Conversiones en Y e Y-Δ

En muchas aplicaciones de circuitos, nos encontramos con componentes conectados entre sí de una de las dos formas para formar una red de tres terminales: la configuración «Delta» o Δ (también conocida como «Pi» o π), y la configuración «Y» (también conocida como «T»).

Diagrama de red de tres terminales

Es posible calcular los valores adecuados de las resistencias necesarias para formar un tipo de red (Δ o Y) que se comporte de forma idéntica al otro tipo, analizado únicamente a partir de las conexiones de los terminales. Es decir, si tuviéramos dos redes de resistencias separadas, una Δ y otra Y, cada una con sus resistencias ocultas a la vista, con nada más que los tres terminales (A, B y C) expuestos para la prueba, las resistencias podrían ser dimensionadas para las dos redes de manera que no habría manera de determinar eléctricamente una red aparte de la otra. En otras palabras, las redes Δ e Y equivalentes se comportan de forma idéntica.

Ecuaciones de conversión de Δ e Y

Hay varias ecuaciones utilizadas para convertir una red en la otra:

Ecuaciones de conversión delta estrella

Las redesΔ e Y se ven con frecuencia en los sistemas de alimentación de CA trifásica (un tema que se trata en el volumen II de esta serie de libros), pero incluso entonces suelen ser redes equilibradas (todas las resistencias tienen el mismo valor) y la conversión de una a otra no tiene por qué implicar cálculos tan complejos. ¿Cuándo necesitaría el técnico medio utilizar estas ecuaciones?

Aplicación de la conversión de Δ e Y

Una aplicación primordial de la conversión de Δ-Y es en la solución de circuitos de puentes desequilibrados, como el siguiente:

aplicación de la conversión delta y estrella

La solución de este circuito con el análisis de la Corriente de Rama o de la Corriente de Malla es bastante complicada, y ni el Teorema de Millman ni el de Superposición sirven de ayuda ya que sólo hay una fuente de energía. Podríamos utilizar el Teorema de Thevenin o el de Norton, tratando a R3 como nuestra carga, pero ¿qué gracia tendría eso?

Si tratáramos las resistencias R1, R2 y R3 como si estuvieran conectadas en una configuración Δ (Rab, Rac y Rbc, respectivamente) y generáramos una red Y equivalente para sustituirlas, podríamos convertir este circuito puente en un circuito de combinación serie/paralelo (más sencillo):

selección de la red delta para convertir

Después de la conversión Δ-Y .

delta convertida a estrella

Si realizamos nuestros cálculos correctamente, las tensiones entre los puntos A, B y C serán las mismas en el circuito convertido que en el circuito original, y podemos transferir esos valores a la configuración original del puente.

cálculos del circuito convertido

figura de la combinación paralela en serie

Los resistores R4 y R5, por supuesto, siguen siendo los mismos, 18 Ω y 12 Ω, respectivamente. Analizando ahora el circuito como una combinación serie/paralelo, llegamos a las siguientes figuras:

tabla de combinación serie-paralelo

Debemos utilizar las cifras de caídas de tensión de la tabla anterior para determinar las tensiones entre los puntos A, B y C, viendo cómo se suman (o se restan, como es el caso de la tensión entre los puntos B y C):

figura de la combinación paralela en serie

ecuación de la caída de tensión

Ahora que conocemos estas tensiones, podemos trasladarlas a los mismos puntos A, B y C del circuito puente original:

figura de la combinación paralela en serie

Las caídas de tensión a través de R4 y R5, por supuesto, son exactamente las mismas que había en el circuito convertidor.

En este punto, podríamos tomar estos voltajes y determinar las corrientes de las resistencias mediante el uso repetido de la Ley de Ohm (I=E/R):

determinar las corrientes de las resistencias mediante la ley de ohmios

Simulación mediante SPICE

Una rápida simulación con SPICE nos servirá para verificar nuestro trabajo:

simulación rápida con spice

unbalanced bridge circuit v1 1 0 r1 1 2 12 r2 1 3 18 r3 2 3 6 r4 2 0 18 r5 3 0 12 .dc v1 10 10 1 .print dc v(1,2) v(1,3) v(2,3) v(2,0) v(3,0) .end v1 v(1,2) v(1,3) v(2,3) v(2) v(3) 1.000E+01 4.706E+00 5.294E+00 5.882E-01 5.294E+00 4.706E+00 

Las cifras de tensión, leídas de izquierda a derecha, representan caídas de tensión a través de las cinco resistencias respectivas, R1 a R5. Podría haber mostrado también las corrientes, pero como eso habría requerido la inserción de fuentes de voltaje «ficticias» en la lista de red SPICE, y como estamos interesados principalmente en validar las ecuaciones de conversión Δ-Y y no la Ley de Ohm, esto será suficiente.

REVISIÓN:

  • Las redes «Delta» (Δ) también se conocen como redes «Pi» (π).
  • Las redes «Y» también se conocen como redes «T».
  • Las redes Δ e Y se pueden convertir a sus equivalentes con las ecuaciones de resistencia adecuadas. Por «equivalente», quiero decir que las dos redes serán eléctricamente idénticas medidas desde los tres terminales (A, B y C).
  • Un circuito en puente puede simplificarse a un circuito en serie/paralelo convirtiendo la mitad del mismo de una red Δ a una red Y. Una vez resueltas las caídas de tensión entre los tres puntos de conexión originales (A, B y C), esas tensiones pueden transferirse de nuevo al circuito puente original, a través de esos mismos puntos equivalentes.
  • Hoja de trabajo relacionada:

    • Ficha de trabajo de los circuitos trifásicos en triángulo y en estrella

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