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Sezione 4-13 : Metodo di Newton
La prossima applicazione che vedremo in questo capitolo è un’applicazione importante che viene utilizzata in molti settori. Se avete seguito il capitolo fino a questo punto, è possibile che abbiate avuto l’impressione che molte delle applicazioni che abbiamo visto siano state inventate da noi per farvi lavorare. Questo è un peccato perché tutte le applicazioni che abbiamo visto fino a questo punto sono applicazioni reali che vengono usate in situazioni reali. Il problema è spesso che per lavorare con esempi più significativi delle applicazioni avremmo bisogno di più conoscenze di quelle che generalmente abbiamo sulla scienza e/o fisica dietro il problema. Senza questa conoscenza siamo bloccati a fare degli esempi abbastanza semplicistici che spesso non sembrano affatto realistici e questo rende difficile capire che l’applicazione che stiamo guardando è un’applicazione reale.
Questo cambierà in questa sezione. Questa è un’applicazione che tutti possiamo capire e tutti possiamo capire che deve essere fatta occasionalmente anche se non capiamo la fisica/scienza dietro un’applicazione reale.
In questa sezione vedremo un metodo per approssimare le soluzioni delle equazioni. Tutti sappiamo che le equazioni devono essere risolte occasionalmente e infatti abbiamo risolto noi stessi un bel po’ di equazioni fino a questo punto. In tutti gli esempi che abbiamo visto fino a questo punto siamo stati in grado di trovare effettivamente le soluzioni, ma non è sempre possibile farlo esattamente e/o fare il lavoro a mano. È qui che entra in gioco questa applicazione. Quindi, vediamo in cosa consiste questa applicazione.
Supponiamo di voler approssimare la soluzione a \(f\left( x \right) = 0\) e supponiamo anche di aver trovato in qualche modo un’approssimazione iniziale a questa soluzione, diciamo, \({x_0}\). Questa approssimazione iniziale non è probabilmente così buona, in effetti potrebbe non essere altro che una rapida supposizione che abbiamo fatto, e quindi ci piacerebbe trovare un’approssimazione migliore. Questo è abbastanza facile da fare. Per prima cosa, otterremo la linea tangente a \(f\sinistra( x destra)\)a \({x_0})
\
Ora, date un’occhiata al grafico qui sotto.
La linea blu (se state leggendo a colori…) è la linea tangente a \({x_0}\). Possiamo vedere che questa linea attraverserà l’asse \(x\)- molto più vicino alla soluzione effettiva dell’equazione di quanto non lo faccia \({x_0}\). Chiamiamo questo punto in cui la tangente a \({x_0}) attraversa l’asse \(x) \({x_1}) e useremo questo punto come nostra nuova approssimazione alla soluzione.
Come facciamo a trovare questo punto? Beh, conosciamo le sue coordinate, \(\sinistra( {{x_1},0} \destra)\), e sappiamo che è sulla linea tangente, quindi inseriamo questo punto nella linea tangente e risolviamo per \({x_1}\) come segue,
\
Così, possiamo trovare la nuova approssimazione a condizione che la derivata non sia zero nell’approssimazione originale.
Ora ripetiamo l’intero processo per trovare un’approssimazione ancora migliore. Formiamo la linea tangente a \(f\sinistra( x \destra)\ in \({x_1}\) e usiamo la sua radice, che chiameremo \({x_2}\), come nuova approssimazione alla soluzione reale. Se facciamo questo arriveremo alla seguente formula.
\
Questo punto è anche mostrato nel grafico sopra e possiamo vedere da questo grafico che se continuiamo a seguire questo processo otterremo una sequenza di numeri che si avvicinano molto alla soluzione reale. Questo processo è chiamato metodo di Newton.
Ecco il metodo generale di Newton
Metodo di Newton
Se \({x_n}}) è un’approssimazione di una soluzione di \(f\left( x \right) = 0\) e se \(f’\left( {{x_n}} \right) \ne 0\) la prossima approssimazione è data da,
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Questo dovrebbe portare alla domanda: quando ci fermiamo? Quante volte passiamo attraverso questo processo? Uno dei punti di arresto più comuni nel processo è quello di continuare fino a quando due approssimazioni successive concordano con un dato numero di cifre decimali.
Prima di lavorare su qualsiasi esempio dovremmo affrontare due questioni. Primo, abbiamo davvero bisogno di risolvere \(f\sinistra( x \destra) = 0\) per poter applicare il metodo di Newton. Questo non è davvero un gran problema, ma dobbiamo assicurarci che l’equazione sia in questa forma prima di usare il metodo.
In secondo luogo, dobbiamo in qualche modo mettere le mani su un’approssimazione iniziale della soluzione (cioè abbiamo bisogno di \({x_0}}) in qualche modo). Uno dei modi più comuni per mettere le mani su \({x_0}\ è quello di disegnare il grafico della funzione e usarlo per ottenere una stima della soluzione che poi usiamo come \({x_0}\. Un altro metodo comune è se sappiamo che c’è una soluzione di una funzione in un intervallo, allora possiamo usare il punto medio dell’intervallo come \({x_0}\).
Facciamo un esempio del Metodo di Newton.
Prima di tutto nota che non ci è stata data un’ipotesi iniziale. Tuttavia, ci è stato dato un intervallo in cui guardare. Useremo questo per ottenere la nostra ipotesi iniziale. Come notato sopra, la regola generale in questi casi è di prendere l’approssimazione iniziale come punto medio dell’intervallo. Quindi, useremo \({x_0} = 1\) come approssimazione iniziale.
In seguito, ricordiamo che dobbiamo avere la funzione nella forma \(f\sinistra( x \destra) = 0\). Quindi, prima riscriviamo l’equazione come,
\
Possiamo ora scrivere la formula generale del Metodo di Newton. Fare questo spesso semplifica un po’ il lavoro, quindi generalmente non è una cattiva idea farlo.
\
Ora otteniamo la prima approssimazione.
\
A questo punto dovremmo sottolineare che la frase “sei cifre decimali” non significa semplicemente ottenere \({x_1}\) fino a sei cifre decimali e poi fermarsi. Invece significa che continuiamo fino a quando due approssimazioni successive concordano su sei cifre decimali.
Data questa condizione di arresto abbiamo chiaramente bisogno di andare almeno un passo più avanti.
Va bene, stiamo facendo progressi. Abbiamo l’approssimazione a 1 decimale. Facciamone un’altra, lasciando a te i dettagli del calcolo.
\p>
Abbiamo ottenuto tre cifre decimali. Ne avremo bisogno di un’altra.
\p> E ora abbiamo due approssimazioni che concordano a 9 cifre decimali e quindi possiamo fermarci. Assumeremo che la soluzione sia approssimativamente \({x_4} = 0.7390851332\).
In quest’ultimo esempio abbiamo visto che non abbiamo dovuto fare troppi calcoli perché il metodo di Newton ci desse un’approssimazione nell’intervallo di precisione desiderato. Questo non sarà sempre il caso. A volte ci vorranno molte iterazioni attraverso il processo per arrivare alla precisione desiderata e a volte può fallire completamente.
L’esempio seguente è un po’ sciocco ma rende l’idea del fallimento del metodo.
Sì, è un esempio stupido. Chiaramente la soluzione è \(x = 0\), ma rende un punto molto importante. Prendiamo la formula generale del metodo di Newton.
\p>
In realtà, non abbiamo bisogno di fare alcun calcolo qui. Questi calcoli si allontanano sempre di più dalla soluzione, \(x = 0\), ad ogni iterazione. Ecco un paio di calcoli per rendere l’idea.
\\p> Quindi, in questo caso il metodo fallisce e fallisce in modo spettacolare.
Quindi, dobbiamo stare un po’ attenti con il metodo di Newton. Di solito trova rapidamente un’approssimazione di un’equazione. Tuttavia, ci sono momenti in cui richiederà molto lavoro o in cui non funzionerà affatto.