Stelling van Pythagoras

Gelijksoortige figuren op de drie zijden

Een veralgemening van de stelling van Pythagoras die verder reikt dan de oppervlakten van vierkanten op de drie zijden naar gelijksoortige figuren was bekend bij Hippocrates van Chios in de 5e eeuw v.Chr., en werd door Euclides opgenomen in zijn Elementen:

Als men gelijkvormige figuren (zie Euclidische meetkunde) met overeenkomstige zijden opricht op de zijden van een rechthoekige driehoek, dan is de som van de oppervlakten van die aan de twee kleinste zijden gelijk aan die van die aan de grootste zijde.

Deze uitbreiding gaat ervan uit dat de zijden van de oorspronkelijke driehoek de overeenkomstige zijden van de drie congruente figuren zijn (dus de gemeenschappelijke verhoudingen van de zijden tussen de overeenkomstige figuren zijn a:b:c). Hoewel Euclides’ bewijs alleen gold voor convexe veelhoeken, geldt de stelling ook voor concave veelhoeken en zelfs voor gelijkvormige figuren met gekromde grenzen (maar nog steeds met een deel van de grens van een figuur die de zijde van de oorspronkelijke driehoek is).

Het basisidee achter deze veralgemening is dat de oppervlakte van een vlakke figuur evenredig is met het kwadraat van elke lineaire dimensie, en in het bijzonder evenredig is met het kwadraat van de lengte van elke zijde. Als dus gelijke figuren met oppervlakten A, B en C worden opgesteld op zijden met overeenkomstige lengten a, b en c dan:

A a 2 = B b 2 = C c 2 , {\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}={\frac {B}{b^{2}}={\frac {C}{c^{2}}},} ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C . {Displaystyle \Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}C},,}

Maar volgens de stelling van Pythagoras is a2 + b2 = c2, dus A + B = C.

Omgekeerd, als we kunnen bewijzen dat A + B = C voor drie gelijkvormige figuren zonder de stelling van Pythagoras te gebruiken, dan kunnen we achterwaarts werken om een bewijs van de stelling te construeren. Zo kan men bijvoorbeeld de middelste driehoek namaken en gebruiken als driehoek C op de schuine zijde, en twee gelijkvormige rechthoekige driehoeken (A en B ) construeren op de andere twee zijden, gevormd door de middelste driehoek te delen door zijn hoogte. De som van de oppervlakten van de twee kleinere driehoeken is dus die van de derde, dus A + B = C en omkering van de bovenstaande logica leidt tot de stelling van Pythagoras a2 + b2 = c2. (Zie ook Einsteins bewijs door ontleding zonder herschikking)

Generalisatie voor gelijkvormige driehoeken, groen gebied A + B = blauw gebied C

Pythagoras’s stelling met behulp van gelijkvormige rechthoekige driehoeken

Generalisatie voor regelmatige vijfhoeken

Wet van cosinussen

De stelling van Pythagoras is een speciaal geval van de algemenere stelling die betrekking heeft op de lengtes van zijden in een willekeurige driehoek, de wet van cosinussen:

a 2 + b 2 – 2 a b cos θ = c 2 , {{{2}+b^{2}-2abcos {{theta}=c^{2},}

waarbij θ {{{theta}} de hoek is tussen de zijden a {{{3}} en b {{3}} .

Arbitraire driehoek

Op een willekeurige gekozen hoek van een algemene driehoek met zijden a, b, c, tekent men een gelijkbenige driehoek in, zodanig dat de gelijke hoeken aan de basis θ gelijk zijn aan de gekozen hoek. Stel dat de gekozen hoek θ tegenover de zijde met label c ligt. Door de gelijkbenige driehoek in te schrijven ontstaat driehoek CAD met hoek θ tegenover zijde b en met zijde r langs c. Er wordt een tweede driehoek gevormd met hoek θ tegenover zijde a en een zijde met lengte s langs c, zoals in de figuur is weergegeven. Thābit ibn Qurra verklaarde dat de zijden van de drie driehoeken met elkaar in verband staan als:

a 2 + b 2 = c ( r + s ) . {Displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .}

Als de hoek θ π/2 nadert, wordt de basis van de gelijkbenige driehoek smaller, en overlappen de lengtes r en s elkaar steeds minder. Als θ = π/2, wordt ADB een rechthoekige driehoek, r + s = c, en is de oorspronkelijke stelling van Pythagoras weer hersteld.

Een bewijs ziet dat driehoek ABC dezelfde hoeken heeft als driehoek CAD, maar in omgekeerde volgorde. (De twee driehoeken delen de hoek bij hoekpunt B, bevatten beide de hoek θ, en hebben dus ook dezelfde derde hoek volgens het driehoekspostulaat). Bijgevolg is ABC gelijk aan het spiegelbeeld van CAD, de driehoek DAC in het onderste paneel. Neem de verhouding van de zijden tegenover en naast θ,

c b = b r . {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}}.

Zo ook voor de spiegeling van de andere driehoek,

c a = a s . {\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}} .}

Wissel breuken en tel deze twee relaties op:

c s + c r = a 2 + b 2 , {\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2} ,}

het vereiste resultaat.

De stelling blijft geldig als de hoek θ {\displaystyle \theta } stomphoekig is zodat de lengten r en s niet overlappend zijn.

Algemene driehoeken met behulp van parallellogrammen

De oppervlakte stelling van Pappus is een verdere generalisatie, die van toepassing is op driehoeken die geen rechthoekige driehoeken zijn, waarbij parallellogrammen op de drie zijden worden gebruikt in plaats van vierkanten (vierkanten zijn natuurlijk een speciaal geval). De bovenste figuur laat zien dat voor een schaaldriehoek de oppervlakte van het parallellogram aan de langste zijde de som is van de oppervlakten van de parallellogrammen aan de andere twee zijden, mits het parallellogram aan de lange zijde geconstrueerd is zoals aangegeven (de met pijlen gemarkeerde afmetingen zijn gelijk, en bepalen de zijden van het onderste parallellogram). Deze vervanging van vierkanten door parallellogrammen vertoont een duidelijke gelijkenis met de oorspronkelijke stelling van Pythagoras, en werd door Pappus van Alexandrië in 4 n.Chr. beschouwd als een veralgemening

De onderste figuur toont de elementen van het bewijs. Concentreer je op de linkerkant van de figuur. Het linkergroene parallellogram heeft dezelfde oppervlakte als het linker, blauwe deel van het onderste parallellogram, omdat beide dezelfde basis b en hoogte h hebben. Het linkergroene parallellogram heeft echter ook dezelfde oppervlakte als het linkergroene parallellogram van de bovenste figuur, omdat ze dezelfde basis hebben (de linker bovenzijde van de driehoek) en dezelfde hoogte loodrecht op die zijde van de driehoek. Herhaal je de redenering voor de rechterkant van de figuur, dan heeft het onderste parallellogram dezelfde oppervlakte als de som van de twee groene parallellogrammen.

Vaste meetkunde

In termen van vaste stofmeetkunde kan de stelling van Pythagoras als volgt op drie dimensies worden toegepast. Beschouw een rechthoekig lichaam zoals in de figuur. De lengte van diagonaal BD wordt uit de stelling van Pythagoras gevonden als:

B D ¯ 2 = B C ¯ 2 + C D ¯ 2 , {{\displaystyle {\overline {BD}}^{\,2}={\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}},}

waarbij deze drie zijden een rechthoekige driehoek vormen. Met behulp van de horizontale diagonaal BD en de verticale rand AB vindt men dan de lengte van de diagonaal AD door een tweede toepassing van de stelling van Pythagoras als:

A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B D ¯ 2 , {{\displaystyle {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BD}^{\,2}} ,

of, alles in één stap:

A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 + C D ¯ 2 . {\displaystyle {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}} .}

Dit resultaat is de driedimensionale uitdrukking voor de grootte van een vector v (de diagonaal AD) in termen van zijn orthogonale componenten {vk} (de drie onderling loodrechte zijden):

‖ v ‖ 2 = ∑ k = 1 3 ‖ v k ‖ 2 . {{k=1}^{3}} {{k} _{k}|^{2}}===sum _{k=1}^{3}} {{k} _{k}|^{2}.}

Deze eenstapsformulering kan worden gezien als een veralgemening van de stelling van Pythagoras naar hogere dimensies. Dit resultaat is echter eigenlijk gewoon de herhaalde toepassing van de oorspronkelijke stelling van Pythagoras op een opeenvolging van rechthoekige driehoeken in een opeenvolging van orthogonale vlakken.

Een substantiële veralgemening van de stelling van Pythagoras naar drie dimensies is de stelling van de Gua, genoemd naar Jean Paul de Gua de Malves: Als een tetraëder een rechte hoek heeft (zoals een hoek van een kubus), dan is het kwadraat van de oppervlakte van het zijvlak tegenover de rechte hoek de som van de kwadraten van de oppervlakten van de andere drie zijvlakken. Dit resultaat kan worden veralgemeend als in de “n-dimensionale stelling van Pythagoras”:

Deze stelling wordt in drie dimensies geïllustreerd door de tetraëder in de figuur. De “hypotenusa” is het grondvlak van de tetraëder achteraan in de figuur, en de “benen” zijn de drie zijden die uitgaan van het hoekpunt op de voorgrond. Naarmate de diepte van het grondvlak vanaf het hoekpunt toeneemt, neemt de oppervlakte van de “benen” toe, terwijl die van het grondvlak vast blijft. De stelling suggereert dat wanneer deze diepte op de waarde ligt die een rechter hoekpunt oplevert, de veralgemening van de stelling van Pythagoras van toepassing is. In een andere formulering:

Geeft men een n-rechthoekige n-dimensionale simplex, dan zal het kwadraat van de (n – 1)-inhoud van het facet dat tegenover het rechter hoekpunt ligt gelijk zijn aan de som van de kwadraten van de (n – 1)-inhouden van de overige facetten.

Inner-productruimten

De stelling van Pythagoras kan veralgemeend worden naar binnenproductruimten, die veralgemeningen zijn van de bekende 2-dimensionale en 3-dimensionale Euclidische ruimten. Zo kan een functie in een binnenproductruimte beschouwd worden als een vector met oneindig veel componenten, zoals in de functionaalanalyse.

In een binnenproductruimte wordt het begrip loodrechtheid vervangen door het begrip orthogonaliteit: twee vectoren v en w zijn orthogonaal als hun binnenproduct ⟨ v , w ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \is nul. Het inwendig product is een veralgemening van het scalair product van vectoren. Het inwendig product wordt het standaard inwendig product of het Euclidisch inwendig product genoemd. Er zijn echter ook andere binnenproducten mogelijk.

Het begrip lengte wordt vervangen door het begrip norm ||v|| van een vector v, gedefinieerd als:

‖ v ‖ ≡ ⟨ v , v ⟩ . {\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }},.}

In een binnenproductruimte stelt de stelling van Pythagoras dat voor twee orthogonale vectoren v en w geldt

‖ v + w ‖ 2 = ‖ v ‖ 2 + ‖ w ‖ 2 . {\displaystyle \left {\mathbf {v} +\mathbf {w} \right|^{2}=left|mathbf {v} \right|^{2}+left|mathbf {w} \.

Hier zijn de v- en w-vectoren verwant aan de zijden van een rechthoekige driehoek met schuine zijde gegeven door de vectorsom v + w. Deze vorm van de stelling van Pythagoras is een gevolg van de eigenschappen van het inwendig product:

‖ v + w ‖ 2 = ⟨ v + w , v + w ⟩ = ⟨ v , v ⟩ + ⟨ w , w ⟩ + ⟨ v , w ⟩ + ⟨ w , v ⟩ = ‖ v ‖ 2 + ‖ w ‖ 2 , {Displaystyle ⟩ = ⟨ links {v} + ⟨ w} \rechts = ILLANLE ORMATHBF {V+W} . \wirwar = wirwar \mathbf {v} ,\mathbf {v} wirwar + wirwar \mathbf {w} en de rest. \wirwar +langle wathbf {v,w} +langle \mathbf {w,\v} \rangle \ = links \mathbf {v} \right|^{2}+lefts \mathbf {w}

waarbij de inwendige producten van de kruistermen nul zijn, vanwege de orthogonaliteit.

Een verdere veralgemening van de stelling van Pythagoras in een binnenproductruimte naar niet-orthogonale vectoren is de parallellogrammenwet :

2 ‖ v ‖ 2 + 2 ‖ w ‖ 2 = ‖ v + w ‖ 2 + ‖ v – w ‖ 2 , {{\displaystyle 2|\mathbf {v} \|^{2}+2|\mathbf {w} \|{\a6}=\a6} {v+w} \|{\an5}+\an5}mathbf {v-w}

Wat betekent dat tweemaal de som van de kwadraten van de lengtes van de zijden van een parallellogram gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengtes van de diagonalen. Elke norm die aan deze gelijkheid voldoet is ipso facto een norm die overeenkomt met een binnenproduct.

De pythagoreïsche identiteit kan worden uitgebreid tot sommen van meer dan twee orthogonale vectoren. Als v1, v2, …, vn paarsgewijs-orthogonale vectoren zijn in een binnenproductruimte, dan is toepassing van de stelling van Pythagoras op opeenvolgende paren van deze vectoren (zoals beschreven voor 3dimensies in het hoofdstuk over de vaste meetkunde) resulteert in de vergelijking

‖ ∑ k = 1 n v k ‖ 2 = ∑ k = 1 n ‖ v k ‖ 2 {{{k=1}^{n}}}som _{k=1}^{n}}mathbf {v} _{k}}}som _{k=1}^{n}som _{k=1}^{n}som _{k=1}^{n}mathbf {v} _{k}}|^{2}}

Verzamelingen van m-dimensionale objecten in n-dimensionale ruimte

Een andere veralgemening van de stelling van Pythagoras geldt voor Lebesgue-meetbare verzamelingen van objecten in een willekeurig aantal dimensies. In het bijzonder is het kwadraat van de maat van een m-dimensionale verzameling objecten in een of meer evenwijdige m-dimensionale vlakken in de n-dimensionale euclidische ruimte gelijk aan de som van de kwadraten van de maten van de loodrechte projecties van de object(en) op alle m-dimensionale coördinaatsdeelvlakken.

In wiskundige termen:

μ m s 2 = ∑ i = 1 x μ 2 m p i {\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}

waar:

• μ m {{m}} is een maat in m-dimensies (een lengte in één dimensie, een oppervlakte in twee dimensies, een volume in drie dimensies, enzovoort).
• s {{m}} is een verzameling van één of meer niet-overlappende m-dimensionale objecten in één of meer evenwijdige m-dimensionale vlakken in de n-dimensionale euclidische ruimte.
• μ m s {\displaystyle \mu _{ms}} is de totale maat (som) van de verzameling van m-dimensionale objecten.
• p {\displaystyle p} staat voor een m-dimensionale projectie van de oorspronkelijke verzameling op een orthogonale coördinatenruimte.
• μ m p i {{mp_{i}}} is de maat van de m-dimensionale projectie van de verzameling op de m-dimensionale coördinatendeelruimte i {{mp_{i}}} . Omdat objectprojecties op een coördinatenruimte kunnen overlappen, moet de maat van elke objectprojectie in de verzameling afzonderlijk worden berekend, en vervolgens moeten de maten van alle projecties bij elkaar worden opgeteld om de totale maat voor de verzameling projecties op de gegeven coördinatenruimte te verkrijgen.
• x {displaystyle x} is het aantal orthogonale, m-dimensionale coördinaatsdeelruimten in de n-dimensionale ruimte (Rn) waarop de m-dimensionale objecten worden geprojecteerd (m ≤ n):

x = ( n m ) = n ! m ! ( n – m ) ! {displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}

Niet-Euclidische meetkunde

De stelling van Pythagoras is afgeleid van de axioma’s van de euclidische meetkunde, en als de stelling van Pythagoras zou falen voor een of andere rechthoekige driehoek, dan kan het vlak waarin deze driehoek ligt niet euclidisch zijn. Meer precies, de stelling van Pythagoras impliceert, en wordt geïmpliceerd door, Euclides’ Parallelle (Vijfde) Postulaat. Rechte driehoeken in een niet-euclidische meetkunde voldoen dus niet aan de stelling van Pythagoras. Bijvoorbeeld, in sferische meetkunde hebben alle drie zijden van de rechthoekige driehoek (zeg a, b, en c) die een octant van de eenheidsbol begrenzen lengte gelijk aan π/2, en al zijn hoeken zijn rechte hoeken, wat in strijd is met de stelling van Pythagoras omdat a 2 + b 2 = 2 c 2 > c 2 {{{2}+b^{2}=2c^{2}>c^{2}}

Hierbij worden twee gevallen van niet-Euclidische meetkunde beschouwd – sferische meetkunde en hyperbolische vlakke meetkunde; in elk geval, net als in het Euclidische geval voor niet-rechthoekige driehoeken, volgt het resultaat dat de stelling van Pythagoras vervangt uit de toepasselijke cosinuswet.

De stelling van Pythagoras blijft echter waar in de hyperbolische meetkunde en de elliptische meetkunde als de voorwaarde dat de driehoek recht is wordt vervangen door de voorwaarde dat twee van de hoeken optellen tot de derde, zeg A+B = C. De zijden zijn dan als volgt verbonden: de som van de oppervlakten van de cirkels met diameters a en b is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel met diameter c.

Sferische meetkunde

Voor elke rechthoekige driehoek op een bol met straal R (bijvoorbeeld als γ in de figuur een rechte hoek is), met zijden a, b, c, neemt het verband tussen de zijden de vorm aan:

cos ( c R ) = cos ( a R ) cos ( b R ) . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}}rechts)=\cos \left({\frac {a}{R}}rechts)\cos \left({\frac {b}{R}}}rechts).}

Deze vergelijking kan worden afgeleid als een speciaal geval van de sferische cosinuswet die geldt voor alle sferische driehoeken:

cos ( c R ) = cos ( a R ) cos ( b R ) + sin ( a R ) sin ( b R ) cos γ . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}}right)=\cos \left({\frac {a}{R}}right)\cos \left({\frac {b}{R}}right)+\sin \left({\frac {a}{R}}right)\sin \left({\frac {b}{R}}right)\cos \gamma .}

Door de Maclaurinreeks voor de cosinusfunctie uit te drukken als een asymptotische expansie met de restterm in grote O-notatie,

cos x = 1 – x 2 2 + O ( x 4 ) als x → 0 , {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\text{als}xtot 0} ,

kan worden aangetoond dat als de straal R oneindig nadert en de argumenten a/R, b/R, en c/R naar nul neigen, de sferische relatie tussen de zijden van een rechthoekige driehoek de Euclidische vorm van de stelling van Pythagoras benadert. Invullen van de asymptotische expansie voor elk van de cosinussen in de sferische relatie voor een rechthoekige driehoek geeft

1 – 1 2 ( c R ) 2 + O ( 1 R 4 ) = als R → ∞ . {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}({\frac {c}{R}}rechts)^{2}+O({\frac {1}{R^{4}}}}rechts)={\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}({\frac {1}{R^{4}}}}}rechts)^{2}+O({\frac {1}{R^{4}}}}rechts)={\displaystyle 1-{{{text{ as}}R} tot \infty \ .}

De constanten a4, b4 en c4 zijn opgenomen in de grote O-resttermen omdat ze onafhankelijk zijn van de straal R. Deze asymptotische relatie kan verder worden vereenvoudigd door de grootheden tussen haakjes weg te vermenigvuldigen, de enen op te heffen, te vermenigvuldigen met -2, en alle fouttermen bij elkaar te brengen:

( c R ) 2 = ( a R ) 2 + ( b R ) 2 + O ( 1 R 4 ) als R → ∞ . {\left({\frac {c}{R}}}}rechts)^{2}=\left({\frac {a}{R}}}rechts)^{2}+\left({\frac {b}{R}}}}rechts)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}}}}rechts){\text{ as}}R tot \infty \ .}

Na vermenigvuldiging met R2 wordt de Euclidische Pythagorese relatie c2 = a2 + b2 teruggevonden in de limiet als de straal R oneindig nadert (omdat de restterm naar nul neigt):

c 2 = a 2 + b 2 + O ( 1 R 2 ) als R → ∞ . {Displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O-links({\frac {1}{R^{2}}}}rechts){text{ as}}R}tot \infty \ .}

Voor kleine rechthoekige driehoeken (a, b << R) kunnen de cosinussen worden geëlimineerd om verlies van betekenis te voorkomen, zodat

sin 2 c 2 R = sin 2 a 2 R + sin 2 b 2 R – 2 sin 2 a 2 R sin 2 b 2 R . {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}{\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}},.}

Hyperbolmeetkunde

In een hyperbolische ruimte met uniforme kromming -1/R2 geldt voor een rechthoekige driehoek met benen a, b, en schuine zijde c, dat het verband tussen de zijden de vorm heeft:

cosh c R = cosh a R cosh b R {Displaystyle \cosh {c}{R}}=cosh {a}{R}},\cosh {b}{R}}}

waar cosh de hyperbolische cosinus is. Deze formule is een speciale vorm van de hyperbolische cosinuswet die geldt voor alle hyperbolische driehoeken:

cosh c R = cosh a R cosh b R – sinh a R sinh b R cos γ ,

Met γ de hoek op het hoekpunt tegenover de zijde c.

Met behulp van de Maclaurin-reeks voor de hyperbolische cosinus, cosh x ≈ 1 + x2/2, kan worden aangetoond dat als een hyperbolische driehoek heel klein wordt (dus als a, b, en c allemaal nul naderen), het hyperbolische verband voor een rechthoekige driehoek de vorm van de stelling van Pythagoras benadert.

Voor kleine rechthoekige driehoeken (a, b << R) kunnen de hyperbolische cosinussen worden geëlimineerd om verlies van betekenis te voorkomen, zodat

sinh 2 c 2 R = sinh 2 a 2 R + sinh 2 b 2 R + 2 sinh 2 a 2 R sinh 2 b 2 R . {\displaystyle ^{2}{\frac {c}{2R}}= sinh ^{2}{\frac {a}{2R}+ sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2 sinh ^{2}{\frac {a}{2R}} ^{2}{\frac {b}{2R}}},.}

Zeer kleine driehoeken

c 2 = a 2 + b 2 – K 3 a 2 b 2 – K 2 45 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 ) – 2 K 3 945 a 2 b 2 ( a 2 – b 2 ) 2 + O ( K 4 c 10 ) . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{\frac {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.}

Differentiaalmeetkunde

Op een infinitesimaal niveau, in de driedimensionale ruimte, beschrijft de stelling van Pythagoras de afstand tussen twee infinitesimaal van elkaar gescheiden punten als:

d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 , {displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}

met ds het element van de afstand en (dx, dy, dz) de componenten van de vector die de twee punten van elkaar scheidt. Een dergelijke ruimte wordt een euclidische ruimte genoemd. In de Riemannse meetkunde echter heeft een veralgemening van deze uitdrukking die nuttig is voor algemene coördinaten (niet alleen cartesiaanse) en algemene ruimten (niet alleen euclidische) de vorm:

d s 2 = ∑ i , j n g i j d x i d x j {displaystyle ds^{2}=[som _{i,j}^{n}g_{ij},dx_{i}\,dx_{j}}

die de metrische tensor wordt genoemd. (Soms, door taalmisbruik, wordt dezelfde term toegepast op de verzameling coëfficiënten gij). De metrische tensor kan een functie van de positie zijn, en beschrijft vaak een gekromde ruimte. Een eenvoudig voorbeeld is de Euclidische (vlakke) ruimte uitgedrukt in kromlijnige coördinaten. Bijvoorbeeld, in polaire coördinaten:

d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 . {Displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}dtheta ^{2}.