Distribuzione binomiale negativa

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La distribuzione binomiale negativa, nota anche come distribuzione di Pascal o distribuzione Pólya, dà la probabilità di r-1 successi e x fallimenti in x+r-1 prove, e di successo alla (x+r)sima prova. La funzione di densità di probabilità è quindi data da

P_(r,p)(x) = p)]
(1)
= p
(2)
= (x+r-1; r-1)p^r(1-p)^x,
(3)

dove (n; k) è un coefficiente binomiale. La funzione di distribuzione è quindi data da

D(x) = sum_(n=0)^(x)(n+r-1; r-1)p^r(1-p)^n
(4)
= 1-((1-p)^(x+1)p^rGamma(x+r+1)_2F^~_1(1,x+r+1;x+2;1-p))/(Gamma(r))
(5)
= I(p;r,x+1),
(6)

dove Gamma(z) è la funzione gamma, _2F^~_1(a,b;c;z) è una funzione ipergeometrica regolarizzata, e I(z;a,b) è una funzione beta regolarizzata.

La distribuzione binomiale negativa è implementata nel linguaggio Wolfram come NegativeBinomialDistribution.

Definendo

P = (1-p)/p
(7)
Q = 1/p,
(8)

la funzione caratteristica è data da

phi(t)=(Q-Pe^(it))^(-r),
(9)

e il momento-generatrice di momenti

M(t)=e^(tx)=somma_(x=0)^inftye^(tx)(x+r-1; r-1)p^r(1-p)^x.
(10)

Siccome (N; n)=(N; N-n),

M(t) = p^r^(-r)
(11)
M^'(t)'(t) = p^r(1-p)r^(-r-1)e^t
(12)
M^('')(t)'')(t) = (1-p)rp^r(1-e^t+pe^t)^(-r-2)×(-1-e^tr+e^tpr)e^t
(13)
M^(''')(t)''')(t) = (1-p)rp^r(1-e^t+e^tp)^(-r-3)×e^t.
(14)

I momenti grezzi mu_n^'=M^((n))(0)'=M^((n))(0) sono quindi

mu_1^'' = (rq)/p
(15)
mu_2^'' = (rq(1+rq))/(p^2)
(16)
mu_3^'' = (q)/(p^3)
(17)
mu_4^'' = (q)/(p^4),
(18)

dove

q=1-p
(19)

e (r)_n è il simbolo di Pochhammer. (Si noti che Beyer 1987, p. 487, apparentemente dà la media in modo errato.)

Questo dà i momenti centrali come

mu_2 = (r(1-p))/(p^2)
(20)
mu_3 = (r(2-3p+p^2))/(p^3)=(r(p-1)(p-2))/(p^3)
(21)
mu_4 = (r(1-p)(6-6p+p^2+3r-3pr))/(p^4).
(22)

La media, la varianza, l’eccesso di asimmetria e di curtosi sono quindi

mu = (rq)/p
(23)
sigma^2 = (rq)/(p^2)
(24)
gamma_1
 = (2-p)/(sqrt(rq))
(25)
gamma_2 = (p^2-6p+6)/(rq),
(26)

che può anche essere scritto

mu = nP
(27)
sigma^2 = nPQ
(28)
gamma_1 = (Q+P)/(sqrt(rPQ))
(29)
gamma_2 = (1+6PQ)/(rPQ)-3.
(30)

La prima cumulante è

kappa_1=nP,
(31)

e le cumulanti successive sono dati dalla relazione di ricorrenza

kappa_(r+1)=PQ(dkappa_r)/(dQ).
(32)

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