Scena del crimine
Un detective viene chiamato sulla scena di un crimine dove è stato appena trovato un corpo morto. Arriva sulla scena alle 22:23 e inizia la sua indagine. Immediatamente, la temperatura del corpo viene presa e risulta essere di 80o F. Il detective controlla il termostato programmabile e scopre che la stanza è stata tenuta ad una temperatura costante di 68o F negli ultimi 3 giorni. Dopo aver raccolto le prove dalla scena del crimine, la temperatura del corpo viene presa ancora una volta e si trova a 78.5o F. Questa ultima lettura della temperatura è stata presa esattamente un’ora dopo la prima. Il giorno dopo al detective viene chiesto da un altro investigatore: “A che ora è morta la nostra vittima? Supponendo che la temperatura corporea della vittima fosse normale (98.6o F) prima della morte, qual è la sua risposta a questa domanda? La legge del raffreddamento di Newton può essere usata per determinare l’ora della morte di una vittima.
Legge di Newton sul raffreddamento
La legge di Newton sul raffreddamento descrive il raffreddamento di un oggetto più caldo alla temperatura più fredda dell’ambiente. In particolare scriviamo questa legge come,
T (t) = Te + (T0 – Te ) e – kt,
dove T (t) è la temperatura dell’oggetto al tempo t, Te è la temperatura costante dell’ambiente, T0 è la temperatura iniziale dell’oggetto, e k è una costante che dipende dalle proprietà materiali dell’oggetto.
Per organizzare il nostro pensiero su questo problema, siamo espliciti su ciò che stiamo cercando di risolvere. Vorremmo sapere l’ora in cui una persona è morta. In particolare, sappiamo che l’investigatore è arrivato sulla scena alle 22:23, che chiameremo τ ore dopo la morte. Alle 10:23 (cioè τ ore dopo la morte), la temperatura del corpo è stata trovata a 80o F. Un’ora dopo, τ + 1 ore dopo la morte, il corpo è stato trovato a 78,5o F. Le nostre costanti note per questo problema sono: Te = 68o F e T0 = 98.6o F.
A che ora è morta la nostra vittima?