Vectorbasis

Een vectorbasis van een vectorruimte is gedefinieerd als een deelverzameling van vectoren in die lineair onafhankelijk zijn en overspannen. Bijgevolg, als een lijst vectoren is in , dan vormen deze vectoren een vectorbasis als en slechts als elke uniek geschreven kan worden als

waar elementen van het basisveld zijn.

Wanneer het basisveld de reals is zodat voor , zijn de resulterende basisvectoren -tupels van reals die -dimensionale Euclidische ruimte overspannen. Andere mogelijke basisvelden zijn de complexen , en verschillende positieve karakteristieke velden die in de algebra, getaltheorie en algebraïsche meetkunde voorkomen.

Een vectorruimte heeft veel verschillende vectorbasissen, maar er zijn altijd evenveel basisvectoren in elk van hen. Het aantal basisvectoren in wordt de dimensie van genoemd. Elke overspannen lijst in een vectorruimte kan worden herleid tot een basis van de vectorruimte.

Het eenvoudigste voorbeeld van een vectorbasis is de standaardbasis in de euclidische ruimte , waarin de basisvectoren langs elke coördinatenas liggen. Een verandering van basis kan worden gebruikt om vectoren (en operatoren) in een gegeven basis om te zetten in een andere.

Gegeven een hypervlak gedefinieerd door

een basis kan worden gevonden door op te lossen in termen van , en . Als we deze procedure uitvoeren,

so

en de bovenstaande vectoren vormen een (niet genormaliseerde) basis.

Gegeven een matrix met een orthonormale basis, is de matrix die overeenkomt met een verandering van basis, uitgedrukt in termen van de oorspronkelijke is

Wanneer een vectorruimte oneindig dimensionaal is, dan bestaat er een basis zolang men uitgaat van het axioma van keuze. Een deelverzameling van de basis die lineair onafhankelijk is en waarvan de spanwijdte dicht is, heet een volledige verzameling, en is vergelijkbaar met een basis. Als een Hilbertruimte is, dan heet een volledige verzameling een Hilbertbasis.