Elektrische stromen (langs een gesloten kromme/draad)Edit
, r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}’}} }
, en de waarde van | r ′ | {\displaystyle |\mathbf {r’} |}
De wet van Biot-Savart wordt gebruikt voor de berekening van het resulterende magnetische veld B op positie r in de 3D-ruimte, opgewekt door een flexibele stroom I (bijvoorbeeld door een draad). Een constante (of stationaire) stroom is een voortdurende stroom van ladingen die niet verandert met de tijd en de lading noch accumuleert noch op enig punt uitput. De wet is een natuurkundig voorbeeld van een lijnintegraal, die wordt berekend over het pad C waarin de elektrische stromen vloeien (b.v. de draad). De vergelijking in SI-eenheden is
B ( r ) = μ 0 4 π ∫ C I d ℓ × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I,d{\boldsymbol {ell}}\times \mathbf {r’}} {\mathbf {r’}} |^{3}}}}
waar d ℓ {{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}
is een vector langs het pad C {\displaystyle C}}
waarvan de magnitude gelijk is aan de lengte van het differentieelelement van de draad in de richting van de conventionele stroom. ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}
is een punt op pad C {\displaystyle C}}
. r ′ = r – ℓ {\displaystyle \mathbf {r’} = {\mathbf {r}} -{\boldsymbol {\ell }}
is de volledige verplaatsingsvector van het draadelement ( d ℓ {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}
) in het punt ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}
naar het punt waar het veld wordt berekend ( r {\displaystyle \mathbf {r}} }
), en μ0 is de magnetische constante. Alternatief: B ( r ) = μ 0 4 π ∫ C I d ℓ × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{C}{\frac {I,d{\boldsymbol {ell }} keer \mathbf {{r}}’} }{\mathbf {r’} |^{2}}}}
waarbij r ^ ′ {\mathbf {{\hat {r}}’} } }
is de eenheidsvector van r ′ {\displaystyle ′mathbf {r’} } }
De integraal is meestal rond een gesloten kromme, omdat stationaire elektrische stromen alleen rond gesloten paden kunnen stromen als ze begrensd zijn. De wet geldt echter ook voor oneindig lange draden (dit concept werd tot 20 mei 2019 gebruikt in de definitie van de SI-eenheid van elektrische stroom – de Ampère).
Om de vergelijking toe te passen wordt het punt in de ruimte waar het magnetisch veld moet worden berekend willekeurig gekozen ( r {displaystyle \mathbf {r} }
). Als dat punt vastligt, wordt de lijnintegraal over het traject van de elektrische stroom berekend om het totale magnetische veld in dat punt te vinden. De toepassing van deze wet berust impliciet op het superpositiebeginsel voor magnetische velden, d.w.z. het feit dat het magnetisch veld een vectorsom is van het veld dat door elke infinitesimale doorsnede van de draad afzonderlijk wordt opgewekt.
Er is ook een 2D-versie van de Biot-Savart vergelijking, die wordt gebruikt wanneer de bronnen in één richting invariant zijn. In het algemeen hoeft de stroom niet alleen te lopen in een vlak loodrecht op de invariante richting en wordt hij gegeven door J {\displaystyle \mathbf {J} }
(stroomdichtheid). De resulterende formule is: B ( r ) = μ 0 2 π ∫ C ( J d ℓ ) × r ′ | r ′ | = μ 0 2 π ∫ C ( J d ℓ ) × r ^ ′ {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{2\pi }} {int _{C}}(\mathbf {J} )={\frac {(\mathbf {J} \,d\ell )\times \mathbf {r} ‘}{\mathbf {r} ‘|}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\ (\mathbf {J} \,d\ell )\times \mathbf {{\mathbf {r}’} } }
Elektrische stroomdichtheid (over het gehele geleidervolume)Edit
De hierboven gegeven formuleringen werken goed als de stroom kan worden benaderd als door een oneindig smalle draad te lopen. Als de geleider enige dikte heeft, is de juiste formulering van de wet van Biot-Savart (weer in SI-eenheden):
B ( r ) = μ 0 4 π ∭ V ( J d V ) × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r} ‘}{|\mathbf {r} ‘|^{3}}}}
waar r ′ {\displaystyle \mathbf {r’} } }
is de vector van dV naar het waarnemingspunt r {\displaystyle \mathbf {r}} }
, d V {\displaystyle dV}
is het volume-element, en J {\displaystyle \mathbf {J}} }
is de vector van de stroomdichtheid in dat volume (in SI in eenheden van A/m2).
In termen van de eenheidsvector r ^ ′ {\mathbf {{r}}’} }
B ( r ) = μ 0 4 π ∭ V d V J × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {B}} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V} dV{\frac {\mathbf {J}} \maal \mathbf {{r}}’} }{\mathbf {r} ‘|^{2}}}}
Constante uniforme stroomEdit
In het speciale geval van een uniforme constante stroom I, zal het magnetische veld B {{\mathbf {B}} }
is B ( r ) = μ 0 4 π I ∫ C d ℓ × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }} keer \mathbf {r’} {\mathbf {r’}} |^{3}}}}
Dat wil zeggen dat de stroom uit de integraal gehaald kan worden.
Puntlading bij constante snelheidEdit
In het geval van een puntgeladen deeltje q dat met een constante snelheid v beweegt, geven de vergelijkingen van Maxwell de volgende uitdrukking voor het elektrisch veld en het magnetisch veld:
E = q 4 π ϵ 0 1 – v 2 c 2 ( 1 – v 2 c 2 sin 2 θ ) 3 2 r ^ ′ | r ′ | 2 H = v × D B = 1 c 2 v × E {\displaystyle {begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4}pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{}}(1-{\frac {v^{2}{c^{2}}}}sin ^{2}}}}^{2}}}^{3}{2}}}}{\frac {{mathbf {{hat {r}}’} } }{\mathbf {r} ‘|^{2}}} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E}} \einde{aligned}}
waarbij r ^ ¨ {{\mathbf {}} ‘}
de eenheidsvector is die wijst van de huidige (niet-vertraagde) positie van het deeltje naar het punt waar het veld wordt gemeten, en θ de hoek is tussen v {\displaystyle \mathbf {v}}} en r {{{\displaystyle \mathbf {v}}}}
en r ′ {\displaystyle \mathbf {r} ‘}
.
Wanneer v2 ≪ c2, kunnen het elektrisch veld en het magnetisch veld benaderd worden als
E = q 4 π ϵ 0 r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}} }{\mathbf {r} ‘|^{2}}}}
B = μ 0 q 4 π v × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}\mathbf {v} \times {\frac {{\mathbf {{\hat {r}}’}} {\mathbf {r} ‘|^{2}}}}
Deze vergelijkingen werden voor het eerst afgeleid door Oliver Heaviside in 1888. Sommige auteurs noemen de bovenstaande vergelijking voor B {{\mathbf {B}} }
de “wet van Biot-Savart voor een puntlading” vanwege de grote gelijkenis met de standaard wet van Biot-Savart. Deze taal is echter misleidend, omdat de wet van Biot-Savart alleen geldt voor constante stromen en een puntlading die door de ruimte beweegt geen constante stroom is.