Effetto Doppler relativistico

Effetto Doppler longitudinale relativisticoModifica

Lo spostamento Doppler relativistico per il caso longitudinale, con sorgente e ricevitore che si muovono direttamente uno verso o lontano dall’altro, è spesso derivato come se fosse il fenomeno classico, ma modificato dall’aggiunta di un termine di dilatazione temporale. Questo è l’approccio impiegato nei libri di testo di fisica o meccanica del primo anno, come quelli di Feynman o Morin.

Seguendo questo approccio per derivare l’effetto Doppler longitudinale relativistico, assumiamo che il ricevitore e la sorgente si allontanino l’uno dall’altra con una velocità relativa v {displaystyle v\\,}

misurata da un osservatore sul ricevitore o sulla sorgente (la convenzione di segno adottata qui è che v {displaystyle v\\,}

è negativa se il ricevitore e la sorgente si stanno muovendo l’uno verso l’altro).

Considera il problema nel quadro di riferimento della sorgente.

Supponiamo che un fronte d’onda arrivi al ricevitore. Il prossimo fronte d’onda si trova quindi ad una distanza λ s = c / f s {displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s},}

lontano dal ricevitore (dove λ s {displaystyle \lambda _{s},}

è la lunghezza d’onda, f s {displaystyle f_{s}\\,}

è la frequenza delle onde che la sorgente emette, e c {displaystyle c\\,}

è la velocità della luce).

Il fronte d’onda si muove con velocità c {displaystyle c\,}

, ma allo stesso tempo il ricevitore si allontana con velocità v {displaystyle v}

durante un tempo t s = 1 / f s = λ s / c {displaystyle t_{s}=1/f_{s}=\lambda _{s}/c}

, quindi

λ s + v t r , s = c t r , s ⟺ λ s = c t r , s ( 1 – v / c ) ⟺ t r , s = 1 f s ( 1 – β ) , {displaystyle \lambda _{s}+vt_{r,s}=ct_{r,s} \Longleftrightarrow \lambda _{s}=ct_{r,s}(1-v/c)\Longleftrightarrow t_{r,s}={frac {1}{f_{s}(1-\beta )}},

dove β = v / c {\displaystyle \beta =v/c\,}

è la velocità del ricevitore in termini di velocità della luce, e dove t r , s {\displaystyle t_{r,s}}

è il periodo delle onde luminose che impattano sul ricevitore, come osservato nel quadro della sorgente. La corrispondente frequenza f r , s {\displaystyle f_{r,s}}

è: f r , s = 1 / t r , s = f s ( 1 – β ) . {\displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).}

Finora, le equazioni sono state identiche a quelle dell’effetto Doppler classico con una sorgente stazionaria e un ricevitore mobile.

Tuttavia, a causa di effetti relativistici, gli orologi del ricevitore sono dilatati rispetto agli orologi della sorgente: t r = t r , s / γ {\displaystyle t_{r}=t_{r,s}/\gamma }

, dove γ = 1 / 1 – β 2 {\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

è il fattore di Lorentz. Per sapere quale tempo è dilatato, ricordiamo che t r , s {\displaystyle t_{r,s}}

è il tempo nel frame in cui la sorgente è a riposo. Il ricevitore misurerà la frequenza ricevuta come Eq. 1: f r = f r , s γ {\displaystyle f_{r}=f_{r,s}\gamma }

= 1 – β 1 – β 2 f s {displaystyle ={frac {1-\beta }{sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}

= 1 – β 1 + β f s . {displaystyle ={sqrt {frac {1-\beta }{1+\beta }},f_{s}.

Il rapporto

f s f r = 1 + β 1 – β {displaystyle {frac {f_{s}}{f_{r}}={sqrt {frac {1+\beta }{1-\beta }}}}

è chiamato il fattore Doppler della sorgente rispetto al ricevitore. (Questa terminologia è particolarmente prevalente nel campo dell’astrofisica: vedi il beaming relativistico.)

Le lunghezze d’onda corrispondenti sono correlate da

Eq. 2: λ r λ s = f s f r = 1 + β 1 – β , {\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{lambda _{s}}={frac {f_{s}{f_r}}}={sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }},

Espressioni identiche per lo spostamento Doppler relativistico si ottengono quando si esegue l’analisi nel quadro di riferimento del ricevitore con una sorgente in movimento. Questo corrisponde alle aspettative del principio di relatività, che impone che il risultato non può dipendere da quale oggetto è considerato come quello a riposo. Al contrario, il classico effetto Doppler non relativistico dipende dal fatto che sia la sorgente o il ricevitore ad essere fermo rispetto al mezzo.

Effetto Doppler TrasversaleModifica

Supponiamo che una sorgente e un ricevitore si avvicinino entrambi di moto inerziale uniforme lungo percorsi che non collidono. L’effetto Doppler trasversale (TDE) può riferirsi a (a) il blueshift nominale previsto dalla relatività speciale che si verifica quando l’emettitore e il ricevitore sono nei loro punti di massimo avvicinamento; o (b) il redshift nominale previsto dalla relatività speciale quando il ricevitore vede l’emettitore come se fosse al suo massimo avvicinamento. L’effetto Doppler trasversale è una delle principali nuove previsioni della teoria speciale della relatività.

Se un rapporto scientifico descrive il TDE come un redshift o un blueshift dipende dai particolari della disposizione sperimentale che viene correlata. Per esempio, la descrizione originale di Einstein della TDE nel 1907 descriveva uno sperimentatore che guardava il centro (il punto più vicino) di un fascio di “raggi di canale” (un fascio di ioni positivi che viene creato da certi tipi di tubi a scarica di gas). Secondo la relatività speciale, la frequenza emessa dagli ioni in movimento sarebbe ridotta del fattore Lorentz, così che la frequenza ricevuta sarebbe ridotta (redshifted) dello stesso fattore.

D’altra parte, Kündig (1963) ha descritto un esperimento in cui un assorbitore Mössbauer veniva fatto girare in un rapido percorso circolare intorno a un emettitore Mössbauer centrale. Come spiegato di seguito, questa disposizione sperimentale ha portato Kündig a misurare un blueshift.

Sorgente e ricevitore sono nei loro punti di approccio più viciniModifica

Figura 2. Sorgente e ricevitore sono nei loro punti di massima vicinanza. (a) Analisi nel quadro del ricevitore. (b) Analisi nel frame della sorgente.

In questo scenario, il punto di approccio più vicino è indipendente dal frame e rappresenta il momento in cui non c’è cambiamento nella distanza rispetto al tempo. La figura 2 dimostra che la facilità di analisi di questo scenario dipende dal frame in cui viene analizzato.

• Fig. 2a. Se analizziamo lo scenario nel quadro del ricevitore, troviamo che l’analisi è più complicata di quanto dovrebbe essere. La posizione apparente di un oggetto celeste è spostata dalla sua vera posizione (o posizione geometrica) a causa del movimento dell’oggetto durante il tempo che impiega la sua luce a raggiungere un osservatore. La sorgente sarebbe dilatata nel tempo rispetto al ricevitore, ma il redshift implicato da questa dilatazione temporale sarebbe compensato da un blueshift dovuto alla componente longitudinale del moto relativo tra il ricevitore e la posizione apparente della sorgente.
• Fig. 2b. È molto più facile se, invece, analizziamo lo scenario dal telaio della sorgente. Un osservatore situato alla sorgente sa, dall’enunciato del problema, che il ricevitore si trova nel punto più vicino a lui. Ciò significa che il ricevitore non ha alcuna componente longitudinale del moto a complicare l’analisi. (cioè dr/dt = 0 dove r è la distanza tra il ricevitore e la sorgente) Poiché gli orologi del ricevitore sono dilatati nel tempo rispetto alla sorgente, la luce che il ricevitore riceve è spostata in blu di un fattore gamma. In altre parole,

Eq. 3: f r = γ f s {\displaystyle f_{r}=\gamma f_{s}}

Il ricevitore vede la sorgente come il suo punto più vicinoModifica

Figura 3. Spostamento Doppler trasversale per lo scenario in cui il ricevitore vede la sorgente come se fosse nel suo punto più vicino.

Questo scenario è equivalente al ricevitore che guarda ad angolo retto diretto rispetto al percorso della sorgente. L’analisi di questo scenario è meglio condotta dal punto di vista del ricevitore. La figura 3 mostra che il ricevitore è illuminato dalla luce di quando la sorgente era più vicina al ricevitore, anche se la sorgente si è spostata. Poiché l’orologio della sorgente è dilatato nel tempo misurato nel frame del ricevitore, e poiché non c’è una componente longitudinale del suo movimento, la luce della sorgente, emessa da questo punto più vicino, è spostata di frequenza

Eq. 4: f r = f s γ {displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}

In letteratura, la maggior parte dei rapporti sullo spostamento Doppler trasversale analizzano l’effetto in termini di ricevitore puntato perpendicolarmente al percorso della sorgente, vedendo così la sorgente come se fosse nel suo punto più vicino e osservando un redshift.

Punto di spostamento a frequenza nullaModifica

Figura 4. Lo spostamento di frequenza nullo si verifica per un impulso che percorre la distanza più breve dalla sorgente al ricevitore.

Dato che, nel caso in cui la sorgente in movimento inerziale e il ricevitore sono geometricamente al loro avvicinamento reciproco, il ricevitore osserva un blueshift, mentre nel caso in cui il ricevitore vede la sorgente come nel suo punto più vicino, il ricevitore osserva un redshift, ovviamente deve esistere un punto in cui il blueshift cambia in un redshift. Nella Fig. 2, il segnale viaggia perpendicolarmente al percorso del ricevitore ed è sottoposto a blueshift. In Fig. 3, il segnale viaggia perpendicolarmente al percorso della sorgente ed è redshiftato.

Come si vede in Fig. 4, lo spostamento di frequenza nullo si verifica per un impulso che viaggia alla distanza più breve dalla sorgente al ricevitore. Se visto nel quadro in cui sorgente e ricevitore hanno la stessa velocità, questo impulso è emesso perpendicolarmente al percorso della sorgente e viene ricevuto perpendicolarmente al percorso del ricevitore. L’impulso è emesso leggermente prima del punto di avvicinamento più vicino, e viene ricevuto leggermente dopo.

Un oggetto in moto circolare intorno all’altroModifica

Figura 5. Effetto Doppler trasversale per due scenari: (a) ricevitore che si muove in un cerchio intorno alla sorgente; (b) sorgente che si muove in un cerchio intorno al ricevitore.

La figura 5 illustra due varianti di questo scenario. Entrambe le varianti possono essere analizzate usando semplici argomenti di dilatazione del tempo. La figura 5a è essenzialmente equivalente allo scenario descritto nella figura 2b, e il ricevitore osserva la luce dalla sorgente come spostata in blu di un fattore γ {displaystyle \gamma }

. La figura 5b è essenzialmente equivalente allo scenario descritto nella figura 3, e la luce è redshifted.

L’unica apparente complicazione è che gli oggetti orbitanti sono in moto accelerato. Una particella accelerata non ha un telaio inerziale in cui è sempre a riposo. Tuttavia, si può sempre trovare un quadro inerziale che è momentaneamente comoving con la particella. Questo quadro, il quadro di riferimento momentaneamente comoving (MCRF), permette di applicare la relatività speciale all’analisi delle particelle accelerate. Se un osservatore inerziale guarda un orologio in accelerazione, solo la velocità istantanea dell’orologio è importante quando si calcola la dilatazione del tempo.

Il contrario, tuttavia, non è vero. L’analisi degli scenari in cui entrambi gli oggetti sono in moto accelerato richiede un’analisi un po’ più sofisticata. La mancata comprensione di questo punto ha portato a confusione e malintesi.

Sorgente e ricevitore entrambi in moto circolare attorno a un centro comuneModifica

Figura 6. Sorgente e ricevitore sono posti alle estremità opposte di un rotore, equidistanti dal centro.

Supponiamo che sorgente e ricevitore si trovino alle estremità opposte di un rotore rotante, come illustrato in Fig. 6. Gli argomenti cinematici (relatività speciale) e gli argomenti basati sulla constatazione che non c’è differenza di potenziale tra sorgente e ricevitore nel campo pseudogravitazionale del rotore (relatività generale) portano entrambi alla conclusione che non ci dovrebbe essere alcuno spostamento Doppler tra sorgente e ricevitore.

Nel 1961, Champeney e Moon condussero un esperimento sul rotore Mössbauer testando esattamente questo scenario, e trovarono che il processo di assorbimento Mössbauer non era influenzato dalla rotazione. Conclusero che i loro risultati supportavano la relatività speciale.

Questa conclusione generò alcune controversie. Un certo critico persistente della relatività sosteneva che, sebbene l’esperimento fosse coerente con la relatività generale, esso confutava la relatività speciale, dato che l’emettitore e l’assorbitore erano in moto relativo uniforme, la relatività speciale richiedeva che si osservasse uno spostamento Doppler. L’errore nell’argomentazione di questo critico era, come dimostrato nella sezione Punto di spostamento di frequenza nullo, che semplicemente non è vero che uno spostamento Doppler deve sempre essere osservato tra due frame in moto relativo uniforme. Inoltre, come dimostrato nella sezione Sorgente e ricevitore sono nei loro punti di massima vicinanza, la difficoltà di analizzare uno scenario relativistico dipende spesso dalla scelta del quadro di riferimento. Tentare di analizzare lo scenario nel quadro del ricevitore comporta molta tediosa algebra. È molto più facile, quasi banale, stabilire la mancanza di spostamento Doppler tra emettitore e assorbitore nel quadro del laboratorio.

In realtà, però, l’esperimento di Champeney e Moon non diceva nulla né a favore né contro la relatività speciale. A causa della simmetria della configurazione, si scopre che praticamente qualsiasi teoria concepibile dello spostamento Doppler tra fotogrammi in moto inerziale uniforme deve dare un risultato nullo in questo esperimento.

Piuttosto che essere equidistanti dal centro, supponiamo che l’emettitore e l’assorbitore siano a distanze diverse dal centro del rotore. Per un emettitore di raggio R ′ {displaystyle R’}

e l’assorbitore a raggio R {\displaystyle R}

in qualsiasi punto del rotore, il rapporto tra la frequenza dell’emettitore, ν ′ , {displaystyle \nu ‘,}

è data dall’Eq. 5: ν ′ ν = ( 1 – R 2 ω 2 1 – R ′ 2 ω 2 ) 1 / 2 {\displaystyle {\frac {\nu ‘}{\nu}==sinistra({\frac {1-R^{2}\omega ^{2}}{1-R’^{2}\omega ^{2}}}destra)^{1/2}

dove ω {displaystyle \omega }

è la velocità angolare del rotore. La sorgente e l’emettitore non devono essere distanti 180°, ma possono essere a qualsiasi angolo rispetto al centro.

Movimento in una direzione arbitrariaModifica

Figura 7. Lo spostamento Doppler con la sorgente che si muove ad un angolo arbitrario rispetto alla linea tra la sorgente e il ricevitore.

L’analisi utilizzata nella sezione Effetto Doppler longitudinale relativistico può essere estesa in modo diretto per calcolare lo spostamento Doppler per il caso in cui i movimenti inerziali della sorgente e del ricevitore sono ad un angolo specificato.La Fig. 7 presenta lo scenario dal telaio del ricevitore, con la sorgente che si muove a velocità v

ad un angolo θ r {\displaystyle \theta _{r}}

misurato nel frame del ricevitore. La componente radiale del moto della sorgente lungo la linea di vista è uguale a v cos θ r . {displaystyle v\cos {\theta _{r}}.}

L’equazione che segue può essere interpretata come il classico spostamento Doppler per una sorgente stazionaria e mobile modificato dal fattore Lorentz γ: {displaystyle \gamma :}

Eq. 6: f r = f s γ ( 1 + β cos θ r ) . {\displaystyle f_{r}={frac {f_{s}}{gamma \sinistra(1+beta \cos \theta _{r}\destra)}.

Nel caso in cui θ r = 90 ∘ {displaystyle \theta _{r}=90^{\circ}

, si ottiene l’effetto Doppler trasversale: f r = f s γ .

Eq. 7: f r = γ ( 1 – β cos θ s ) f s . {displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}right)f_{s}.}

Le differenze derivano dal fatto che Einstein valutò l’angolo θ s {displaystyle \theta _{s}}

rispetto al sistema di riposo della sorgente piuttosto che al sistema di riposo del ricevitore. θ s {displaystyle \theta _{s}}

non è uguale a θ r {displaystyle \theta _{r}

a causa dell’effetto dell’aberrazione relativistica. L’equazione dell’aberrazione relativistica è: Eq. 8: cos θ r = cos θ s – β 1 – β cos θ s {displaystyle \cos \theta _{r}={\frac {cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}},

Sostituendo l’equazione di aberrazione relativistica 8 nell’equazione 6 si ottiene l’equazione 7, dimostrando la coerenza di queste equazioni alternative per lo spostamento Doppler.

Settando θ r = 0 {displaystyle \theta _{r}=0}

nell’equazione 6 o θ s = 0 {displaystyle \theta _{s}=0}

nell’equazione 7 produce l’equazione 1, l’espressione per lo spostamento Doppler longitudinale relativistico.

Un approccio a quattro vettori per derivare questi risultati può essere trovato in Landau e Lifshitz (2005).