Suponha que tem uma função $f(x)$, e quer encontrar tão exactamente quanto possível onde cruza o eixo $x$; por outras palavras, quer resolver$f(x)=0$. Suponha que não conhece nenhuma forma de encontrar uma solução exacta por qualquer procedimento algébrico, mas pode utilizar uma aproximação, desde que esta possa ser feita bastante próxima do valor real. O método de Newton é uma forma de encontrar uma solução para a equação com tantas casas decimais quantas quiser. É o que se chama um “procedimento iterativo”, o que significa que pode ser repetido uma e outra vez, de modo a obter uma resposta cada vez mais precisa. Procedimentos iterativos como o método de Newton são bem adequados à programação para o acomputador. O método de Newton utiliza o facto de que a linha tangente a curvar é uma boa aproximação à curva próxima do ponto de tangência.
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Exemplo 6.3.1 Aproximadamente $\ds \sqrt{3}$. Como $\ds {3}$ é uma solução para $\ds x^2=3$ ou $\ds x^2-3=0$, utilizamos $\ds f(x)=x^2-3$. Começamos por adivinhar algo razoavelmente próximo do verdadeiro valor; isto é geralmente fácil; vamos usar $\ds \sqrt3=approx2$. Agora utilizemos a linha tangente à curva quando $x=2$ como uma aproximação à curva, como mostra a infigura 6.3.1. Desde $f'(x)=2x$, a inclinação da linha tangente é 4 e a sua equação é $y=4x-7$. A linha tangente é isquite próxima de $f(x)$, pelo que cruza o eixo $x$ perto do ponto em que $f(x)$ cruza, isto é, perto de $\ds \sqrt3$. É fácil de encontrar onde a linha tangente cruza o eixo $x$: resolver $0=4x-7$ para obter $x=7/4=1,75$. Esta é certamente uma aproximação melhor do que 2, mas digamos que não é suficientemente próxima. Podemos melhorá-la fazendo o mesmo: encontrar a linha tangente a $x=1,75$, encontrar onde esta nova linha tangente cruza o eixo $x$, e usar esse valor como uma melhor aproximação. Podemos continuar isto indefinidamente, embora isto se torne um pouco mordaz. Vamos ver se conseguimos atalhar o processo. Suponhamos que a bestapproximação à intercepção que temos até agora é $\ds x_i$. Para encontrarmos a aproximação de estímulo, faremos sempre a mesma coisa: encontrar a inclinação da linha tangente a $\ds x_i$, encontrar a equação da linha tangente, encontrar o intercepção $x$. O declive é de $\ds 2x_i$. A linha tangente é $\ds y=(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$, utilizando a fórmula da inclinação de um ponto para uma linha. Finalmente, a intercepção é encontrada bysolving $\ds 0 =(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$. Com um pouco de álgebra isto transforma-se em $\ds x=(x_i^2+3)/(2x_i)$; esta é a aproximação seguinte, que, naturalmente, chama $\ds x_{i+1}$. Em vez de fazermos toda a cálculo tangente da linha sempre que podemos simplesmente usar esta fórmula para obter tantas aproximações quantas quisermos. Começando com $\ds x_0=2$, obtemos $\ds x_1=(x_0^2+3)/(2x_0)=(2^2+3)/4=7/4$ (a mesma aproximação que vamos acima, claro), $\ds x_2=(x_1^2+3)/(2x_1)=((7/4)^2+3)/(7/2)=97/56\approx 1.73214$, $\ds x_3\aproximadamente 1,73205$, e em breve. Isto ainda é um pouco aborrecido à mão, mas com uma calculadora ou, melhor ainda, um bom programa de computador, é bastante fácil obter muitas, muitas aproximações. Podemos já adivinhar que $1,73205$ é preciso até duas casas decimais, e de facto acontece que é preciso até 5 casas.
P>Pode alterar a função aqui, por exemplo para Math.sin(x) ou Math.exp(x) ou Math.exp(x).pow(2,x) ou 1-2/(x*x).
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$x_{final}=$
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Vamos pensar sobre este processo em termos mais gerais. Queremos aproximar uma solução a $f(x)=0$. Começamos com um palpite, a que chamamos $\ds x_0$. Usamos a linha tangente a $f(x)$ para obter uma nova aproximação que esperamos seja mais próxima do verdadeiro valor. Qual é a equação da linha tangente quando $\ds x=x_0$? A inclinação é $\ds f'(x_0)$ e a linha passa por $\ds(x_0,f(x_0))$, pelo que a equação da linha é $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$Now encontramos onde isto cruza o eixo $x$, substituindo $y=0$ e resolvendo por $x$:$x={x_0f'(x_0)-f(x_0)\ sobre f'(x_0)} = x_0 – {f(x_0)\ sobre f'(x_0)}.$Queremos tipicamente calcular mais do que uma destas aproximações melhoradas, por isso numeramo-las consecutivamente; a partir de $\ds x_0$ já calculámos $\ds x_1$:$x_1={x_0f'(x_0)-f(x_0)}over f'(x_0)} = x_0 – {f(x_0)}over f'(x_0)},$ e em geral a partir de $\ds x_i$ calculamos $\ds x_{i+1}$:$x_{i+1}={x_if'(x_i)-f(x_i)-f(x_i)}over f'(x_i)} = x_i – {f(x_i)}over f'(x_i)}.$
Exemplo 6.3.2 Voltando ao exemplo anterior, $\ds f(x)=x^2-3$, $f'(x)=2x$, e a fórmula torna-se $\ds x_{i+1}=x_i – (x_i^2-3)/(2x_i)=(x_i^2+3)/(2x_i)$, asbefore.
Na prática, ou seja, se precisar de aproximar um valor no decurso da concepção de uma ponte ou de um edifício ou de uma estrutura de aeronave, precisará de ter alguma confiança de que a aproximação que estabelece é suficientemente precisa. Como regra geral, quando um certo número de casas decimais deixa de mudar de uma aproximação para outra, é provável que essas casas decimais estejam correctas. Ainda assim, isto pode não ser suficiente, caso em que podemos testar o resultado quanto à exactidão.
Exemplo 6.3.3 Encontrar a coordenada $x$ da intersecção das curvas $y=2x$e $y=\tan x$, exacta até três casas decimais. Para colocar isto no contexto do método de Newton, notamos que queremos saber onde $2x=\tanx$ ou $f(x)=\tan x-2x=0$. Calculamos $\ds f'(x)=^2 x – 2$ e configuramos a fórmula:$x_{i+1} = x_i-{\tan x_i -2x_i}sobre \sec^2 x_i – 2}.$ A partir do gráfico da figura 6.3.2 supomos $\ds x_0=1$ como ponto de partida, depois usando a fórmula wecompute $\ds x_1=1,310478030$, $\ds x_2=1,223929096$, $\ds x_3=1,176050900$,$\ds x_4=1,165926508$, $\ds x_5=1,165561636$. Portanto, supomos que os três primeiros lugares estão correctos, mas isso não é o mesmo que dizer $1,165$ está correcto com três casas decimais – $ 1,166$ pode ser a aproximação correcta,arredondada. Como podemos dizer? Podemos substituir $1,165$,$1,1655$ e $1,166$ em $\tan x – 2x$; isto dá $-0,002483652$, $-0,000271247$, $0,001948654$. Como os dois primeiros são negativos e o terceiro é positivo, $\tan x – 2x$ cruza o eixo $x$ entre $1,1655$ e $1,166$, portanto o valor correcto para três lugares é $1,166$.
Exercícios 6.3
P>Pode querer usar esta folha de trabalhoSage.
p>Ex 6.3.1Aximar a quinta raiz de 7, usando $\ds x_0=1.5$ como primeiro palpite. Usar o método de Newton para encontrar $\ds x_3$ como aproximação. (resposta)
Ex 6.3.2Utilizar o método de Newton para aproximar a raiz do cubo de 10 a duas casas decimais.(resposta)
Ex 6.3.3 A função $\ds f(x)=x^3-3x^2-3x+6$ tem uma raiz entre 3 e 4, porque$f(3)=-3$ e $f(4)=10$. Aproxima a raiz a duas casas decimais.(resposta)
Ex 6.3.4Um pedaço rectangular de cartão de dimensões $8\ vezes 17$ é usado para fazer uma caixa aberta cortando um pequeno quadrado de lado$x$ de cada canto e dobrando os lados. (Seeexercise 20 in 6.1.)Se $x=2$, então o volume da caixa é $2\cdot 4\cdot 13=104$. Use o método de Newton para encontrar um valor de $x$ para o qual a caixa tem volume100, com precisão de 3 números significativos. (resposta)