De negatieve binomiale verdeling, ook bekend als de Pascal-verdeling of Pólya-verdeling, geeft de kans op successen en mislukkingen in proeven, en succes op de -ste proef. De kansdichtheidsfunctie wordt dus gegeven door
(1)
|
|||
(2)
|
|||
(3)
|
waarbij een binomiaalcoëfficiënt is. De verdelingsfunctie wordt dan gegeven door
(4)
|
|||
(5)
|
|||
(6)
|
waarbij de gammafunctie is, is een geregulariseerde hypergeometrische functie, en is een geregulariseerde bètafunctie.
De negatieve binomiale verdeling is in de Wolfram-taal geïmplementeerd als NegativeBinomialDistribution.
Definiëren
(7)
|
|||
(8)
|
de karakteristieke functie wordt gegeven door
(9)
|
en de moment-genererende functie door
(10)
|
Sinds ,
(11)
|
|||
(12)
|
|||
(13)
|
|||
(14)
|
De ruwe momenten zijn dus
(15)
|
|||
(16)
|
|||
(17)
|
|||
(18)
|
waar
(19)
|
en is het Pochhammer-symbool. (Merk op dat Beyer 1987, p. 487, blijkbaar het gemiddelde onjuist geeft.)
Dit geeft de centrale momenten als
(20)
|
|||
(21)
|
|||
(22)
|
Het gemiddelde, de variantie, skewnessen kurtosisovermaat zijn dan
(23)
|
|||
(24)
|
|||
(25)
|
|||
(26)
|
wat ook kan worden geschreven
(27)
|
||||
(28)
|
||||
(29)
|
||||
(30)
|
De eerste cumulant is
(31)
|
en de daaropvolgende cumulanten worden gegeven door de recurrenselatie
(32)
|