Relativistisch Doppler-effect

Relativistisch longitudinaal Doppler-effectEdit

Relativistische Doppler-verschuiving voor het longitudinale geval, waarbij bron en ontvanger direct naar elkaar toe of van elkaar af bewegen, wordt vaak afgeleid alsof het om het klassieke verschijnsel gaat, maar dan gewijzigd door de toevoeging van een tijddilatatieterm. Dit is de aanpak die wordt gebruikt in natuurkunde- of werktuigkundeboeken voor het eerste jaar, zoals die van Feynman of Morin.

Volgens deze benadering voor het afleiden van het relativistische longitudinale Doppler effect, nemen we aan dat de ontvanger en de bron van elkaar af bewegen met een relatieve snelheid v {displaystyle v\,}

$v\,$

zoals gemeten door een waarnemer op de ontvanger of de bron (de hier gebruikte tekenconventie is dat v {\displaystyle v\,}

$v\,$

negatief is als de ontvanger en de bron naar elkaar toe bewegen).

Beschouw het probleem in het referentiekader van de bron.

Voorstel dat een golffront bij de ontvanger aankomt. Het volgende golffront bevindt zich dan op een afstand λ s = c / f s {Displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s},}

$\lambda _{s}=c/f_{s}\,$

weg van de ontvanger (waarbij λ s {{s}},}

$\lambda _{s},$

is de golflengte, f s {{s_{s},}

$f_s,$

is de frequentie van de golven die de bron uitzendt, en c {{displaystyle c},}

$c\,$

is de snelheid van het licht).

Het golffront beweegt met snelheid c {displaystyle c\,}

$c\,$

, maar tegelijkertijd verwijdert de ontvanger zich met snelheid v {{displaystyle v}

$v$

gedurende een tijd t s = 1 / f s = λ s / c {{displaystyle t_{s}=1/f_{s}==lambda _{s}/c}

${displaystyle t_{s}=1/f_{s}=\lambda _{s}/c}$

, dus

$\lambda _{s}+vt_{r,s}=ct_{r,s}Longleftrightarrow \lambda _{s}=ct_{r,s}(1-v/c)\Longleftrightarrow t_{r,s}={\frac {1}{f_{s}(1-:bèta )}},$

waarbij β = v / c {\displaystyle \beta =v/c\,}

$\beta = v / c\,$

de snelheid van de ontvanger is in termen van de lichtsnelheid, en waarbij t r , s {\displaystyle t_{r,s}}

$t_{r,s}$

de periode is van de lichtgolven die op de ontvanger vallen, zoals waargenomen in het frame van de bron. De bijbehorende frequentie f r , s {Displaystyle f_{r,s}}

$f_{r,s}$

is: f r , s = 1 / t r , s = f s ( 1 – β ) . {Displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1- bèta ).}

${{displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).}$

Tot nu toe zijn de vergelijkingen identiek aan die van het klassieke Doppler effect met een stationaire bron en een bewegende ontvanger.

Als gevolg van relativistische effecten zijn de klokken van de ontvanger echter tijdsverwijderd ten opzichte van de klokken van de bron: t r = t r , s / γ {{displaystyle t_{r}=t_{r,s}/ gamma }

$t_{r}=t_{r,s}/\gamma$

, waarbij γ = 1 / 1 – β 2 {\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

is de Lorentzfactor. Om te weten welke tijd is gedilateerd, herinneren we eraan dat t r , s {\displaystyle t_{r,s}}

$t_{r,s}$

de tijd is in het frame waarin de bron in rust is. De ontvanger meet de ontvangen frequentie als Eq. 1: f r = f r , s γ {\displaystyle f_{r}=f_{r,s}}

$f_{r}=f_{r,s}\gamma$

= 1 – β 1 – β 2 f s {\displaystyle ={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}}

$={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}$

= 1 – β 1 + β f s. {\displaystyle ={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }},f_{s}.}

${\displaystyle ={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }},f_{s}.$

De verhouding

f s f r = 1 + β 1 – β {\displaystyle {\frac {f_{s}}{f_{r}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}}.

${frac {f_{s}{f_{r}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}$

dit wordt de Dopplerfactor van de bron ten opzichte van de ontvanger genoemd. (Deze terminologie is vooral gangbaar in de astrofysica: zie relativistische straling.)

De corresponderende golflengten zijn gerelateerd door

Eq. 2: λ r λ s = f s f r = 1 + β 1 – β , {\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }},}

${\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}={\frac {f_{s}{f_{r}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}},$

Identieke uitdrukkingen voor relativistische Dopplerverschuiving worden verkregen wanneer de analyse wordt uitgevoerd in het referentiekader van de ontvanger met een bewegende bron. Dit komt overeen met de verwachtingen van het relativiteitsprincipe, dat voorschrijft dat het resultaat niet kan afhangen van het object dat als het rustende object wordt beschouwd. Het klassieke niet-relativistische Doppler-effect is daarentegen afhankelijk van de vraag of de bron of de ontvanger stationair is ten opzichte van het medium.

Dwars Doppler-effectEdit

Vergonderstel dat een bron en een ontvanger elkaar beide naderen in een uniforme inertiale beweging langs paden die niet botsen. Het transversale Doppler-effect (TDE) kan betrekking hebben op (a) de door de speciale relativiteit voorspelde nominale blauwverschuiving die optreedt wanneer de zender en ontvanger elkaar het dichtst naderen; of (b) de door de speciale relativiteit voorspelde nominale roodverschuiving wanneer de ontvanger de zender ziet als zijnde het dichtst genaderd. Het transversale Doppler effect is een van de belangrijkste nieuwe voorspellingen van de speciale relativiteitstheorie.

Of in een wetenschappelijk rapport TDE als roodverschuiving of als blauwverschuiving wordt beschreven, hangt af van de bijzonderheden van de experimentele opstelling die in verband wordt gebracht. Einsteins oorspronkelijke beschrijving van de TDE in 1907 bijvoorbeeld beschreef een experimentator die keek naar het middelpunt (dichtstbijzijnde punt) van een bundel “kanaalstralen” (een bundel positieve ionen die wordt opgewekt door bepaalde soorten gasontladingsbuizen). Volgens de speciale relativiteit zou de uitgezonden frequentie van de bewegende ionen worden verminderd met de Lorentz-factor, zodat de ontvangen frequentie met dezelfde factor zou worden verminderd (roodverschoven).

Aan de andere kant beschreef Kündig (1963) een experiment waarbij een Mössbauer-absorber in een snelle cirkel werd rondgedraaid rond een centrale Mössbauer-emitter. Zoals hieronder wordt uitgelegd, resulteerde deze experimentele opstelling in Kündigs meting van een blauwverschuiving.

Bron en ontvanger staan op hun punt van naderingEdit

Figuur 2. Bron en ontvanger bevinden zich op het punt waar zij het dichtst bij elkaar komen. (a) Analyse in het frame van de ontvanger. (b) Analyse in het frame van de bron.

In dit scenario is het punt van dichtste nadering frame-onafhankelijk en vertegenwoordigt het het moment waarop er geen verandering is in afstand ten opzichte van tijd. Figuur 2 laat zien dat het gemak waarmee dit scenario kan worden geanalyseerd, afhangt van het frame waarin het wordt geanalyseerd.

Fig. 2a. Als we het scenario analyseren in het frame van de ontvanger, zien we dat de analyse ingewikkelder is dan zou moeten. De schijnbare positie van een hemellichaam wijkt af van zijn werkelijke positie (of geometrische positie) vanwege de beweging van het hemellichaam gedurende de tijd die het licht nodig heeft om een waarnemer te bereiken. De bron zou ten opzichte van de ontvanger in de tijd worden gedilateerd, maar de roodverschuiving die deze tijddilatatie met zich meebrengt zou worden gecompenseerd door een blauwverschuiving ten gevolge van de longitudinale component van de relatieve beweging tussen de ontvanger en de schijnbare positie van de bron.
Fig. 2b. Het is veel eenvoudiger om het scenario te analyseren vanuit het frame van de bron. Een waarnemer die zich bij de bron bevindt weet, uit de probleemstelling, dat de ontvanger zich op het punt bevindt dat het dichtst bij hem is. Dat betekent dat de ontvanger geen longitudinale bewegingscomponent heeft die de analyse kan compliceren. (d.w.z. dr/dt = 0 waarbij r de afstand tussen ontvanger en bron is) Aangezien de klokken van de ontvanger tijdvertraagd zijn ten opzichte van de bron, is het licht dat de ontvanger ontvangt blauwverschoven met een factor van gamma. Met andere woorden,

Eq. 3: f r = γ f s {\displaystyle f_{r}==gamma f_{s}}

${\laystyle f_{r}=\gamma f_{s}}$

De ontvanger ziet de bron als zijnde op zijn dichtstbijzijnde puntEdit

Figuur 3. Transversale Dopplerverschuiving voor het scenario waarin de ontvanger de bron ziet als zijnde op zijn dichtstbijzijnde punt.

Dit scenario komt overeen met de ontvanger die in een rechte hoek op het pad van de bron kijkt. De analyse van dit scenario kan het best worden uitgevoerd vanuit het standpunt van de ontvanger. Figuur 3 laat zien dat de ontvanger verlicht wordt door licht van toen de bron het dichtst bij de ontvanger was, ook al is de bron opgeschoven. Omdat de klok van de bron in het frame van de ontvanger is gedilateerd, en omdat er geen longitudinale component van de beweging van de bron is, is het licht van de bron, uitgezonden vanuit dit meest nabije punt, roodverschoven met de frequentie

Eq. 4: f r = f s γ {\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}

$f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}$

In de literatuur wordt het effect van transversale dopplerverschuiving meestal geanalyseerd in termen van een ontvanger die loodrecht op het pad van de bron staat, zodat de bron op zijn dichtstbijzijnde punt staat en een roodverschuiving waarneemt.

Punt van null frequency shiftEdit

Figuur 4.

Gezien het feit dat in het geval dat de inertiaal bewegende bron en ontvanger elkaar geometrisch het meest naderen, de ontvanger een blauwverschuiving waarneemt, terwijl in het geval dat de ontvanger de bron het meest nabij ziet, de ontvanger een roodverschuiving waarneemt, moet er uiteraard een punt bestaan waar de blauwverschuiving overgaat in een roodverschuiving. In Fig. 2 staat het signaal loodrecht op het pad van de ontvanger en is het blauwverschoven. In fig. 3 staat het signaal loodrecht op het bronpad en is het roodverschoven.

Zoals te zien is in fig. 4 treedt er geen frequentieverschuiving op voor een puls die de kortste afstand van bron naar ontvanger aflegt. Gezien in het frame waarin bron en ontvanger dezelfde snelheid hebben, wordt deze puls uitgezonden loodrecht op het pad van de bron en ontvangen loodrecht op het pad van de ontvanger. De puls wordt uitgezonden iets vóór het punt van nadering, en wordt ontvangen iets erna.

Een voorwerp in cirkelvormige beweging rond het andereEdit

Figuur 5. Transversaal Doppler-effect voor twee scenario’s: (a) ontvanger beweegt in een cirkel rond de bron; (b) bron beweegt in een cirkel rond de ontvanger.

Fig. 5 illustreert twee varianten van dit scenario. Beide varianten kunnen worden geanalyseerd met eenvoudige tijddilatatie-argumenten. Figuur 5a is in wezen gelijk aan het in figuur 2b beschreven scenario, en de ontvanger neemt waar dat het licht van de bron een blauwverschuiving vertoont met een factor γ {displaystyle γgamma }.

$\gamma$

. Figuur 5b is in wezen gelijk aan het in figuur 3 beschreven scenario, en het licht is roodverschoven.

De enige schijnbare complicatie is dat de objecten in een baan om de aarde versneld bewegen. Een versneld deeltje heeft geen inertiaalstelsel waarin het altijd in rust is. Er kan echter altijd een inertiaalstelsel worden gevonden dat tijdelijk comoving is met het deeltje. Dit frame, het momentaan comoving referentiekader (MCRF), maakt het mogelijk de speciale relativiteit toe te passen op de analyse van versnelde deeltjes. Als een inertiale waarnemer naar een versnellende klok kijkt, is alleen de momentane snelheid van de klok van belang bij het berekenen van de tijddilatatie.

Het omgekeerde is echter niet waar. De analyse van scenario’s waarin beide objecten versneld bewegen vereist een iets verfijndere analyse. Het niet begrijpen van dit punt heeft geleid tot verwarring en misverstanden.

Bron en ontvanger beide in cirkelbeweging rond een gemeenschappelijk middelpuntEdit

Figuur 6.

Voorstellend dat bron en ontvanger zich aan tegenovergestelde uiteinden van een draaiende rotor bevinden, zoals geïllustreerd in fig. 6. Kinematische argumenten (speciale relativiteit) en argumenten gebaseerd op de vaststelling dat er geen verschil in potentiaal is tussen bron en ontvanger in het pseudogravitatieveld van de rotor (algemene relativiteit) leiden beide tot de conclusie dat er geen Dopplerverschuiving zou moeten zijn tussen bron en ontvanger.

In 1961 voerden Champeney en Moon een Mössbauer rotor-experiment uit waarbij precies dit scenario werd getest, en zij stelden vast dat het Mössbauer-absorptieproces niet werd beïnvloed door rotatie. Zij concludeerden dat hun bevindingen de speciale relativiteit ondersteunden.

Deze conclusie leidde tot enige controverse. Een zekere criticus van de relativiteit hield vol dat, hoewel het experiment consistent was met de algemene relativiteit, het de speciale relativiteit weerlegde. Zijn punt was dat, aangezien de zender en de absorber in uniforme relatieve beweging waren, de speciale relativiteit vereiste dat een Doppler-verschuiving werd waargenomen. De fout in het argument van deze criticus was, zoals aangetoond in Punt van nulfrequentieverschuiving, dat het eenvoudig niet waar is dat een dopplerverschuiving altijd moet worden waargenomen tussen twee frames in uniforme relatieve beweging. Bovendien, zoals aangetoond in de paragraaf Bron en ontvanger zijn op hun punten van nadering, hangt de moeilijkheid van het analyseren van een relativistisch scenario vaak af van de keuze van het referentiekader. Een poging om het scenario te analyseren in het frame van de ontvanger brengt veel vervelende algebra met zich mee. Het is veel gemakkelijker, bijna triviaal, om het ontbreken van Doppler-verschuiving tussen emitter en absorber in het laboratoriumframe vast te stellen.

Het experiment van Champeney en Moon zei in feite echter niets pro of contra over speciale relativiteit. Vanwege de symmetrie van de opstelling blijkt dat vrijwel elke denkbare theorie over de Doppler-verschuiving tussen frames in uniforme traagheidsbeweging in dit experiment een nulresultaat moet opleveren.

In plaats van op gelijke afstand van het middelpunt te staan, stel dat de emitter en de absorber op verschillende afstanden van het middelpunt van de rotor staan. Voor een emitter met straal R ′ {\displaystyle R’}

$R''$

en de absorber op straal R {\displaystyle R}

$R$

overal op de rotor, de verhouding van de emitterfrequentie, ν ′ , {\displaystyle \nu ‘,}

$\nu ',}',$

en de absorptiefrequentie, ν ,

$\nu ,$

wordt gegeven door Eq. 5: ν ′ ν = ( 1 – R 2 ω 2 1 – R ′ 2 ω 2 ) 1 / 2 {{\displaystyle {\frac {\nu ‘}{\nu }}= links({\frac {1-R^{2}\omega ^{2}}{1-R’^{2}\omega ^{2}}}}rechts)^{1/2}}

${\frac {\nu '}{\nu }}=left({\frac {1-R^{2}omega ^{2}}{1-R'^{2}omega ^{2}}}^{1/2}'}{\nu }}=\left({\frac {1-R^{2}\omega ^{2}}{1-R'^{2}\omega ^{2}}}\right)^{1/2}$

waar ω {{displaystyle \omega }}

$\omega$

is de hoeksnelheid van de rotor. De bron en de zender hoeven niet 180° uit elkaar te staan, maar kunnen onder elke hoek ten opzichte van het middelpunt staan.

Beweging in een willekeurige richtingEdit

Figuur 7.

De in het hoofdstuk Relativistisch longitudinaal Dopplereffect gebruikte analyse kan op eenvoudige wijze worden uitgebreid om de Doppler-verschuiving te berekenen voor het geval dat de traagheidsbewegingen van bron en ontvanger onder een willekeurige hoek staan.Fig. 7 toont het scenario vanuit het frame van de ontvanger, waarbij de bron beweegt met snelheid v {{r}}

$v$

onder een hoek θ r {{r}}

$\theta _{r}$

gemeten in het frame van de ontvanger. De radiale component van de beweging van de bron langs de gezichtslijn is gelijk aan v cos θ r . {Displaystyle v cos {theta _{r}}.}

$v\cos {\theta _{r}}.$

De onderstaande vergelijking kan worden geïnterpreteerd als de klassieke Doppler-verschuiving voor een stationaire en bewegende bron, aangepast met de Lorentz-factor γ : {\displaystyle \gamma :}

$\gamma :$

Eq. 6: f r = f s γ ( 1 + β cos θ r ) . {\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \links(1+ β γ θtheta _{r}\rechts)}.}

${f_{r}={frac {f_{s}}{gamma \left(1+beta \cos \theta _{r}}}.}$

In het geval dat θ r = 90 ∘ {{f_{r}}{gamma \left(1+beta \cos \theta _{r}}}}.}

In het geval dat θ r = 90 ∘ {{f_{s}}}{gamma \left(1+beta \theta _{r}}}}}90^{\circ }}.

$\theta _{r}=90^{\circ }$

, verkrijgt men het transversale Doppler effect: f r = f s γ .

$f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.$ ${\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.$ In zijn artikel uit 1905 over speciale relativiteit heeft Einstein een enigszins anders uitziende vergelijking voor de Doppler-verschuiving verkregen. Nadat hij de namen van de variabelen in Einsteins vergelijking heeft aangepast aan de hier gebruikte, luidt zijn vergelijking als volgt Eq. 7: f r = γ ( 1 – β cos θ s ) f s. {{r}= gamma \links(1–bèta \cos \theta _{s}}rechts)f_{s}.}

$f_{r}=\gamma \left(1-(bèta \cos \theta _{s})f_{s}.$

De verschillen komen voort uit het feit dat Einstein de hoek θ s {\displaystyle \theta _{s}} evalueerde.

$\theta _{s}$

ten opzichte van het rustframe van de bron en niet ten opzichte van het rustframe van de ontvanger. θ s {\displaystyle \theta _{s}}

${\theta _{s}}$

is niet gelijk aan θ r {\displaystyle \theta _{r}}

$\theta _{r}$

vanwege het effect van relativistische aberratie. De relativistische aberratievergelijking is: Eq. 8: cos θ r = cos θ s – β 1 – β cos θ s {Displaystyle \cos \theta _{r}={\frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}},}

${\displaystyle \cos \theta _{r}={\frac {cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}},$

Substitutie van de relativistische aberratievergelijking vergelijking 8 in vergelijking 6 levert vergelijking 7 op, waarmee de consistentie van deze alternatieve vergelijkingen voor de Dopplerverschuiving wordt aangetoond.

Zetten we θ r = 0 {Displaystyle \theta _{r}=0}

$\theta _{r}=0$

in vergelijking 6 of θ s = 0 {\displaystyle \theta _{s}=0}

$\theta _{s}=0$

in vergelijking 7 levert vergelijking 1 op, de uitdrukking voor relativistische longitudinale Dopplerverschuiving.

Een viervectorige benadering om deze resultaten af te leiden is te vinden in Landau en Lifshitz (2005).