Pokaż uwagę mobilną Pokaż wszystkie uwagi Ukryj wszystkie uwagi
Sekcja 4-13 : Metoda Newtona
Kolejna aplikacja, której przyjrzymy się w tym rozdziale jest ważną aplikacją, która jest używana w wielu dziedzinach. Jeśli śledziłeś ten rozdział do tego momentu, to możliwe, że odniosłeś wrażenie, że wiele z tych zastosowań, którym się przyjrzeliśmy, zostało przez nas wymyślonych, aby zmusić Cię do pracy. Jest to niefortunne, ponieważ wszystkie aplikacje, którym przyjrzeliśmy się do tej pory, są prawdziwymi aplikacjami, które naprawdę są używane w rzeczywistych sytuacjach. Problemem jest często to, że aby pracować bardziej znaczące przykłady aplikacji musimy mieć więcej wiedzy niż zazwyczaj mamy na temat nauki i / lub fizyki za problemem. Bez tej wiedzy utknęliśmy robiąc dość uproszczone przykłady, które często nie wydają się bardzo realistyczne i to sprawia, że trudno zrozumieć, że aplikacja, na którą patrzymy jest prawdziwą aplikacją.
To się zmieni w tej sekcji. Jest to aplikacja, którą wszyscy możemy zrozumieć i wszyscy możemy zrozumieć, że musi być wykonana od czasu do czasu, nawet jeśli nie rozumiemy fizyki/nauki stojącej za rzeczywistą aplikacją.
W tej sekcji przyjrzymy się metodzie przybliżania rozwiązań równań. Wszyscy wiemy, że równania muszą być rozwiązywane od czasu do czasu i w rzeczywistości sami rozwiązaliśmy całkiem sporo równań do tego momentu. We wszystkich przykładach, które oglądaliśmy do tej pory, byliśmy w stanie znaleźć rozwiązania, ale nie zawsze jest możliwe zrobienie tego dokładnie i/lub wykonanie pracy ręcznie. To jest, gdzie ta aplikacja wchodzi do gry. Zobaczmy więc, o co chodzi w tej aplikacji.
Załóżmy, że chcemy przybliżyć rozwiązanie funkcji \(f\left( x \right) = 0\) i załóżmy również, że w jakiś sposób znaleźliśmy początkowe przybliżenie tego rozwiązania, powiedzmy, \({x_0}}). To początkowe przybliżenie prawdopodobnie nie jest zbyt dobre, w rzeczywistości może być niczym więcej jak tylko szybkim domysłem, który zrobiliśmy, więc chcielibyśmy znaleźć lepsze przybliżenie. Jest to dość łatwe do zrobienia. Po pierwsze, otrzymamy linię styczną do funkcji (f-left( x ™right)™) w punkcie ™({x_0}}.
Teraz spójrzmy na poniższy wykres.
Niebieska linia (jeśli czytasz to w kolorze…) jest linią styczną w punkcie {x_{0}}. Widzimy, że ta linia przetnie oś x znacznie bliżej rzeczywistego rozwiązania równania niż ∗ ({x_0}}). Nazwijmy ten punkt, w którym styczna do prostej {x_0} przecina oś x, punktem {x_1} i użyjemy go jako naszego nowego przybliżenia rozwiązania.
Jak znajdziemy ten punkt? Cóż, znamy jego współrzędne, \(\left( {{x_1},0} \right)\), i wiemy, że znajduje się on na prostej stycznej, więc podłączamy ten punkt do prostej stycznej i rozwiązujemy dla \({x_1}}w następujący sposób,
Więc możemy znaleźć nowe przybliżenie, pod warunkiem, że pochodna nie jest równa zero w oryginalnym przybliżeniu.
Teraz powtarzamy cały proces, aby znaleźć jeszcze lepsze przybliżenie. Tworzymy linię styczną do prostej w punkcie \(f-left( x \right)\) i używamy jej korzenia, który nazwiemy \({x_2}}, jako nowego przybliżenia do rzeczywistego rozwiązania. Jeśli to zrobimy, otrzymamy następujący wzór.
Ten punkt jest również pokazany na powyższym wykresie i możemy zobaczyć na nim, że jeśli będziemy kontynuować ten proces, otrzymamy ciąg liczb, które są coraz bliższe rzeczywistemu rozwiązaniu. Proces ten nazywany jest Metodą Newtona.
Oto ogólna Metoda Newtona
Metoda Newtona
Jeżeli \({x_n}} jest przybliżeniem rozwiązania funkcji \(f’\left( x \right) = 0 \) i jeżeli \(f’\left( {{x_n}} \right) \ne 0 \) to następne przybliżenie jest dane przez,
To powinno prowadzić do pytania, kiedy się zatrzymujemy? Ile razy przechodzimy przez ten proces? Jednym z bardziej powszechnych punktów zatrzymania procesu jest kontynuowanie go do momentu, gdy dwa kolejne przybliżenia zgadzają się z daną liczbą miejsc po przecinku.
Przed przystąpieniem do pracy nad jakimikolwiek przykładami powinniśmy zająć się dwiema kwestiami. Po pierwsze, aby można było zastosować metodę Newtona, naprawdę musimy rozwiązywać równanie (lewa strona( x prawa) = 0). Nie stanowi to większego problemu, ale musimy się upewnić, że równanie ma taką postać przed zastosowaniem metody.
Po drugie, musimy w jakiś sposób uzyskać wstępne przybliżenie rozwiązania (tzn. potrzebujemy w jakiś sposób ∑({x_0}}). Jednym z bardziej powszechnych sposobów uzyskania przybliżenia jest naszkicowanie wykresu funkcji i użycie go do uzyskania oszacowania rozwiązania, które następnie wykorzystamy jako \({x_0}}. Inna popularna metoda polega na tym, że jeśli wiemy, że rozwiązanie funkcji znajduje się w przedziale, możemy użyć środka tego przedziału jako ∑({x_0}}.
Popracujmy przykład metody Newtona.
Po pierwsze zauważ, że nie dostaliśmy początkowego przypuszczenia. Podano nam jednak przedział, w którym mamy szukać. Użyjemy go do uzyskania naszego wstępnego przypuszczenia. Jak zauważono powyżej, ogólną zasadą w takich przypadkach jest przyjęcie początkowego przybliżenia jako punktu środkowego przedziału. Użyjemy więc \({x_0} = 1\) jako naszego początkowego przypuszczenia.
Następnie przypomnijmy sobie, że musimy mieć funkcję w postaci \(f\left( x \right) = 0\). Dlatego najpierw przekształcamy równanie jako,
Możemy teraz zapisać ogólny wzór na metodę Newtona. Często upraszcza to nieco pracę, więc na ogół nie jest to zły pomysł, aby to zrobić.
Pozwólmy teraz uzyskać pierwsze przybliżenie.
W tym miejscu powinniśmy zauważyć, że wyrażenie „sześć miejsc po przecinku” nie oznacza, że wystarczy uzyskać ∗({x_1}} do sześciu miejsc po przecinku, a następnie zatrzymać się. Zamiast tego oznacza to, że kontynuujemy, dopóki dwa kolejne przybliżenia nie zgodzą się do sześciu miejsc po przecinku.
Zważywszy na ten warunek zatrzymania, wyraźnie musimy pójść przynajmniej o jeden krok dalej.
Dobrze, robimy postępy. Mamy aproksymację do jednego miejsca po przecinku. Zróbmy jeszcze jedno, zostawiając szczegóły obliczeń tobie.
Mamy to do trzech miejsc po przecinku. Będziemy potrzebowali jeszcze jednego.
A teraz mamy dwa przybliżenia, które zgadzają się do 9 miejsc po przecinku, a więc możemy przestać. Przyjmiemy, że rozwiązanie jest w przybliżeniu \({x_4} = 0,7390851332\).
W tym ostatnim przykładzie widzieliśmy, że nie musieliśmy wykonywać zbyt wielu obliczeń, aby Metoda Newtona dała nam przybliżenie w pożądanym zakresie dokładności. Nie zawsze tak będzie. Czasami trzeba będzie wykonać wiele iteracji, aby uzyskać pożądaną dokładność, a czasami metoda może całkowicie zawieść.
Poniższy przykład jest trochę głupi, ale pokazuje, że metoda zawodzi.
Tak, to głupi przykład. Oczywiście rozwiązaniem jest \(x = 0\), ale ma on bardzo ważny punkt. Wyprowadźmy ogólny wzór na metodę Newtona.
W rzeczywistości nie musimy tutaj wykonywać żadnych obliczeń. Obliczenia te z każdą iteracją oddalają nas coraz bardziej od rozwiązania, czyli x = 0. Oto kilka obliczeń, aby pokazać punkt.
Więc w tym przypadku metoda zawodzi i zawodzi spektakularnie.
Więc musimy być trochę ostrożni z metodą Newtona. Zwykle szybko znajdzie przybliżenie do równania. Zdarzają się jednak sytuacje, gdy będzie to wymagało dużo pracy lub gdy w ogóle nie będzie działać.