Matrice ortogonale

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Una matrice n×nA è una matrice ortogonale se

AA^(T)=I,
(1)

dove A^(T) è la trasposizione di A e I è la matrice identità. In particolare, una matrice ortogonale è sempre invertibile, e

A^(-1)=A^(T).
(2)

In forma di componente,

(a^(-1))_(ij)=a_(ji).
(3)

Questa relazione rende le matrici ortogonali particolarmente facili da calcolare, poiché l’operazione di trasposizione è molto più semplice del calcolo dell’inverso.

Per esempio,

A = 1/(sqrt(2))
(4)
B = 1/3
(5)

sono matrici ortogonali.

Una matrice m può essere testata per vedere se è ortogonale nel Wolfram Language usando OrthogonalMatrixQ.

Le righe di una matrice ortogonale sono una base ortonormale. Cioè, ogni riga ha lunghezza uno e sono reciprocamente perpendicolari. Allo stesso modo, anche le colonne sono una base ortonormale. Infatti, data una qualsiasi base ortonormale, la matrice le cui righe sono quella base è una matrice ortogonale. È automaticamente il caso che le colonne siano un’altra base ortonormale.

Le matrici ortogonali sono precisamente quelle matrici che conservano il prodotto interno

v,w=Av,Aw.
(6)

Anche, il determinante di A è o 1 o -1. Come sottoinsieme di R^(n^2), le matrici ortogonali non sono collegate poiché il determinante è una funzione continua. Invece, ci sono due componenti corrispondenti al fatto che il determinante sia 1 o -1. Le matrici ortogonali con detA=1 sono rotazioni, e tale matrice è chiamata matrice ortogonale speciale.

Il prodotto matriciale di due matrici ortogonali è un’altra matrice ortogonale. Inoltre, l’inverso di una matrice ortogonale è una matrice ortogonale, così come la matrice identità. Quindi l’insieme delle matrici ortogonali forma un gruppo, chiamato gruppo ortogonale O(n).

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