Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

f E ( E ) = 2 E π ( 1 k T ) 3 / 2 exp ( – E k T ) {\displaystyle f_{E}(E)=2{sqrt {\frac {E}{{\pi}}} a sinistra({\frac {1}{kT}} a destra)^{3/2}exp \frac {-E}{kT}}destra)}

Siccome l’energia è proporzionale alla somma dei quadrati delle tre componenti di quantità di moto normalmente distribuite, questa distribuzione di energia può essere scritta in modo equivalente come una distribuzione gamma, utilizzando un parametro di forma, k s h a p e = 3 / 2 {displaystyle {k}_{shape}=3/2}

e un parametro di scala, θ s c a l e = k T {displaystyle {{theta }_{scale}=kT}

.

Utilizzando il teorema di equipartizione, dato che l’energia è uniformemente distribuita tra tutti e tre i gradi di libertà in equilibrio, possiamo anche dividere f E ( E ) d E {displaystyle f_{E}(E)dE}

in un insieme di distribuzioni chi-quadrato, dove l’energia per grado di libertà, ϵ {displaystyle \epsilon }

, è distribuita come una distribuzione chi-quadrato con un grado di libertà, f ϵ ( ϵ ) d ϵ = 1 π ϵ k T exp d ϵ {\displaystyle f_{\epsilon }(\epsilon )\,d\epsilon = {\sqrt {frac {1}{\pi \epsilon kT}}~exp \left\,d\epsilon }

All’equilibrio, questa distribuzione sarà vera per qualsiasi numero di gradi di libertà. Per esempio, se le particelle sono dipoli rigidi di massa con momento di dipolo fisso, avranno tre gradi di libertà traslazionali e due gradi di libertà rotazionali aggiuntivi. L’energia in ogni grado di libertà sarà descritta secondo la suddetta distribuzione chi-quadrata con un grado di libertà, e l’energia totale sarà distribuita secondo una distribuzione chi-quadrata con cinque gradi di libertà. Questo ha implicazioni nella teoria del calore specifico di un gas.

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann può anche essere ottenuta considerando il gas come un tipo di gas quantico per il quale si può fare l’approssimazione ε >> k T.

Distribuzione per il vettore velocitàModifica

Riconoscendo che la densità di probabilità di velocità fv è proporzionale alla funzione di densità di probabilità di quantità di moto

f v d 3 v = f p ( d p d v ) 3 d 3 v {displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p}

e usando p = mv otteniamo

f v ( v x , v y , v z ) = ( m 2 π k T ) 3 / 2 exp {displaystyle f_{mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\sinistra({frac {m}{2\pi kT}}destra)^{3/2}exp \left}

che è la distribuzione di velocità Maxwell-Boltzmann. La probabilità di trovare una particella con velocità nell’elemento infinitesimo circa la velocità v = è

f v ( v x , v y , v z ) d v x d v y d v z . {\displaystyle f_{{mathbf {v} }sinistra(v_{x},v_{y},v_{z}destra)\,dv_{x},dv_{y},dv_{z}.}

Come la quantità di moto, questa distribuzione è il prodotto di tre variabili indipendenti distribuite normalmente v x {displaystyle v_{x}}

, v y {displaystyle v_{y}

, e v z {displaystyle v_{z}}

, ma con varianza k T m {displaystyle {frac {kT}{m}}

.Si può anche vedere che la distribuzione di velocità di Maxwell-Boltzmann per la velocità vettoriale è il prodotto delle distribuzioni per ciascuna delle tre direzioni: f v ( v x , v y , v z ) = f v ( v x ) f v ( v y ) f v ( v z ) {\displaystyle f_{\mathbf {v} }left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}

dove la distribuzione per una singola direzione è

f v ( v i ) = m 2 π k T exp . {displaystyle f_{v}(v_{i})={sqrt {frac {m}{2\pi kT}}}exp \left.}

Ogni componente del vettore velocità ha una distribuzione normale con media μ v x = μ v y = μ v z = 0 {\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0}

e deviazione standard σ v x = σ v y = σ v z = k T m {displaystyle \sigma _{v_{x}=sigma _{v_{y}=sigma _{v_{z}={sqrt {\frac {kT}{m}}}}

, quindi il vettore ha una distribuzione normale tridimensionale, un particolare tipo di distribuzione normale multivariata, con media μ v = 0 {displaystyle \mu _{mathbf {v}={mathbf {0} }}

e covarianza Σ v = ( k T m ) I {displaystyle \Sigma _{\mathbf {v} }==sinistra({\frac {kT}{m}}destra)I}

, dove I {displaystyle I}

è la matrice d’identità 3 × 3 {displaystyle 3\times 3}

.

Distribuzione per la velocitàModifica

La distribuzione Maxwell-Boltzmann per la velocità segue immediatamente dalla distribuzione del vettore velocità, sopra. Si noti che la velocità è

v = v x 2 + v y 2 + v z 2 {displaystyle v={{sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}

e l’elemento di volume in coordinate sferiche

d v x d v y d v z = v 2 sin θ d v d θ d ϕ = v 2 d v d Ω {\displaystyle dv_{x},dv_{y},dv_{z}=v^{2}sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}dv\,d\Omega }

dove ϕ {displaystyle \phi }

e θ {displaystyle \theta }

sono gli angoli delle coordinate sferiche del vettore velocità. L’integrazione della funzione di densità di probabilità della velocità sugli angoli solidi d Ω {displaystyle d\Omega }

produce un ulteriore fattore 4 π {displaystyle 4\pi }

.La distribuzione della velocità con la sostituzione della velocità con la somma dei quadrati delle componenti del vettore:

f ( v ) = ( 2 π ) 1 / 2 ( m k T ) 3 / 2 v 2 exp . {\displaystyle f(v)={sinistra({frac {2}{\pi}}destra)^{1/2}\sinistra({frac {m}{kT}}destra)^{3/2}v^{2}exp \left.}