Supongamos que tenemos una función $f(x)$, y queremos encontrar con la mayor precisión posible el punto en el que cruza el eje $x$; en otras palabras, queremos resolver $f(x)=0$. Supongamos que no conocemos la forma de encontrar una solución exacta mediante ningún procedimiento algebraico, pero podemos utilizar una aproximación, siempre que pueda acercarse bastante al valor real. Es lo que se llama un «procedimiento iterativo», lo que significa que puede repetirse una y otra vez para obtener una respuesta cada vez más precisa. Los procedimientos iterativos como el método de Newton se adaptan bien a la programación para un ordenador. El método de Newton utiliza el hecho de que la línea tangente a una curva es una buena aproximación a la curva cerca del punto de tangencia.
Ejemplo 6.3.1 Aproximación de $\ds \sqrt{3}$. Como $\ds \sqrt{3}$ es una solución de$\ds x^2=3$ o $\ds x^2-3=0$, utilizamos $\ds f(x)=x^2-3$. Empezamos adivinando algo razonablemente cercano al valor real; esto suele ser fácil; utilicemos $\ds \sqrt3\approx2$. Ahora utilicemos la recta tangente a la curva cuando $x=2$ como aproximación a la curva, como se muestra en la figura 6.3.1. Como $f'(x)=2x$, la pendiente de la recta tangente es 4 y su ecuación es $y=4x-7$. La recta tangente está bastante cerca de $f(x)$, por lo que cruza el eje $x$ cerca del punto por el que cruza $f(x)$, es decir, cerca de $\ds \sqrt3$. Es fácil encontrar el punto en el que la recta tangente cruza el eje $x$: resuelve $0=4x-7$ para obtener $x=7/4=1,75$. Esta es sin duda una aproximación mejor que la de 2, pero digamos que no se acerca lo suficiente. Podemos mejorarla haciendo lo mismo de nuevo: encontrar la recta tangente a $x=1,75$, encontrar dónde esta nueva recta tangente cruza el eje $x$, y usar ese valor como mejor aproximación. Podemos continuar así indefinidamente, aunque se vuelve un poco complicado. Veamos si podemos acortar el proceso. Supongamos que la mejor aproximación al intercepto que tenemos hasta ahora es $\ds x_i$. Para encontrar una mejor aproximación haremos siempre lo mismo: encontrar la pendiente de la recta tangente en $\ds x_i$, encontrar la ecuación de la recta tangente, encontrar la intercepción $x$. La pendiente es $\ds 2x_i$. La recta tangente es $\ds y=(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$, utilizando la fórmula punto-pendiente de una recta. Por último, el intercepto se encuentra resolviendo $\ds 0 =(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$. Con un poco de álgebra esto se convierte en $\ds x=(x_i^2+3)/(2x_i)$; ésta es la siguiente aproximación, que naturalmente llamamos $\ds x_{i+1}$. En lugar de hacer todo el cálculo de la línea tangente cada vez, podemos utilizar simplemente esta fórmula para obtener tantas aproximaciones como queramos. Empezando por $\ds x_0=2$, obtenemos$\ds x_1=(x_0^2+3)/(2x_0)=(2^2+3)/4=7/4$ (la misma aproximación que obtuvimos anteriormente, por supuesto), $\ds x_2=(x_1^2+3)/(2x_1)=((7/4)^2+3)/(7/2)=97/56\aprox 1.73214$, $\ds x_3\\\Naproximadamente 1.73205$, y pronto. Esto sigue siendo un poco tedioso a mano, pero con una calculadora o, mejor aún, un buen programa de ordenador, es bastante fácil obtener muchas, muchas aproximaciones. Podríamos suponer ya que 1,73205$ es exacto hasta dos decimales, y de hecho resulta que es exacto hasta 5 decimales.
Aquí puedes cambiar la función, por ejemplo a Math.sin(x) o Math.exp(x) o Math.pow(2,x) o 1-2/(x*x).
$x_{final}=$
Pensemos en este proceso en términos más generales. Queremos aproximar una solución a $f(x)=0$.Comenzamos con una conjetura aproximada, que llamamos $\ds x_0$. Usamos la recta tangente a $f(x)$ para obtener una nueva aproximación que esperamos que se acerque al valor verdadero. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente cuando $\ds x=x_0$? La pendiente es $\ds f'(x_0)$ y la recta pasa por$\ds(x_0,f(x_0))$, por lo que la ecuación de la recta es$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$Ahora encontramos dónde cruza el eje $x$ sustituyendo $y=0$ y resolviendo para $x$:$x={x_0f'(x_0)-f(x_0)+f'(x_0)} = x_0 – {f(x_0)+f'(x_0)}.$Típicamente querremos calcular más de una de estas aproximaciones mejoradas, así que las numeramos consecutivamente; a partir de $\ds x_0$ hemos calculado $\ds x_1$:$x_1={x_0f'(x_0)-f(x_0)sobre f'(x_0)} = x_0 – {f(x_0)sobre f'(x_0)},$y en general a partir de $\ds x_i$ calculamos $\ds x_{i+1}$:$x_{i+1}={x_if'(x_i)-f(x_i)sobre f'(x_i)} = x_i – {f(x_i)sobre f'(x_i)}.$
Ejemplo 6.3.2 Volviendo al ejemplo anterior, $\ds f(x)=x^2-3$, $f'(x)=2x$, y la fórmula se convierte en $\ds x_{i+1}=x_i – (x_i^2-3)/(2x_i)=(x_i^2+3)/(2x_i)$, como antes.
En la práctica, es decir, si necesitas aproximar un valor en el curso del diseño de un puente, un edificio o un fuselaje, necesitarás tener cierta confianza en que la aproximación que decidas sea lo suficientemente precisa. Como regla general, una vez que un cierto número de decimales deja de cambiar de una aproximación a la siguiente, es probable que esos decimales sean correctos. Aun así, esto puede no ser suficiente garantía, en cuyo caso podemos comprobar la exactitud del resultado.
Ejemplo 6.3.3 Encontrar la coordenada $x$ de la intersección de las curvas $y=2x$y $y=\tan x$, con una precisión de tres decimales. Para poner esto en el contexto del método de Newton, observamos que queremos saber dónde $2x=\tanx$ o $f(x)=\tan x-2x=0$. Calculamos $\ds f'(x)=\sec^2 x – 2$ y establecemos la fórmula:$x_{i+1} = x_i-{tan x_i -2x_i\sobre \sec^2 x_i – 2}.$ A partir de la gráfica de la figura 6.32 suponemos que $\ds x_0=1$ como punto de partida, luego usando la fórmula calculamos $\ds x_1=1,310478030$, $\ds x_2=1,223929096$, $\ds x_3=1,176050900$, $\ds x_4=1,165926508$, $\ds x_5=1,165561636$. Así que suponemos que los tres primeros lugares son correctos, pero eso no es lo mismo que decir que $1.165$ es correcto con tres decimales-$1.166$ podría ser la aproximación correcta y redondeada. ¿Cómo podemos saberlo? Podemos sustituir $1,165$, $1,1655$ y $1,166$ en $\tan x – 2x$; esto da $-0,002483652$, $-0,000271247$, $0,001948654$. Como los dos primeros son negativos y el tercero es positivo, $\tan x – 2x$ cruza el eje$x$ entre $1,1655$ y $1,166$, por lo que el valor correcto a tres espacios es $1,166$.
Ejercicios 6.3
Puede utilizar esta hoja de trabajo deSage.
Ex 6.3.1Aproxima la quinta raíz de 7, utilizando $\ds x_0=1.5$ como primera conjetura. Utiliza el método de Newton para encontrar $\ds x_3$ como turaproximación. (respuesta)
Ex 6.3.2Utiliza el método de Newton para aproximar la raíz cúbica de 10 a dos decimales.(respuesta)
Ex 6.3.3La función $\ds f(x)=x^3-3x^2-3x+6$ tiene una raíz entre 3 y 4, porque$f(3)=-3$ y $f(4)=10$. Aproxima la raíz con dos decimales.(respuesta)
Ex 6.3.4Con un trozo de cartón rectangular de dimensiones $8\nmás 17$ se hace una caja de tapa abierta cortando un pequeño cuadrado de lado$x$ de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si $x=2$, el volumen de la caja es $2\cdot 4\cdot 13=104$. Utiliza el método de Newton para encontrar un valor de $x$ para el que la caja tenga un volumen100, con una precisión de 3 cifras significativas. (respuesta)