Infiniteit is een machtig concept. Filosofen, kunstenaars, theologen, wetenschappers en mensen uit alle lagen van de bevolking hebben door de geschiedenis heen geworsteld met ideeën over het oneindige en het eeuwige.
Infiniteit is ook een uiterst belangrijk begrip in de wiskunde. Oneindigheid duikt bijna onmiddellijk op bij het omgaan met oneindig grote verzamelingen – verzamelingen getallen die eeuwig doorgaan, zoals de natuurlijke, of tellende getallen: 1, 2, 3, 4, 5, enzovoort.
Eindige verzamelingen zijn echter niet allemaal gelijk. Er zijn in feite veel verschillende maten of niveaus van oneindigheid; sommige oneindige verzamelingen zijn veel groter dan andere oneindige verzamelingen.
De theorie van oneindige verzamelingen werd aan het eind van de negentiende eeuw ontwikkeld door de briljante wiskundige Georg Cantor. Veel van Cantors ideeën en stellingen liggen aan de basis van de moderne wiskunde. Een van Cantors gaafste innovaties was een manier om de grootte van oneindige verzamelingen te vergelijken, en dit idee te gebruiken om aan te tonen dat er vele oneindigheden zijn.
Om te zien hoe Cantors theorie werkt, beginnen we met te zeggen dat twee verzamelingen even groot zijn als we de elementen van de twee verzamelingen één op één met elkaar kunnen vergelijken, oftewel koppelen. We kunnen klein beginnen – de verzamelingen {a, b, c} en {1, 2, 3} zijn even groot, omdat ik hun elementen kan koppelen:
Business Insider
Dit is een beetje overgecompliceerd voor het vergelijken van twee kleine eindige verzamelingen zoals deze – het is duidelijk dat ze allebei drie elementen hebben, en dus even groot zijn. Maar als we naar oneindige verzamelingen kijken, kunnen we niet gewoon naar de verzamelingen kijken en het aantal elementen tellen, want de verzamelingen gaan eindeloos door. Deze formelere definitie is dus erg nuttig.
Telbaar oneindige verzamelingen
Het basisniveau van oneindigheid komt van onze meest basale oneindige verzameling: de eerder genoemde natuurlijke getallen. Een verzameling die even groot is als de natuurlijke getallen – die één op één met de natuurlijke getallen kan worden vergeleken – wordt een telbaar oneindige verzameling genoemd.
Een verrassend aantal oneindige verzamelingen is feitelijk telbaar. Op het eerste gezicht lijkt de verzameling gehele getallen, bestaande uit de natuurlijke getallen, hun tegenhangers in negatieve getallen en nul, groter dan de natuurlijke getallen. Immers, voor elk van onze natuurlijke getallen, zoals 2 of 10, hebben we gewoon een negatief getal toegevoegd, -2 of -10. Maar de gehele getallen zijn telbaar – we kunnen een manier vinden om precies één geheel getal aan elk natuurlijk getal toe te wijzen door heen en weer te springen tussen positieve en negatieve getallen:
Business Insider
Als we doorgaan met het hierboven gesuggereerde patroon, wijzen we uiteindelijk precies één geheel getal toe aan elk natuurlijk getal, met elk geheel getal toegewezen aan een natuurlijk getal, waardoor we de soort één-op-één-koppeling krijgen die betekent dat de twee verzamelingen even groot zijn.
Dit is een beetje vreemd, want de natuurlijke getallen zijn een deelverzameling van de gehele getallen – elk natuurlijk getal is ook een geheel getal. Maar hoewel de natuurlijke getallen volledig deel uitmaken van de gehele getallen, zijn de twee verzamelingen in feite even groot.
De rationale getallen zijn de getallen die kunnen worden geschreven als een breuk, of verhouding, van twee gehele getallen: 1/2, -5/4, 3 (dat kan worden geschreven als 3/1), en dergelijke. Ook dit is een oneindige verzameling die groter lijkt te moeten zijn dan de natuurlijke getallen – tussen twee natuurlijke getallen zijn er oneindig veel breuken.
Maar net als bij de gehele getallen kunnen we nog steeds een één-op-één koppeling maken, waarbij we precies één natuurlijk getal aan elk rationaal getal toekennen. Begin met het maken van een rooster van de rationale getallen: elke rij heeft een bepaald natuurlijk getal in het onderste deel van de breuk – de noemers van de eerste rij zijn allemaal 1’en, en de tweede rij allemaal 2’en. Elke kolom heeft een bepaald getal in het bovenste deel van de breuk – de tellers van de eerste kolom zijn allemaal 1’en, en de tweede kolom allemaal 2’en. Dit rooster omvat alle positieve rationale getallen, want elke verhouding van twee positieve gehele getallen zal ergens in het rooster voorkomen:
Business Insider
We krijgen onze overeenkomst tussen de rationale getallen en de natuurlijke getallen door in een zig-zag patroon door het rooster te bewegen en te tellen.zag patroon door het rooster te bewegen en te tellen. Breuken als 2/2 en 4/6, die slechts alternatieve voorstellingen zijn van getallen die we al hebben gezien (2/2 is hetzelfde als 1/1, en 4/6 is hetzelfde als 2/3), slaan we over:
Business Insider
Dus, het eerste rationale getal is 1/1, het tweede is 2/1, het derde is 1/2, het vierde is 1/3, we slaan 2/2 over omdat dit gewoon tot 1/1 herleidt, het vijfde is 3/1, enzovoort.
Door zo door te gaan krijgt elk rationaal getal een uniek natuurlijk getal, waaruit blijkt dat, net als de gehele getallen, ook de rationale getallen een telbaar oneindige verzameling zijn.
Ook al hebben we al deze breuken en negatieve getallen toegevoegd aan onze oorspronkelijke basisverzameling van natuurlijke getallen, we zijn nog steeds op ons eerste, basisniveau van oneindigheid.
Ontelbaar oneindige verzamelingen
Nu beschouwen we de reële getallen. De reële getallen zijn de verzameling van getallen die kunnen worden uitgeschreven met een soort decimale uitbreiding. De reële getallen omvatten de rationale getallen – elke breuk van twee gehele getallen kan worden gedeeld en omgezet in een decimaal. 1/2 = 0,5 en 1/3 = 0,3333…, waarbij de laatste tot in het oneindige met 3’en doorgaat. De reële getallen omvatten ook irrationale getallen, of decimalen die eeuwig doorgaan zonder in een zich herhalend patroon te vervallen. π is irrationeel – zijn decimale uitbreiding begint met de bekende 3,14159… maar gaat eeuwig door, met wild om zich heen slingerende cijfers.
We konden slimme overeenkomsten met de natuurlijke getallen vinden voor de gehele getallen en de rationale getallen, en laten zien dat ze allemaal telbaar oneindig en even groot zijn. Gegeven dat feit, zouden we kunnen denken dat we iets soortgelijks kunnen doen met de reële getallen.
Dit is echter onmogelijk. De reële getallen zijn een ontelbaar oneindige verzameling – er zijn veel meer reële getallen dan natuurlijke getallen, en er is geen manier om de reële en de natuurlijke getallen zo op een rij te zetten dat we aan elk natuurlijk getal precies één reëel getal toekennen.
Om dit in te zien, gebruiken we een zeer krachtige techniek in de wiskunde: bewijs door middel van tegenspraak. We beginnen met de hypothese dat het tegendeel van onze bewering waar is – dat de reële getallen telbaar oneindig zijn, en dat er dus een manier is om alle reële getallen en de natuurlijke getallen in een één-op-één verhouding te zetten. We zullen zien dat het niet uitmaakt hoe deze correspondentie er precies uitziet, dus laten we zeggen dat de eerste paar in de correspondentie de volgende zijn:
Business Insider
Onze grote aanname hier is dat elk reëel getal ergens in deze lijst voorkomt. We gaan nu laten zien dat dit in feite onjuist is door een nieuw getal te maken dat niet in de lijst voorkomt.
Voor elk natuurlijk getal n kijken we naar het corresponderende reële getal op de lijst, en nemen het cijfer n plaatsen rechts van het decimaalteken van het reële getal. Dus, neem het eerste cijfer van het eerste getal, het tweede cijfer van het tweede getal, het derde cijfer van het derde getal, enzovoort:
Business Insider
Van ons eerste reële getal krijgen we een 5, ons tweede getal een 3, en ons derde getal een 1. We maken een nieuw getal door elk van deze cijfers te nemen en er 1 bij op te tellen (omdraaien naar een 0 als mijn oorspronkelijke cijfer 9 is), waardoor we het getal 0,64207… krijgen, en zo gaan we door voor alle andere getallen op onze lijst.
Dit nieuwe “diagonale” getal is zeker een echt getal – het heeft een decimale uitbreiding. Maar het verschilt van alle getallen op de lijst: het eerste cijfer ervan verschilt van het eerste cijfer van ons eerste getal, het tweede cijfer ervan verschilt van het tweede cijfer van ons tweede getal, enzovoort.
We hebben een nieuw reëel getal gemaakt dat niet op onze lijst voorkomt. Dit is in tegenspraak met onze hoofdaanname dat elk reëel getal ergens in de correspondentie voorkomt.
Dus…
We zeiden eerder dat de details van de correspondentie er niet toe deden. Dat komt omdat, ongeacht welke afstemming we proberen tussen de reële getallen en de natuurlijke getallen, we dezelfde diagonaaltruc hierboven kunnen uithalen, waardoor een getal ontstaat dat niet in de correspondentie voorkomt.
Dit toont aan dat de realen niet telbaar oneindig zijn. Wat we ook proberen, er is geen manier om de natuurlijke getallen en de reële getallen één op één aan elkaar te koppelen. Deze twee verzamelingen zijn niet even groot. Dit leidt tot het diepgaande en enigszins ongemakkelijke besef dat er meerdere niveaus van oneindigheid moeten zijn – de natuurlijke getallen en de reële getallen zijn beide oneindige verzamelingen, maar de reële getallen vormen een verzameling die veel groter is dan de natuurlijke getallen – zij vertegenwoordigen een of ander “hoger niveau” van oneindigheid.