In molte applicazioni circuitali, incontriamo componenti collegati insieme in uno dei due modi per formare una rete a tre terminali: la configurazione “Delta,” o Δ (conosciuta anche come “Pi,” o π), e la configurazione “Y” (conosciuta anche come “T”).
È possibile calcolare i valori corretti delle resistenze necessarie a formare un tipo di rete (Δ o Y) che si comporti in modo identico all’altro tipo, analizzato dalle sole connessioni dei terminali. Cioè, se avessimo due reti di resistenze separate, una Δ e una Y, ognuna con le sue resistenze nascoste alla vista, con solo i tre terminali (A, B e C) esposti per le prove, le resistenze potrebbero essere dimensionate per le due reti in modo che non ci sarebbe modo di determinare elettricamente una rete a parte l’altra. In altre parole, le reti Δ e Y equivalenti si comportano in modo identico.
Equazioni di conversione Δ e Y
Ci sono diverse equazioni usate per convertire una rete nell’altra:
Le retiΔ e Y si vedono spesso nei sistemi di alimentazione AC trifase (un argomento trattato nel volume II di questa serie di libri), ma anche in quel caso sono di solito reti bilanciate (tutte le resistenze hanno lo stesso valore) e la conversione da una all’altra non richiede calcoli così complessi. Quando mai il tecnico medio avrebbe bisogno di usare queste equazioni?
Applicazione della conversione Δ e Y
Una prima applicazione per la conversione Δ-Y è nella soluzione di circuiti a ponte sbilanciati, come quello sotto:
La soluzione di questo circuito con l’analisi della corrente di ramo o della corrente di maglia è abbastanza complessa, e né il teorema di Millman né quello della sovrapposizione sono di alcun aiuto dato che c’è solo una sorgente di potenza. Potremmo usare il Teorema di Thevenin o quello di Norton, trattando R3 come carico, ma che divertimento ci sarebbe?
Se trattassimo le resistenze R1, R2 e R3 come se fossero collegate in una configurazione Δ (Rab, Rac e Rbc, rispettivamente) e generassimo una rete Y equivalente per sostituirle, potremmo trasformare questo circuito a ponte in un (più semplice) circuito di combinazione serie/parallelo:
Dopo la conversione Δ-Y . . .
Se eseguiamo correttamente i nostri calcoli, le tensioni tra i punti A, B e C saranno le stesse nel circuito convertito e nel circuito originale, e possiamo trasferire questi valori alla configurazione originale del ponte.
I resistori R4 e R5, naturalmente, rimangono gli stessi a 18 Ω e 12 Ω, rispettivamente. Analizzando ora il circuito come una combinazione serie/parallelo, arriviamo alle seguenti figure:
Dobbiamo usare le figure delle cadute di tensione della tabella precedente per determinare le tensioni tra i punti A, B e C, vedendo come si sommano (o si sottraggono, come nel caso della tensione tra i punti B e C):
Ora che conosciamo queste tensioni, possiamo trasferirle negli stessi punti A, B e C del circuito a ponte originale:
Le cadute di tensione attraverso R4 e R5, naturalmente, sono esattamente le stesse che erano nel circuito del convertitore.
A questo punto, potremmo prendere queste tensioni e determinare le correnti dei resistori attraverso l’uso ripetuto della legge di Ohm (I=E/R):
Simulazione con SPICE
Una rapida simulazione con SPICE servirà per verificare il nostro lavoro:
unbalanced bridge circuit v1 1 0 r1 1 2 12 r2 1 3 18 r3 2 3 6 r4 2 0 18 r5 3 0 12 .dc v1 10 10 1 .print dc v(1,2) v(1,3) v(2,3) v(2,0) v(3,0) .end v1 v(1,2) v(1,3) v(2,3) v(2) v(3) 1.000E+01 4.706E+00 5.294E+00 5.882E-01 5.294E+00 4.706E+00
I valori di tensione, letti da sinistra a destra, rappresentano le cadute di tensione attraverso le cinque rispettive resistenze, da R1 a R5. Avrei potuto mostrare anche le correnti, ma poiché ciò avrebbe richiesto l’inserimento di sorgenti di tensione “fittizie” nella netlist SPICE, e poiché siamo interessati principalmente a convalidare le equazioni di conversione Δ-Y e non la legge di Ohm, questo sarà sufficiente.
RIASSUNTO:
- Le reti “Delta” (Δ) sono anche conosciute come reti “Pi” (π).
- Le reti “Y” sono anche conosciute come reti “T”.
- Le retiΔ e Y possono essere convertite alle loro controparti equivalenti con le opportune equazioni di resistenza. Con “equivalente”, intendo che le due reti saranno elettricamente identiche misurate dai tre terminali (A, B e C).
- Un circuito a ponte può essere semplificato in un circuito serie/parallelo convertendo metà di esso da una rete Δ a una rete Y. Dopo aver risolto le cadute di tensione tra i tre punti di connessione originali (A, B e C), quelle tensioni possono essere trasferite di nuovo al circuito a ponte originale, attraverso quegli stessi punti equivalenti.
Foglio di lavoro correlato:
- Foglio di lavoro dei circuiti a 3 fasi Delta e Wye