El infinito es un concepto poderoso. Filósofos, artistas, teólogos, científicos y personas de todos los ámbitos han luchado con las ideas de lo infinito y lo eterno a lo largo de la historia.
El infinito es también un concepto extremadamente importante en las matemáticas. El infinito aparece casi inmediatamente al tratar con conjuntos infinitamente grandes -colecciones de números que se prolongan eternamente, como los números naturales, o los números para contar: 1, 2, 3, 4, 5, y así sucesivamente.
Sin embargo, los conjuntos infinitos no son todos iguales. En realidad hay muchos tamaños o niveles diferentes de infinito; algunos conjuntos infinitos son enormemente más grandes que otros conjuntos infinitos.
La teoría de los conjuntos infinitos fue desarrollada a finales del siglo XIX por el brillante matemático Georg Cantor. Muchas de las ideas y teoremas de Cantor son la base de las matemáticas modernas. Una de las innovaciones más interesantes de Cantor fue una forma de comparar los tamaños de los conjuntos infinitos, y utilizar esta idea para demostrar que hay muchos infinitos.
Para ver cómo funciona la teoría de Cantor, empezamos diciendo que dos conjuntos tienen el mismo tamaño si podemos hacer una correspondencia uno a uno, o emparejamiento, de los elementos de los dos conjuntos. Podemos empezar por algo pequeño: los conjuntos {a, b, c} y {1, 2, 3} tienen el mismo tamaño, ya que puedo emparejar sus elementos:
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Esto es un poco exagerado para comparar dos pequeños conjuntos finitos como estos – es obvio que ambos tienen tres elementos, y por lo tanto son del mismo tamaño. Sin embargo, cuando se trata de conjuntos infinitos, no podemos limitarnos a mirar los conjuntos y contar el número de elementos, ya que los conjuntos son eternos. Por lo tanto, esta definición más formal será muy útil.
Conjuntos infinitos contables
Nuestro nivel de referencia de infinito vendrá de nuestro conjunto infinito más básico: los números naturales mencionados anteriormente. Un conjunto que tiene el mismo tamaño que los números naturales -que puede ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales- se llama conjunto contablemente infinito.
Un número sorprendente de conjuntos infinitos son realmente contables. A primera vista, el conjunto de los números enteros, formado por los números naturales, sus homólogos negativos y el cero, parece que debería ser mayor que los naturales. Al fin y al cabo, para cada uno de nuestros números naturales, como el 2 o el 10, acabamos de añadir un número negativo, -2 o -10. Pero los enteros son contables: podemos encontrar una forma de asignar exactamente un entero a cada número natural rebotando entre números positivos y negativos:
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Si continuamos con el patrón sugerido anteriormente, terminamos asignando exactamente un entero a cada número natural, con cada entero asignado a un número natural, dándonos el tipo de emparejamiento uno a uno que significa que los dos conjuntos son del mismo tamaño.
Esto es un poco raro, ya que los números naturales son un subconjunto de los enteros – cada número natural es también un entero. Pero aunque los números naturales están totalmente contenidos en los enteros, los dos conjuntos tienen realmente el mismo tamaño.
Los números racionales son aquellos números que se pueden escribir como una fracción, o cociente, de dos enteros: 1/2, -5/4, 3 (que se puede escribir como 3/1), y similares. Este es otro conjunto infinito que parece que debería ser más grande que los números naturales – entre dos números naturales cualesquiera, tenemos infinitas fracciones.
Pero al igual que con los enteros, todavía podemos hacer un emparejamiento uno a uno, asignando exactamente un número natural a cada número racional. Empieza haciendo una cuadrícula de los racionales: cada fila tiene un número natural particular en la parte inferior de la fracción – los denominadores de la primera fila son todos 1’s, y la segunda fila todos 2’s. Cada columna tiene un número particular en la parte superior de la fracción – los numeradores de la primera columna son todos 1’s, y la segunda columna todos 2’s. Esta cuadrícula cubre todos los números racionales positivos, ya que cualquier cociente de dos enteros positivos aparecerá en algún lugar de la cuadrícula:
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Obtenemos nuestra correspondencia entre los racionales y los naturales moviéndonos en un patrón de zig-zag por la cuadrícula y contando. Las fracciones como 2/2 y 4/6 que no son más que representaciones alternativas de números que ya hemos visto (2/2 es lo mismo que 1/1, y 4/6 es lo mismo que 2/3) se saltan:
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Entonces, el primer número racional es 1/1, el segundo es 2/1, el tercero es 1/2, el cuarto es 1/3, nos saltamos el 2/2 ya que este solo se reduce a 1/1, el quinto es 3/1, y así sucesivamente.
Continuando así, a cada número racional se le asignará un único número natural, mostrando que, al igual que los enteros, los racionales son también un conjunto contablemente infinito.
Aunque hayamos añadido todas estas fracciones y números negativos a nuestro conjunto básico original de números naturales, seguimos estando en nuestro primer nivel de infinito, el básico.
Conjuntos incontablemente infinitos
Ahora consideramos los números reales. Los números reales son la colección de números que se pueden escribir con algún tipo de expansión decimal. Los números reales incluyen los números racionales – cualquier fracción de dos enteros puede ser dividida y convertida en un decimal. 1/2 = 0,5 y 1/3 = 0,3333…, y este último continúa con 3 para siempre. Los números reales también incluyen números irracionales, o decimales que continúan para siempre sin establecerse en un patrón o final repetido. π es irracional – su expansión decimal comienza con el familiar 3,14159… pero continúa para siempre, sus dígitos virando salvajemente.
Pudimos llegar a ingeniosas correspondencias con los números naturales para los enteros y los racionales, mostrando que todos son contablemente infinitos y del mismo tamaño. Dado esto, podríamos pensar que podemos hacer algo similar con los números reales.
Sin embargo, esto es imposible. Los números reales son un conjunto incontablemente infinito -en realidad hay muchos más números reales que naturales, y no hay manera de alinear los reales y los naturales de manera que estemos asignando exactamente un número real a cada número natural.
Para ver esto, utilizamos una técnica extremadamente poderosa en matemáticas: la prueba por contradicción. Empezaremos planteando la hipótesis de que lo contrario de nuestra afirmación es cierto: que los números reales son contablemente infinitos, y por tanto hay una forma de alinear todos los reales con los naturales en una correspondencia uno a uno. Veremos que no importa exactamente el aspecto de esta correspondencia, así que digamos que los primeros pares de la correspondencia son los siguientes:
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Nuestra gran suposición aquí es que todos y cada uno de los números reales aparecen en algún lugar de esta lista. Ahora vamos a demostrar que esto es de hecho incorrecto haciendo un nuevo número que no aparece en la lista.
Para cada número natural n, miramos el número real correspondiente en la lista, y tomamos el dígito n lugares a la derecha del punto decimal del número real. Así, se toma el primer dígito del primer número, el segundo dígito del segundo número, el tercer dígito del tercer número, y así sucesivamente:
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De nuestro primer número real obtenemos un 5, nuestro segundo número un 3, y nuestro tercer número un 1. Hacemos un nuevo número tomando cada uno de estos dígitos, y sumándoles 1 (dándole la vuelta a un 0 si mi dígito original es el 9), lo que nos da el número 0,64207…, continuando para todos los demás números de nuestra lista.
Este nuevo número «diagonal» es definitivamente un número real – tiene una expansión decimal. Pero es diferente de todos los números de la lista: su primera cifra es diferente de la primera cifra de nuestro primer número, su segunda cifra es diferente de la segunda cifra de nuestro segundo número, y así sucesivamente.
Hemos hecho un nuevo número real que no aparece en nuestra lista. Esto contradice nuestra suposición principal de que cada número real aparece en alguna parte de la correspondencia.
Entonces…
Hemos mencionado antes que los detalles de la correspondencia no importaban. Esto se debe a que, no importa la alineación que intentemos entre los números reales y los naturales, podemos hacer el mismo truco de la diagonal anterior, haciendo un número que no aparece en la correspondencia.
Esto demuestra que los reales no son contablemente infinitos. No importa lo que intentemos, no hay manera de hacer un emparejamiento uno a uno de los números naturales y los números reales. Estos dos conjuntos no tienen el mismo tamaño. Esto nos lleva a la profunda y algo incómoda comprensión de que debe haber múltiples niveles de infinito – los números naturales y los números reales son ambos conjuntos infinitos, pero los reales forman un conjunto que es enormemente mayor que los naturales – representan algún «nivel superior» de infinito.