Załóżmy, że masz funkcję $f(x)$ i chcesz znaleźć jak najdokładniej miejsce, w którym przecina ona oś $x$; innymi słowy, chcesz rozwiązać$f(x)=0$. Załóżmy, że nie znasz sposobu na znalezienie dokładnego rozwiązania za pomocą jakiejkolwiek procedury algebraicznej, ale jesteś w stanie użyć przybliżenia, pod warunkiem, że można je zrobić dość blisko prawdziwej wartości. Metoda Newtona jest sposobem na znalezienie rozwiązania nierówności do tylu miejsc po przecinku, ile chcesz. Jest to tak zwana „procedura iteracyjna”, co oznacza, że można ją powtarzać wielokrotnie, uzyskując coraz dokładniejszą odpowiedź. Procedury iteracyjne, takie jak metoda Newtona, dobrze nadają się do programowania na komputer. Metoda Newtona wykorzystuje fakt, że linia styczna do krzywej jest dobrym przybliżeniem krzywej w pobliżu punktu styczności.
Przykład 6.3.1 Przybliżenie $ds \sqrt{3}$. Ponieważ $sqrt{3}$ jest rozwiązaniem $sqrt{3}$ lub $sqrt{3}$, używamy $f(x)=x^2-3$. Zaczynamy od odgadnięcia czegoś w miarę bliskiego prawdziwej wartości; zwykle jest to łatwe do zrobienia; użyjmy $sqrt3 $approx2$. Teraz użyjmy linii stycznej do krzywej, gdy $x=2$, jako przybliżenia krzywej, jak pokazano na rysunku 6.3.1. Ponieważ $f'(x)=2x$, nachylenie linii stycznej wynosi 4, a jej równanie to $y=4x-7$. Prosta styczna jest dość blisko $f(x)$, więc przecina oś $x$ w pobliżu punktu, w którym przecina się $f(x)$, czyli w pobliżu $sqrt3$. Łatwo jest znaleźć miejsce, w którym styczna przecina oś $x$: rozwiązujemy $0=4x-7$, aby otrzymać $x=7/4=1,75$. Jest to z pewnością lepsze przybliżenie niż 2, ale powiedzmy, że nie wystarczająco bliskie. Możemy to poprawić, robiąc to samo jeszcze raz: znaleźć styczną w punkcie $x=1,75$, znaleźć miejsce, gdzie ta nowa styczna przecina oś $x$ i użyć tej wartości jako lepszego przybliżenia. Możemy to kontynuować w nieskończoność, choć robi się to dość uciążliwe. Zobaczmy, czy możemy skrócić ten proces. Załóżmy, że najlepszym przybliżeniem do punktu przecięcia, które mamy do tej pory, jest $ds x_i$. Aby znaleźć lepsze przybliżenie, będziemy zawsze robić to samo: znajdziemy nachylenie prostej stycznej w punkcie $ds x_i$, znajdziemy nierówność prostej stycznej, znajdziemy punkt przecięcia $x$. Nachylenie wynosi $ds 2x_i$. Prosta styczna to $ds y=(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$, korzystając ze wzoru na punkt-pochylenie prostej. Wreszcie, punkt przecięcia znajdujemy rozwiązując równanie $ 0 =(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$. Przy odrobinie algebry zamienia się to na $ds x=(x_i^2+3)/(2x_i)$; jest to kolejne przybliżenie, które zwyczajowo nazywamy $ds x_{i+1}$. Zamiast wykonywać za każdym razem całe obliczenia na liniach stycznych, możemy po prostu użyć tego wzoru, aby uzyskać tyle przybliżeń, ile chcemy. Zaczynając od $ds x_0=2$, otrzymujemy $ds x_1=(x_0^2+3)/(2x_0)=(2^2+3)/4=7/4$ (oczywiście to samo przybliżenie, które otrzymaliśmy powyżej), $ds x_2=(x_1^2+3)/(2x_1)=((7/4)^2+3)/(7/2)=97/56$, $ds x_2=(x_1^2+3)/(2x_1)=97/56$, $ds x_2=(x_1^2+3)/(2x_1)=((7/4)^2+3)/(7/2)=1.73214$, $d x_3approx 1.73205$, a wkrótce. Ręcznie jest to jeszcze trochę żmudne, ale za pomocą kalkulatora lub, jeszcze lepiej, dobrego programu komputerowego, można dość łatwo uzyskać wiele, wiele przybliżeń. Możemy się już domyślać, że $1,73205$ jest dokładny do dwóch miejsc po przecinku, a w rzeczywistości okazuje się, że jest dokładny do pięciu miejsc.
Możesz tutaj zmienić funkcję, na przykład na Math.sin(x) lub Math.exp(x) lub Math.pow(2,x) lub 1-2/(x*x).
$x_{final}=$
Pomyślmy o tym procesie w bardziej ogólnych kategoriach. Chcemy przybliżyć rozwiązanie równania $f(x)=0$.Zaczynamy od przybliżonego przypuszczenia, które nazywamy $ds x_0$. Używamy tangensa do $f(x)$, aby otrzymać nowe przybliżenie, które, mamy nadzieję, będzie bliższe prawdziwej wartości. Jakie jest równanie linii stycznej do $f(x)$, gdy $ds x=x_0$? Nachylenie wynosi $ds f'(x_0)$, a prosta przechodzi przez $ds(x_0,f(x_0))$, więc równanie prostej wynosi $ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$ Teraz znajdziemy, gdzie ta prosta przecina oś $x$, podstawiając $y=0$ i rozwiązując dla $x$:$x={x_0f'(x_0)-f(x_0)} = x_0 – {f(x_0)-f'(x_0)}.$ Zazwyczaj będziemy chcieli obliczyć więcej niż jedną z tych ulepszonych aproksymacji, więc numerujemy je kolejno; z $ds x_0$ mamy obliczone $ds x_1$:$x_1={x_0f'(x_0)-f(x_0)} = x_0 – {f(x_0)\\ f'(x_0)},$ i ogólnie z $ds x_i$ obliczamy $ds x_{i+1}$:$x_{i+1}={x_if'(x_i)-f(x_i)\ f'(x_i)} = x_i – {f(x_i)\ f'(x_i)}.$
Przykład 6.3.2 Wracając do poprzedniego przykładu, $f(x)=x^2-3$, $f'(x)=2x$, a formuła staje się $f(x_{i+1}=x_i – (x_i^2-3)/(2x_i)=(x_i^2+3)/(2x_i)$, tak jak poprzednio.
W praktyce, to znaczy, jeśli musisz przybliżyć wartość w trakcie projektowania mostu, budynku lub płatowca, będziesz musiał mieć pewną pewność, że przybliżenie, na które się zdecydujesz, jest wystarczająco dokładne. Z reguły, gdy pewna liczba miejsc po przecinku przestaje się zmieniać w kolejnych przybliżeniach, jest prawdopodobne, że te miejsca po przecinku są poprawne. Mimo to, może to nie być wystarczająca pewność, w takim przypadku możemy sprawdzić dokładność wyniku.
Przykład 6.3.3 Znajdź współrzędną $x$ punktu przecięcia krzywych $y=2x$ i $y=tan x$, z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Aby umieścić to w kontekście metody Newtona, zauważmy, że chcemy wiedzieć, gdzie $2x=tanx$ lub $f(x)=tan x-2x=0$. Obliczamy $f(x)=sec^2 x – 2$ i ustalamy formułę:$x_{i+1} = x_i-{tan x_i -2x_i = x_i-{sec^2 x_i – 2}}.$ Z wykresu na rysunku 6.3.2 zgadujemy, że $ds x_0=1$ jako punkt startowy, a następnie korzystając ze wzoru obliczamy $ds x_1=1,310478030$, $ds x_2=1,223929096$, $ds x_3=1,176050900$,$ds x_4=1,165926508$, $ds x_5=1,165561636$. Zgadujemy więc, że pierwsze trzy miejsca są poprawne, ale to nie to samo, co stwierdzenie, że $1,165$ jest poprawne do trzech miejsc po przecinku – $1,166$ może być poprawnym, zaokrąglonym przybliżeniem. Jak możemy to stwierdzić? Możemy podstawić $1,165$, $1,1655$ i $1,166$ do $tan x – 2x$; to daje $-0,002483652$, $-0,000271247$, $0,001948654$. Ponieważ dwa pierwsze są ujemne, a trzeci dodatni, $tan x – 2x$ przecina oś $x$ między $1,1655$ a $1,166$, więc poprawna wartość do trzech miejsc to $1,166$.
Ćwiczenia 6.3
Możesz skorzystać z tego arkuszaSage.
Ćwiczenie 6.3.1Przybliż pierwiastek piąty z 7, używając $ds x_0=1.5$ jako pierwszego przypuszczenia. Użyj metody Newtona, aby znaleźć $ds x_3$ jako twoje przybliżenie. (odpowiedź)
Przykład 6.3.2Zastosuj metodę Newtona do przybliżenia pierwiastka sześciennego z 10 do dwóch miejsc po przecinku.(odpowiedź)
Przykład 6.3.3Funkcja $f(x)=x^3-3x^2-3x+6$ ma pierwiastek między 3 i 4$, ponieważ $f(3)=-3$ i $f(4)=10$. Przybliż pierwiastek do dwóch miejsc po przecinku.(odpowiedź)
Ex 6.3.4Z prostokątnego kawałka tektury o wymiarach $8 razy 17$ zrobiono otwarte pudełko, wycinając z każdego rogu mały kwadrat o boku $x$ i zaginając boki. Jeśli $x=2$, to objętość pudełka wynosi $2 razy 4$ i 13$=104$. Za pomocą metody Newtona znajdź wartość $x$, dla której pudełko ma objętość 100, z dokładnością do 3 cyfr znaczących. (odpowiedź)