Efecto Doppler relativista | Home Healthcare

Efecto Doppler longitudinal relativistaEditar

El desplazamiento Doppler relativista para el caso longitudinal, con la fuente y el receptor moviéndose directamente uno hacia el otro o alejándose de él, se deriva a menudo como si fuera el fenómeno clásico, pero modificado por la adición de un término de dilatación del tiempo. Este es el enfoque empleado en los libros de texto de física o mecánica de primer año, como los de Feynman o Morin.

Siguiendo este enfoque hacia la derivación del efecto Doppler longitudinal relativista, supongamos que el receptor y la fuente se alejan el uno del otro con una velocidad relativa v {\displaystyle v\},

$v\,$

medido por un observador en el receptor o en la fuente. (La convención de signos adoptada aquí es que v {\displaystyle v\},

$v\\\a,$

es negativo si el receptor y la fuente se mueven el uno hacia el otro).

Considere el problema en el marco de referencia de la fuente.

Suponga que un frente de onda llega al receptor. El siguiente frente de onda está entonces a una distancia λ s = c / f s {\displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s},}

${displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s},}$

lejos del receptor (donde λ s {\displaystyle \lambda _{s}\},}

$\lambda _{s}\},$

es la longitud de onda, f s {{displaystyle f_{s}\ }

$f_s\,$

es la frecuencia de las ondas que emite la fuente, y c {\displaystyle c\,}

$c\\a,$

es la velocidad de la luz).

El frente de onda se mueve con una velocidad c {\displaystyle c\\},

$c\\N,$

, pero al mismo tiempo el receptor se aleja con velocidad v {\displaystyle v}

$v$

durante un tiempo t s = 1 / f s = λ s / c {\displaystyle t_{s}=1/f_{s}=lambda _{s}/c}

${{displaystyle t_{s}=1/f_{s}=\lambda _{s}/c}$

, por lo que

${displaystyle {lambda _{s}+vt_{r,s}=ct_{r,s}{Longleftrightarrow {lambda _{s}=ct_{r,s}(1-v/c)}{Longleftrightarrow t_{r,s}={frac {1}(1-\beta )},}$

donde β = v / c {\displaystyle \beta =v/c\,}

$\beta = v / c\,$

es la velocidad del receptor en términos de la velocidad de la luz, y donde t r , s {\displaystyle t_{r,s}}

${{displaystyle t_{r,s}} es el periodo de las ondas de luz que inciden en el receptor, observado en el marco de la fuente. La frecuencia correspondiente f r , s {\displaystyle f_{r,s}}$ ${displaystyle f_{r,s}} es: f r , s = 1 / t r , s = f s ( 1 - β ) . {\displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).}$ ${displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).}$

Hasta ahora, las ecuaciones han sido idénticas a las del efecto Doppler clásico con una fuente estacionaria y un receptor en movimiento.

Sin embargo, debido a los efectos relativistas, los relojes del receptor se dilatan en el tiempo con respecto a los relojes de la fuente: t r = t r , s / γ {\displaystyle t_{r}=t_{r,s}/\gamma }

${{displaystyle t_{r}=t_{r,s}/\gamma }$

, donde γ = 1 / 1 – β 2 {\textstyle \gamma =1/{sqrt {1-\beta ^{2}}}}

${textstyle \gamma =1/{sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

es el factor de Lorentz. Para saber qué tiempo se dilata, recordamos que t r , s {\displaystyle t_{r,s}}

${{displaystyle t_{r,s}} es el tiempo en el marco en el que la fuente está en reposo. El receptor medirá que la frecuencia recibida es la Ec. 1: f r = f r , s γ {\displaystyle f_{r}=f_{r,s}\gamma }$ ${{displaystyle f_{r}=f_{r,s}\gamma }$

= 1 – β 1 – β 2 f s {{displaystyle ={frac {1-\beta }{sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}}

$Estilo de visualización = {{frac {1-\beta }{sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}}$

= 1 – β 1 + β f s . {\displaystyle ={sqrt {{frac {1-\beta }{1+\beta}}, f_{s}}.

$Estilo de visualización = {{sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }},f_{s}.$

La relación

f s f r = 1 + β 1 – β {\displaystyle {\frac {f_{s}}{f_{r}}={sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}

${displaystyle {\frac {f_{s}}}={sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}$

se denomina factor Doppler de la fuente respecto al receptor. (Esta terminología es particularmente frecuente en el tema de la astrofísica: véase el haz relativista.)

Las longitudes de onda correspondientes están relacionadas por

la Ec. 2: λ r λ s = f s f r = 1 + β 1 – β , {\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{lambda _{s}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }},

${displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{lambda _{s}}={frac {f_{s}}={sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta}},$

Se obtienen expresiones idénticas para el desplazamiento Doppler relativista cuando se realiza el análisis en el marco de referencia del receptor con una fuente en movimiento. Esto coincide con las expectativas del principio de relatividad, que dicta que el resultado no puede depender de qué objeto se considere en reposo. Por el contrario, el clásico efecto Doppler no relativista depende de si es la fuente o el receptor el que está inmóvil respecto al medio.

Efecto Doppler transversalEditar

Supongamos que una fuente y un receptor se acercan el uno al otro en movimiento inercial uniforme a lo largo de trayectorias que no colisionan. El efecto Doppler transversal (TDE) puede referirse a (a) el desplazamiento azul nominal predicho por la relatividad especial que ocurre cuando el emisor y el receptor están en sus puntos de mayor aproximación; o (b) el desplazamiento rojo nominal predicho por la relatividad especial cuando el receptor ve al emisor como si estuviera en su mayor aproximación. El efecto Doppler transversal es una de las principales predicciones novedosas de la teoría especial de la relatividad.

Que un informe científico describa el TDE como un desplazamiento hacia el rojo o hacia el azul depende de las particularidades de la disposición experimental que se relacione. Por ejemplo, la descripción original de Einstein de la TDE en 1907 describía a un experimentador mirando al centro (punto más cercano) de un haz de «rayos de canal» (un haz de iones positivos que se crea con ciertos tipos de tubos de descarga de gas). Según la relatividad especial, la frecuencia emitida por los iones en movimiento se reduciría por el factor de Lorentz, de modo que la frecuencia recibida se reduciría (se desplazaría al rojo) por el mismo factor.

Por otra parte, Kündig (1963) describió un experimento en el que se hacía girar un absorbente Mössbauer en una trayectoria circular rápida alrededor de un emisor Mössbauer central. Como se explica a continuación, esta disposición experimental dio lugar a la medición de Kündig de un desplazamiento azul.

La fuente y el receptor están en sus puntos de mayor aproximaciónEditar

Figura 2. La fuente y el receptor se encuentran en sus puntos de mayor aproximación. (a) Análisis en el marco del receptor. (b) Análisis en el marco de la fuente.

En este escenario, el punto de mayor aproximación es independiente del marco y representa el momento en el que no hay cambios en la distancia frente al tiempo. La figura 2 demuestra que la facilidad para analizar este escenario depende del fotograma en el que se analice.

Fig. 2a. Si analizamos el escenario en el marco del receptor, encontramos que el análisis es más complicado de lo que debería ser. La posición aparente de un objeto celeste se desplaza de su posición verdadera (o posición geométrica) debido al movimiento del objeto durante el tiempo que tarda su luz en llegar a un observador. La fuente estaría dilatada en el tiempo en relación con el receptor, pero el desplazamiento al rojo implicado por esta dilatación en el tiempo estaría compensado por un desplazamiento al azul debido a la componente longitudinal del movimiento relativo entre el receptor y la posición aparente de la fuente.
Fig. 2b. Es mucho más fácil si, en cambio, analizamos el escenario desde el marco de la fuente. Un observador situado en la fuente sabe, por el enunciado del problema, que el receptor está en su punto más cercano a él. Esto significa que el receptor no tiene una componente longitudinal de movimiento que complique el análisis. (es decir, dr/dt = 0 donde r es la distancia entre el receptor y la fuente) Como los relojes del receptor están dilatados en el tiempo con respecto a la fuente, la luz que recibe el receptor está desplazada al azul por un factor gamma. En otras palabras,

Ec. 3: f r = γ f s {\displaystyle f_{r}=\gamma f_{s}}

${{displaystyle f_{r}={gamma f_{s}}$

El receptor ve que la fuente está en su punto más cercanoEditar

Figura 3. Desplazamiento Doppler transversal para el escenario en el que el receptor ve la fuente como si estuviera en su punto más cercano.

Este escenario es equivalente a que el receptor mire en ángulo recto directo a la trayectoria de la fuente. El análisis de este escenario se realiza mejor desde el marco del receptor. La figura 3 muestra al receptor iluminado por la luz de cuando la fuente estaba más cerca del receptor, aunque la fuente se haya desplazado. Debido a que el reloj de la fuente está dilatado en el tiempo medido en el marco del receptor, y porque no hay componente longitudinal de su movimiento, la luz de la fuente, emitida desde este punto más cercano, está desplazada al rojo con la frecuencia

Ec. 4: f r = f s γ {{displaystyle f_{r}={frac {f_{s}}{{gamma }}

${{displaystyle f_{r}={frac {f_{s}}{gamma }}$

En la bibliografía, la mayoría de los informes sobre el desplazamiento Doppler transversal analizan el efecto en términos de que el receptor apunta directamente en ángulo recto a la trayectoria de la fuente, por lo que ven que la fuente está en su punto más cercano y observan un desplazamiento al rojo.

Punto de desplazamiento de frecuencia nulaEditar

Figura 4. El desplazamiento de frecuencia nulo se produce para un pulso que recorre la distancia más corta desde la fuente hasta el receptor.

Dado que, en el caso en el que la fuente y el receptor en movimiento inercial se encuentran geométricamente en su mayor aproximación, el receptor observa un desplazamiento azul, mientras que en el caso en el que el receptor ve que la fuente está en su punto más cercano, el receptor observa un desplazamiento rojo, obviamente debe existir un punto en el que el desplazamiento azul cambia a un desplazamiento rojo. En la Fig. 2, la señal viaja perpendicularmente a la trayectoria del receptor y se desplaza hacia el azul. En la Fig. 3, la señal viaja perpendicularmente a la trayectoria de la fuente y se desplaza al rojo.

Como se ve en la Fig. 4, el desplazamiento de frecuencia nulo se produce para un pulso que viaja la distancia más corta desde la fuente al receptor. Cuando se ve en el marco donde la fuente y el receptor tienen la misma velocidad, este pulso se emite perpendicularmente a la trayectoria de la fuente y se recibe perpendicularmente a la trayectoria del receptor. El pulso se emite un poco antes del punto de mayor aproximación y se recibe un poco después.

Un objeto en movimiento circular alrededor del otroEditar

Figura 5. Efecto Doppler transversal para dos escenarios: (a) receptor moviéndose en un círculo alrededor de la fuente; (b) fuente moviéndose en un círculo alrededor del receptor.

La Fig. 5 ilustra dos variantes de este escenario. Ambas variantes pueden analizarse utilizando argumentos simples de dilatación del tiempo. La figura 5a es esencialmente equivalente al escenario descrito en la figura 2b, y el receptor observa la luz de la fuente como desplazada hacia el azul por un factor de γ {\displaystyle \gamma }

$\gamma$

. La figura 5b es esencialmente equivalente al escenario descrito en la figura 3, y la luz se desplaza al rojo.

La única complicación aparente es que los objetos en órbita están en movimiento acelerado. Una partícula acelerada no tiene un marco inercial en el que esté siempre en reposo. Sin embargo, siempre se puede encontrar un marco de inercia que se encuentre momentáneamente comoving con la partícula. Este marco, el marco de referencia en movimiento momentáneo (MCRF), permite aplicar la relatividad especial al análisis de las partículas aceleradas. Si un observador inercial mira a un reloj acelerado, sólo la velocidad instantánea del reloj es importante a la hora de calcular la dilatación del tiempo.

Sin embargo, lo contrario no es cierto. El análisis de escenarios donde ambos objetos están en movimiento acelerado requiere un análisis algo más sofisticado. No entender este punto ha llevado a confusiones y malentendidos.

Fuente y receptor ambos en movimiento circular alrededor de un centro comúnEditar

Figura 6. La fuente y el receptor se sitúan en los extremos opuestos de un rotor, equidistantes del centro.

Supongamos que la fuente y el receptor se sitúan en los extremos opuestos de un rotor que gira, como se ilustra en la figura 6. Los argumentos cinemáticos (relatividad especial) y los argumentos basados en la observación de que no hay diferencia de potencial entre la fuente y el receptor en el campo pseudogravitacional del rotor (relatividad general) llevan a la conclusión de que no debería haber desplazamiento Doppler entre la fuente y el receptor.

En 1961, Champeney y Moon realizaron un experimento de rotor de Mössbauer que probaba exactamente este escenario, y encontraron que el proceso de absorción de Mössbauer no se veía afectado por la rotación. Concluyeron que sus hallazgos apoyaban la relatividad especial.

Esta conclusión generó cierta controversia. Cierto crítico persistente de la relatividad sostuvo que, aunque el experimento era consistente con la relatividad general, refutaba la relatividad especial, siendo su punto de vista que, dado que el emisor y el absorbente estaban en movimiento relativo uniforme, la relatividad especial exigía que se observara un desplazamiento Doppler. La falacia del argumento de este crítico era, como se demostró en la sección Punto de desplazamiento de frecuencia nulo, que simplemente no es cierto que siempre deba observarse un desplazamiento Doppler entre dos fotogramas en movimiento relativo uniforme. Además, como se demostró en la sección La fuente y el receptor están en sus puntos de mayor aproximación, la dificultad de analizar un escenario relativista depende a menudo de la elección del marco de referencia. Intentar analizar el escenario en el marco del receptor implica mucho álgebra tediosa. Es mucho más fácil, casi trivial, establecer la ausencia de desplazamiento Doppler entre el emisor y el absorbente en el marco del laboratorio.

De hecho, sin embargo, el experimento de Champeney y Moon no decía nada ni a favor ni en contra de la relatividad especial. Debido a la simetría del montaje, resulta que prácticamente cualquier teoría concebible del desplazamiento Doppler entre fotogramas en movimiento inercial uniforme debe arrojar un resultado nulo en este experimento.

En lugar de estar equidistantes del centro, supongamos que el emisor y el absorbedor estuvieran a diferentes distancias del centro del rotor. Para un emisor de radio R ′ {\displaystyle R’}

$R''$

y el absorbedor a radio R {\displaystyle R}

$R$

en cualquier parte del rotor, la relación de la frecuencia del emisor, ν ′ , {\displaystyle \nu ‘,}

${displaystyle \nu '}',}$

y la frecuencia del absorbedor, ν , {\displaystyle \nu ,}

${displaystyle \nu ,}$

viene dada por la Ec. 5: ν ′ ν = ( 1 – R 2 ω 2 1 – R ′ 2 ω 2 ) 1 / 2 {\displaystyle {\frac {\nu ‘}{\nu }}=\left({\frac {1-R^{2}\omega ^{2}}{1-R’^{2}{\omega ^{2}})^{1/2}

${displaystyle {\frac {\nu '}{nu }}=left({\frac {1-R^{2}\omega ^{2}}{1-R'^{2}\omega ^{2}}right)^{1/2}'}{\nu }}=\left({\frac {1-R^{2}\omega ^{2}}{1-R'^{2}\omega ^{2}}}\right)^{1/2}}$

donde ω {\displaystyle \omega }

$\año$

es la velocidad angular del rotor. La fuente y el emisor no tienen que estar a 180º de distancia, sino que pueden estar en cualquier ángulo con respecto al centro.

Movimiento en una dirección arbitrariaEditar

Figura 7. Desplazamiento Doppler con la fuente moviéndose en un ángulo arbitrario con respecto a la línea entre la fuente y el receptor.

El análisis utilizado en la sección Efecto Doppler longitudinal relativista puede extenderse de forma directa para calcular el desplazamiento Doppler para el caso en el que los movimientos inerciales de la fuente y el receptor están en cualquier ángulo especificado.La Fig. 7 presenta el escenario desde el marco del receptor, con la fuente moviéndose a una velocidad v {\displaystyle v}

$v$

a un ángulo θ r {\displaystyle \theta _{r}}

$\a la _{r}$

medido en el marco del receptor. La componente radial del movimiento de la fuente a lo largo de la línea de visión es igual a v cos θ r . {\displaystyle v\cos {\theta _{r}}.}

${displaystyle v\cos {\theta _{r}}.}$

La ecuación siguiente puede interpretarse como el clásico desplazamiento Doppler para una fuente estacionaria y en movimiento modificado por el factor de Lorentz γ : {\displaystyle \gamma :}

${displaystyle \gamma :}$

Ec. 6: f r = f s γ ( 1 + β cos θ r ) . {\displaystyle f_{r}={frac {f_{s}}{gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}.

${{displaystyle f_{r}={{frac {f_{s}}{gamma |izquierda(1+beta |cos \\ta _{r}{derecha)}}.}$

En el caso de que θ r = 90 ∘ {{displaystyle \ta _{r}=90^{circ}}

${displaystyle \theta _{r}=90^{circ }}$

, se obtiene el efecto Doppler transversal: f r = f s γ . {\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}} {\gamma }}.\f,}

${\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}} {\gamma }}.$

En su artículo de 1905 sobre la relatividad especial, Einstein obtuvo una ecuación de aspecto algo diferente para la ecuación del desplazamiento Doppler. Después de cambiar los nombres de las variables en la ecuación de Einstein para que sean consistentes con los utilizados aquí, su ecuación dice

Ec. 7: f r = γ ( 1 – β cos θ s ) f s . {\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta cos \theta _{s}\right)f_{s}.}

${displaystyle f_{r}={gamma}[1-beta |cos \theta _{s}{right}]f_{s}.}$

Las diferencias provienen del hecho de que Einstein evaluó el ángulo θ s {{displaystyle \theta _{s}}

$\aquellos que se encuentran en el marco de reposo de la fuente y no en el marco de reposo del receptor. θ s {displaystyle \aquellos que se encuentran en el marco de reposo del receptor.$ ${displaystyle \theta _{s}}$

no es igual a θ r {{displaystyle \theta _{r}}

${displaystyle \theta _{r}}$

debido al efecto de la aberración relativista. La ecuación de la aberración relativista es: Ec. 8: cos θ r = cos θ s – β 1 – β cos θ s {\displaystyle \cos \theta _{r}={frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}},

${displaystyle \cos \theta _{r}={frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}},$

Sustituyendo la ecuación de aberración relativista, la ecuación 8, en la ecuación 6, se obtiene la ecuación 7, lo que demuestra la consistencia de estas ecuaciones alternativas para el desplazamiento Doppler.

Fijando θ r = 0 {\displaystyle \theta _{r}=0}

${displaystyle \theta _{r}=0}$

en la Ecuación 6 o θ s = 0 {\displaystyle \theta _{s}=0}

${displaystyle \theta _{s}=0}$

en la ecuación 7 se obtiene la ecuación 1, la expresión del desplazamiento Doppler longitudinal relativista.

Una aproximación de cuatro vectores para derivar estos resultados puede encontrarse en Landau y Lifshitz (2005).