L’infinito è un concetto potente. Filosofi, artisti, teologi, scienziati e persone di tutti i ceti sociali hanno lottato con le idee dell’infinito e dell’eterno nel corso della storia.
L’infinito è anche un concetto estremamente importante in matematica. L’infinito appare quasi immediatamente quando si tratta di insiemi infinitamente grandi – collezioni di numeri che continuano all’infinito, come i numeri naturali o di conteggio: 1, 2, 3, 4, 5, e così via.
Gli insiemi infiniti non sono però tutti uguali. Ci sono in realtà molte diverse dimensioni o livelli di infinito; alcuni insiemi infiniti sono molto più grandi di altri insiemi infiniti.
La teoria degli insiemi infiniti è stata sviluppata alla fine del diciannovesimo secolo dal brillante matematico Georg Cantor. Molte delle idee e dei teoremi di Cantor sono alla base della matematica moderna. Una delle innovazioni più interessanti di Cantor è stato il modo di confrontare le dimensioni degli insiemi infiniti e di usare questa idea per dimostrare che ci sono molti infiniti.
Per vedere come funziona la teoria di Cantor, iniziamo dicendo che due insiemi sono della stessa dimensione se possiamo fare una corrispondenza uno a uno, o accoppiamento, degli elementi dei due insiemi. Possiamo iniziare in piccolo – gli insiemi {a, b, c} e {1, 2, 3} sono della stessa dimensione, poiché posso accoppiare i loro elementi:
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Questo è un po’ troppo complicato per confrontare due piccoli insiemi finiti come questi – è ovvio che entrambi hanno tre elementi, e quindi sono della stessa dimensione. Tuttavia, quando guardiamo gli insiemi infiniti, non possiamo semplicemente guardare gli insiemi e contare il numero di elementi, poiché gli insiemi vanno avanti all’infinito. Quindi, questa definizione più formale sarà molto utile.
Insiemi considerevolmente infiniti
Il nostro livello base di infinito verrà dal nostro insieme infinito più basilare: i già menzionati numeri naturali. Un insieme che ha le stesse dimensioni dei numeri naturali – che può essere messo in una corrispondenza uno a uno con i numeri naturali – è chiamato un insieme numericamente infinito.
Un numero sorprendente di insiemi infiniti è effettivamente numerabile. A prima vista, l’insieme dei numeri interi, composto dai numeri naturali, le loro controparti negative e lo zero, sembra essere più grande dei numeri naturali. Dopo tutto, per ognuno dei nostri numeri naturali, come 2 o 10, abbiamo appena aggiunto un numero negativo, -2 o -10. Ma i numeri interi sono numerabili – possiamo trovare un modo per assegnare esattamente un numero intero ad ogni numero naturale, rimbalzando avanti e indietro tra numeri positivi e negativi:
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Se continuiamo lo schema suggerito sopra, finiamo per assegnare esattamente un intero ad ogni numero naturale, con ogni intero assegnato ad un numero naturale, dandoci il tipo di accoppiamento uno a uno che significa che i due insiemi sono della stessa dimensione.
Questo è un po’ strano, poiché i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi – ogni numero naturale è anche un intero. Ma anche se i numeri naturali sono completamente contenuti nei numeri interi, i due insiemi hanno effettivamente la stessa dimensione.
I numeri razionali sono quei numeri che possono essere scritti come una frazione, o rapporto, di due numeri interi: 1/2, -5/4, 3 (che può essere scritto come 3/1), e simili. Questo è un altro insieme infinito che sembra essere più grande dei numeri naturali – tra due numeri naturali qualsiasi, abbiamo infinite frazioni.
Ma come con i numeri interi, possiamo ancora fare un abbinamento uno a uno, assegnando esattamente un numero naturale a ogni numero razionale. Inizia facendo una griglia dei razionali: ogni riga ha un particolare numero naturale nella parte inferiore della frazione – i denominatori della prima riga sono tutti 1, e la seconda riga tutti 2. Ogni colonna ha un numero particolare nella parte superiore della frazione – i numeratori della prima colonna sono tutti 1 e la seconda colonna tutti 2. Questa griglia copre tutti i numeri razionali positivi, poiché qualsiasi rapporto di due numeri interi positivi apparirà da qualche parte nella griglia:
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Abbiamo ottenuto la nostra corrispondenza tra i razionali e i naturali muovendoci a zig-zag attraverso la griglia e contando i numeri interi.zag attraverso la griglia e contando. Le frazioni come 2/2 e 4/6 che sono solo rappresentazioni alternative di numeri che abbiamo già visto (2/2 è uguale a 1/1, e 4/6 è uguale a 2/3) vengono saltate:
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Quindi, il primo numero razionale è 1/1, il secondo è 2/1, il terzo è 1/2, il quarto è 1/3, saltiamo il 2/2 perché questo si riduce a 1/1, il quinto è 3/1, e così via.
Continuando così, ad ogni numero razionale verrà assegnato un unico numero naturale, dimostrando che, come i numeri interi, anche i razionali sono un insieme considerevolmente infinito.
Anche se abbiamo aggiunto tutte queste frazioni e numeri negativi al nostro originale insieme di numeri naturali di base, siamo ancora al nostro primo, fondamentale, livello di infinito.
Insiemi considerevolmente infiniti
Ora consideriamo i numeri reali. I numeri reali sono l’insieme dei numeri che possono essere scritti con qualche tipo di espansione decimale. I numeri reali includono i numeri razionali – qualsiasi frazione di due numeri interi può essere divisa e trasformata in un decimale. 1/2 = 0,5 e 1/3 = 0,3333…, e quest’ultimo continua con i 3 all’infinito. I numeri reali includono anche i numeri irrazionali, o decimali che vanno avanti all’infinito senza stabilirsi in uno schema o in una fine ripetuta. π è irrazionale – la sua espansione decimale inizia con il familiare 3,14159… ma continua all’infinito, con le sue cifre che virano all’impazzata.
Siamo riusciti a trovare delle intelligenti corrispondenze con i numeri naturali per i numeri interi e i razionali, mostrando che sono tutti numericamente infiniti e della stessa dimensione. Dato questo, potremmo pensare che possiamo fare qualcosa di simile con i numeri reali.
Questo è, tuttavia, impossibile. I numeri reali sono un insieme infinito non numerabile – ci sono effettivamente molti più numeri reali che numeri naturali, e non c’è modo di allineare i reali e i naturali in modo da assegnare esattamente un numero reale ad ogni numero naturale.
Per vedere questo, usiamo una tecnica estremamente potente in matematica: la prova per contraddizione. Inizieremo ipotizzando che l’opposto della nostra affermazione sia vero – che i numeri reali sono numericamente infiniti, e quindi c’è un modo per allineare tutti i reali con i naturali in una corrispondenza uno a uno. Vedremo che non importa esattamente come sia questa corrispondenza, quindi diciamo che le prime coppie nella corrispondenza sono le seguenti:
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La nostra grande assunzione qui è che ogni numero reale appare da qualche parte in questa lista. Ora dimostreremo che questo è in realtà sbagliato facendo un nuovo numero che non appare nella lista.
Per ogni numero naturale n, guardiamo il numero reale corrispondente sulla lista, e prendiamo la cifra n posti a destra del punto decimale del numero reale. Quindi, prendiamo la prima cifra del primo numero, la seconda cifra del secondo numero, la terza cifra del terzo numero, e così via:
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Dal nostro primo numero reale otteniamo un 5, il nostro secondo numero un 3 e il nostro terzo numero un 1. Creiamo un nuovo numero prendendo ognuna di queste cifre e aggiungendovi 1 (girando su uno 0 se la mia cifra originale è 9), ottenendo il numero 0,64207…, continuando così per tutti gli altri numeri della nostra lista.
Questo nuovo numero “diagonale” è sicuramente un numero reale – ha un’espansione decimale. Ma è diverso da tutti i numeri della lista: la sua prima cifra è diversa dalla prima cifra del nostro primo numero, la sua seconda cifra è diversa dalla seconda cifra del nostro secondo numero, e così via.
Abbiamo creato un nuovo numero reale che non compare nella nostra lista. Questo contraddice la nostra assunzione principale che ogni numero reale appare da qualche parte nella corrispondenza.
Così…
Abbiamo detto prima che i dettagli della corrispondenza non hanno importanza. Questo perché, non importa quale allineamento proviamo tra i numeri reali e i numeri naturali, possiamo fare lo stesso trucco diagonale di cui sopra, facendo un numero che non compare nella corrispondenza.
Questo dimostra che i reali non sono numerabilmente infiniti. Non importa cosa proviamo, non c’è modo di fare una corrispondenza uno a uno tra i numeri naturali e i numeri reali. Questi due insiemi non hanno la stessa dimensione. Questo porta alla profonda e un po’ scomoda realizzazione che ci devono essere livelli multipli di infinito – i numeri naturali e i numeri reali sono entrambi insiemi infiniti, ma i reali formano un insieme che è enormemente più grande dei naturali – essi rappresentano qualche “livello superiore” di infinito.