische grafiek.

Waarom een logaritmische schaal gebruiken?

Veel wiskundige en natuurkundige relaties zijn functioneel afhankelijk van variabelen van een hoge orde. Dit betekent dat voor kleine veranderingen in de onafhankelijke variabele er zeer grote veranderingen zijn in de afhankelijke variabele. Het wordt dus moeilijk om zulke functies op de standaardas in een grafiek weer te geven.

Bedenk als voorbeeld de wet van Stefan-Boltzmann, die het door een zwart lichaam uitgezonden vermogen (j*) relateert aan de temperatuur (T).

j^*= \sigma T^4

Op een standaardgrafiek kan deze vergelijking nogal onhandelbaar zijn. De vierdegraadsafhankelijkheid van de temperatuur betekent dat het vermogen extreem snel toeneemt. Het feit dat de snelheid steeds toeneemt (en steil) betekent dat het veranderen van schaal (schalen van de assen met 5, 10 of zelfs 100) weinig helpt om de grafiek gemakkelijker interpreteerbaar te maken.

Voor zeer steile functies is het mogelijk punten soepeler te plotten met behoud van de integriteit van de gegevens: men kan een grafiek gebruiken met een logaritmische schaal, waarbij in plaats van elke spatie op een grafiek een constante toename staat, deze een exponentiële toename voorstelt. Waar een normale (lineaire) grafiek gelijke intervallen heeft van 1, 2, 3, 4, stelt een logaritmische schaal diezelfde gelijke intervallen voor als 1, 10, 100, 1000. Hier zijn enkele voorbeelden van functies die zijn uitgezet op een lineaire schaal, een semi-logaritmische schaal en een logaritmische schaal.

Het bovenste links is een lineaire schaal. De schaal rechtsonder is een logaritmische schaal. Rechtsboven en linksonder worden semi-logische schalen genoemd omdat de ene as lineair wordt geschaald terwijl de andere met logaritmen wordt geschaald.

Zoals u kunt zien, heeft de grafiek bij gebruik van een logaritmische schaal voor beide assen (rechtsonder) de eigenschappen behouden van de oorspronkelijke grafiek (linksboven) waar voor beide assen een lineaire schaal werd gebruikt. Dat betekent dat als we een functie willen weergeven die onhandelbaar is op een lineaire schaal, we een logaritmische schaal op elke as kunnen gebruiken en de eigenschappen van de grafiek kunnen behouden, terwijl het tegelijkertijd gemakkelijker wordt om een grafiek te maken.

Met de semi-logische schalen hebben de functies vormen die scheefgetrokken zijn ten opzichte van het origineel. Wanneer alleen de x-as een log-schaal heeft, ziet de logaritmische curve er als een lijn uit en de lineaire en exponentiële curven beide als exponentieel. Wanneer alleen de y-as een log-schaal heeft, verschijnt de exponentiële kromme als een lijn en de lineaire en logaritmische krommen beide als logaritmisch.Opgemerkt moet worden dat de voorbeelden in de grafieken bedoeld waren om een punt te illustreren en dat de gegraveerde functies niet noodzakelijkerwijs onhandelbaar waren op een lineair geschaalde reeks assen.

Omzetting van lineaire naar logaritmische schalen

Het belangrijkste verschil tussen de logaritmische en lineaire schalen is dat, terwijl het verschil in waarde tussen lineaire punten van gelijke afstand constant blijft (dat wil zeggen, als de ruimte van 0 tot 1 op de schaal 1 cm is op de pagina, de afstand van 1 tot 2, 2 tot 3, enz, hetzelfde zijn), zal het verschil in waarde tussen punten op een logaritmische schaal exponentieel veranderen. Een logaritmische schaal begint bij een bepaalde macht van 10, en neemt met elke eenheid toe met een macht van 10.

Dus, als men een lineaire schaal (met waarden 0-5 naar een logaritmische schaal wil converteren, zou een optie zijn om 1,2,3,4 en 5 te vervangen door respectievelijk 0,001,0,01,0,1,1,10 en 100. Tussen elke hoofdwaarde op de logaritmische schaal komen de hashmarks steeds dichter bij elkaar te staan naarmate de waarde toeneemt. Bijvoorbeeld, in de ruimte tussen 1 en 10 staan de 8 en 9 veel dichter bij elkaar dan de 2 en 3.

Het gebruik van een logaritmische schaal heeft twee voordelen. Ten eerste kan men zo een zeer groot bereik van gegevens uitzetten zonder de vorm van de grafiek te verliezen. Ten tweede kan men op elk punt van de grafiek interpoleren, ongeacht het bereik van de grafiek. Soortgelijke gegevens die op een lineaire schaal worden uitgezet, zijn minder duidelijk.

Oplossen van problemen met logaritmische grafieken

Een belangrijk punt bij het gebruik van logaritmische grafieken om problemen op te lossen, is dat ze de schaal zodanig vergroten dat grote gegevensbereiken zinvoller worden. In de vergelijking hierboven (j^*= \sigma T^4), zou het uitzetten van j tegen T de verwachte kromme opleveren, maar de schaal zou zodanig zijn dat minieme veranderingen onopgemerkt blijven en de grootschalige effecten van de relatie de grafiek overheersen: Het is zo groot dat de “interessante gebieden” niet op een leesbare schaal op het papier passen.

Het nemen van de logaritme van elke zijde van de vergelijkingen levert op: logj=log{(\tau ) }^4 . We baseren ons nu op de eigenschappen van logaritmen om de vergelijking te herschrijven.

Herinner je de volgende eigenschappen van logaritmen:

log(ab)=log(a)+log(b) ^b=(b)log(a)

Met behulp van het bovenstaande wordt onze vergelijking:

begin{align} &=4 log{(\sigma\tau ) } &=4log{(\sigma)}+4log{(\tau ) } &=4\log{(\tau ) }+4\log{(\sigma)} \einde{align}