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Sección 4-13 : Método de Newton
La siguiente aplicación que veremos en este capítulo es una aplicación importante que se utiliza en muchos ámbitos. Si has estado siguiendo el capítulo hasta este punto es muy posible que hayas tenido la impresión de que muchas de las aplicaciones que hemos visto son inventadas por nosotros para hacerte trabajar. Esto es desafortunado porque todas las aplicaciones que hemos visto hasta este punto son aplicaciones reales que realmente se utilizan en situaciones reales. El problema suele ser que para trabajar con ejemplos más significativos de las aplicaciones necesitaríamos más conocimientos de los que generalmente tenemos sobre la ciencia y/o la física que hay detrás del problema. Sin ese conocimiento estamos atascados haciendo algunos ejemplos bastante simplistas que a menudo no parecen muy realistas en absoluto y eso hace que sea difícil entender que la aplicación que estamos viendo es una aplicación real.
Eso va a cambiar en esta sección. Esta es una aplicación que todos podemos entender y que todos podemos entender que hay que hacer en alguna ocasión aunque no entendamos la física/ciencia que hay detrás de una aplicación real.
En esta sección vamos a ver un método para aproximar soluciones a ecuaciones. Todos sabemos que hay que resolver ecuaciones en alguna ocasión y, de hecho, nosotros mismos hemos resuelto bastantes ecuaciones hasta este momento. En todos los ejemplos que hemos visto hasta ahora hemos sido capaces de encontrar las soluciones, pero no siempre es posible hacerlo con exactitud y/o hacer el trabajo a mano. Ahí es donde entra en juego esta aplicación. Así pues, veamos en qué consiste esta aplicación.
Supongamos que queremos aproximar la solución a \N(f\left( x \right) = 0\) y supongamos también que hemos encontrado de alguna manera una aproximación inicial a esta solución digamos, \N({x_0}\). Esta aproximación inicial probablemente no es tan buena, de hecho puede ser nada más que una suposición rápida que hicimos, y por lo que nos gustaría encontrar una mejor aproximación. Esto es bastante fácil de hacer. En primer lugar, vamos a obtener la recta tangente a f\left( x \right)\\Nen \Nx_0).
Ahora, echa un vistazo a la gráfica de abajo.
La línea azul (si estás leyendo esto en color de todos modos…) es la línea tangente en \({x_0}\). Podemos ver que esta línea cruzará el eje \(x\) mucho más cerca de la solución real de la ecuación que \({x_0}\). Vamos a llamar a este punto en el que la tangente a \({x_0}) cruza el eje \(x\) \ ({x_1}) y vamos a utilizar este punto como nuestra nueva aproximación a la solución.
Entonces, ¿cómo encontramos este punto? Bueno, sabemos que sus coordenadas, \(\left( {{x_1},0} \right)\Ny sabemos que está en la recta tangente, así que enchufa este punto en la recta tangente y resuelve para \({x_1}\Ncomo sigue,
Así, podemos encontrar la nueva aproximación siempre que la derivada no sea cero en la aproximación original.
Ahora repetimos todo el proceso para encontrar una aproximación aún mejor. Formamos la recta tangente a \N(f\a izquierda( x\a derecha)\a) en \a({x_1}) y utilizamos su raíz, que llamaremos \a({x_2}), como una nueva aproximación a la solución real. Si hacemos esto llegaremos a la siguiente fórmula.
Este punto también se muestra en la gráfica anterior y podemos ver en esta gráfica que si continuamos siguiendo este proceso obtendremos una secuencia de números que se van acercando mucho a la solución real. Este proceso se llama Método de Newton.
Aquí está el Método de Newton general
Método de Newton
Si \({x_n}\N) es una aproximación a la solución de\N(f\Nizquierda( x \NDerecha) = 0\N) y si \N(f’\Nizquierda( {{x_n}\NDerecha) \Nne 0\N) la siguiente aproximación viene dada por,
Antes de trabajar cualquier ejemplo debemos abordar dos cuestiones. En primer lugar, realmente tenemos que estar resolviendo \a(f\a izquierda( x \a derecha) = 0\a) para que se aplique el Método de Newton. Esto no es realmente un gran problema, pero tenemos que asegurarnos de que la ecuación está en esta forma antes de utilizar el método.
En segundo lugar, tenemos que conseguir de alguna manera una aproximación inicial a la solución (es decir, necesitamos \ ~ ~ (x_0) de alguna manera). Una de las formas más comunes de conseguir \({x_0}) es dibujar la gráfica de la función y utilizarla para obtener una estimación de la solución que luego utilizaremos como \({x_0}). Otro método común es si sabemos que hay una solución de una función en un intervalo, entonces podemos usar el punto medio del intervalo como \({x_0}\).
Trabajemos un ejemplo del Método de Newton.
En primer lugar, observa que no se nos ha dado una conjetura inicial. Sin embargo, se nos dio un intervalo en el que buscar. Usaremos esto para obtener nuestra conjetura inicial. Como se señaló anteriormente la regla general en estos casos es tomar la aproximación inicial para ser el punto medio del intervalo. Así, utilizaremos \({x_0} = 1\) como nuestra conjetura inicial.
A continuación, recordamos que debemos tener la función de la forma \(f\left( x \right) = 0\). Por lo tanto, primero reescribimos la ecuación como,
Ahora podemos escribir la fórmula general del método de Newton. Hacer esto suele simplificar un poco el trabajo, así que en general no es mala idea hacerlo.
Obtengamos ahora la primera aproximación.
En este punto debemos señalar que la frase «seis decimales» no significa que simplemente se obtenga \ {x_1} hasta seis decimales y luego se detenga. Por el contrario, significa que continuamos hasta que dos aproximaciones sucesivas coincidan con seis decimales.
Dada esa condición de parada, está claro que necesitamos ir al menos un paso más allá.
De acuerdo, estamos progresando. Tenemos la aproximación a 1 decimal. Vamos a hacer otra, dejando los detalles del cálculo para ti.
Lo tenemos a tres decimales. Necesitaremos otra.
Y ahora tenemos dos aproximaciones que coinciden con 9 decimales y así podemos parar. Supondremos que la solución es aproximadamente \({x_4} = 0,7390851332\).
En este último ejemplo hemos visto que no hemos tenido que hacer demasiados cálculos para que el Método de Newton nos dé una aproximación en el rango de precisión deseado. Esto no siempre será así. A veces se necesitarán muchas iteraciones a través del proceso para llegar a la precisión deseada y en ocasiones puede fallar por completo.
El siguiente ejemplo es un poco tonto pero deja claro el punto sobre el fallo del método.
Sí, es un ejemplo tonto. Está claro que la solución es \(x = 0\), pero deja claro un punto muy importante. Obtengamos la fórmula general del método de Newton.
En realidad, no necesitamos hacer ningún cálculo aquí. Estos cálculos se alejan cada vez más de la solución, \(x = 0\), con cada iteración. Aquí hay un par de cálculos para hacer el punto.
Así que, en este caso el método falla y falla espectacularmente.
Así que, tenemos que ser un poco cuidadosos con el método de Newton. Normalmente encontrará rápidamente una aproximación a una ecuación. Sin embargo, hay ocasiones en las que nos costará mucho trabajo o en las que no funcionará en absoluto.