La frecuencia de corte de una guía de ondas electromagnética es la frecuencia más baja para la que se propagará un modo en ella. En fibra óptica, es más común considerar la longitud de onda de corte, la máxima longitud de onda que se propagará en una fibra óptica o guía de onda. La frecuencia de corte se encuentra con la ecuación característica de la ecuación de Helmholtz para las ondas electromagnéticas, que se deriva de la ecuación de la onda electromagnética estableciendo el número de onda longitudinal igual a cero y resolviendo la frecuencia. Así, cualquier frecuencia de excitación inferior a la frecuencia de corte se atenuará, en lugar de propagarse. La siguiente derivación supone paredes sin pérdidas. El valor de c, la velocidad de la luz, debe tomarse como la velocidad de grupo de la luz en cualquier material que llene la guía de ondas.
Para una guía de onda rectangular, la frecuencia de corte es
ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 , {\displaystyle \omega _{c}=c{sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}right)^2}},
donde los enteros n , m ≥ 0 {\displaystyle n,m\geq 0}
son los números de modo, y a y b las longitudes de los lados del rectángulo. Para los modos TE, n , m ≥ 0 {\displaystyle n,m\geq 0}
(pero n = m = 0 {\displaystyle n=m=0}
no está permitido), mientras que para los modos TM n , m ≥ 1 {\displaystyle n,m\geq 1}
.
La frecuencia de corte del modo TM01 (el siguiente más alto desde el modo dominante TE11) en una guía de ondas de sección circular (el modo transversal-magnético sin dependencia angular y con menor dependencia radial) viene dada por
ω c = c χ 01 r = c 2.4048 r , {\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}=c{\frac {2.4048}{r},}
donde r {{displaystyle r}
es el radio de la guía de onda, y χ 01 {\displaystyle \chi _{01}}
, la función de Bessel del primer tipo de orden 1.
La frecuencia de corte del modo dominante TE11 viene dada por
ω c = c χ 11 r = c 1,8412 r {\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1,8412}{r}}
Sin embargo, la frecuencia de corte del modo dominante puede reducirse mediante la introducción de un deflector dentro de la guía de ondas de sección circular. Para una fibra óptica monomodo, la longitud de onda de corte es la longitud de onda en la que la frecuencia normalizada es aproximadamente igual a 2,405.
Análisis matemáticoEditar
El punto de partida es la ecuación de onda (que se deriva de las ecuaciones de Maxwell),
( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) ψ ( r , t ) = 0 , {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{frac {1}{c^{2}}{frac {\parcial ^{2}}{parcial {t}^{2}}right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,}
que se convierte en una ecuación de Helmholtz al considerar sólo funciones de la forma
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y , z ) e i ω t . {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{i\omega t}.}
Sustituyendo y evaluando la derivada temporal se obtiene
( ∇ 2 + ω 2 c 2 ) ψ ( x , y , z ) = 0. {\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}right)\psi (x,y,z)=0.}
La función ψ {\displaystyle \psi }
aquí se refiere a cualquier campo (el campo eléctrico o el campo magnético) que no tenga componente vectorial en la dirección longitudinal – el campo «transversal». Es una propiedad de todos los modos propios de la guía de ondas electromagnéticas que al menos uno de los dos campos es transversal. El eje z se define a lo largo del eje de la guía de ondas.
La derivada «longitudinal» en el laplaciano puede reducirse aún más considerando sólo funciones de la forma
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y ) e i ( ω t – k z ) , {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},}
donde k z {\displaystyle k_{z}}
es el número de onda longitudinal, resultando ( ∇ T 2 – k z 2 + ω 2 c 2 ) ψ ( x , y , z ) = 0 , {\displaystyle (\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}})\psi (x,y,z)=0,}
donde el subíndice T indica un laplaciano transversal bidimensional. El último paso depende de la geometría de la guía de ondas. La geometría más fácil de resolver es la guía de onda rectangular. En ese caso, el resto del Laplaciano puede evaluarse hasta su ecuación característica considerando soluciones de la forma
ψ ( x , y , z , t ) = ψ 0 e i ( ω t – k z – k x x – k y y ) . {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i}izquierda(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y}derecha)}.
Así, para la guía rectangular se evalúa el laplaciano, y llegamos a
ω 2 c 2 = k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}=k_{x}^2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}
Los números de onda transversales pueden especificarse a partir de las condiciones de contorno de la onda estacionaria para una sección transversal de geometría rectangular con dimensiones a y b:
k x = n π a , {\displaystyle k_{x}={frac {n\pi }{a},}
k y = m π b , {\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{b},}
donde n y m son los dos enteros que representan un modo propio específico. Realizando la última sustitución, obtenemos
ω 2 c 2 = ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 + k z 2 , {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}=left({\frac {n\pi }{a}}right)^{2}+left({\frac {m\pi }{b}}right)^{2}+k_{z}^{2},
que es la relación de dispersión en la guía de onda rectangular. La frecuencia de corte ω c {\displaystyle \omega _{c}}
es la frecuencia crítica entre la propagación y la atenuación, que corresponde a la frecuencia a la que el número de onda longitudinal k z {\displaystyle k_{z}
es cero. Viene dado por ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 {\displaystyle \omega _{c}=c{{sqrt} {\left({\frac {n\pi }{a}}right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}\right)^{2}}}}
