Relatywistyczny podłużny efekt DoppleraEdit
Relatywistyczne przesunięcie Dopplera dla przypadku podłużnego, gdzie źródło i odbiornik poruszają się bezpośrednio w kierunku lub od siebie, jest często wyprowadzane tak, jakby było zjawiskiem klasycznym, ale zmodyfikowanym przez dodanie terminu dylatacji czasu. Jest to podejście stosowane w podręcznikach do fizyki i mechaniki na pierwszym roku, takich jak Feynmana czy Morina.
Postępując zgodnie z tym podejściem do wyprowadzenia relatywistycznego podłużnego efektu Dopplera, załóżmy, że odbiornik i źródło oddalają się od siebie z prędkością względną v {{displaystyle v},}
mierzoną przez obserwatora na odbiorniku lub źródle (Przyjęta tu konwencja znakowa mówi, że v {displaystyle v\,}
jest ujemne, jeśli odbiornik i źródło poruszają się ku sobie).
Rozważmy ten problem w ramie odniesienia źródła.
Załóżmy, że jeden front falowy dociera do odbiornika. Następny front falowy znajduje się wtedy w odległości λ s = c / f s {{displaystyle {lambda _{s}=c/f_{s}},}
w odległości od odbiornika (gdzie λ s {{displaystyle {lambda _{s}},}
jest długością fali, f s {{displaystyle f_{s}},}
to częstotliwość fal emitowanych przez źródło, a c {displaystyle c,}
to prędkość światła).
Czoło fali porusza się z prędkością c {displaystyle c,}
, ale jednocześnie odbiornik oddala się z prędkością v {displaystyle v}
w czasie t s = 1 / f s = λ s / c {displaystyle t_{s}=1/f_{s}=lambda _{s}/c}
, więc
gdzie β = v / c {{displaystyle β =v/c},}
jest prędkością odbiornika w odniesieniu do prędkości światła, a gdzie t r , s {{displaystyle t_{r,s}}
jest okresem fal świetlnych padających na odbiornik, obserwowanych w ramce źródła. Odpowiadająca mu częstotliwość f r , s {{displaystyle f_{r,s}}
wynosi: f r , s = 1 / t r , s = f s ( 1 – β ) . {{displaystyle f_{r,s}}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-β ).}
Do tej pory równania były identyczne jak w przypadku klasycznego efektu Dopplera przy nieruchomym źródle i poruszającym się odbiorniku.
Jednakże, ze względu na efekty relatywistyczne, zegary na odbiorniku są rozrzedzone w czasie względem zegarów na źródle: t r = t r , s / γ {displaystyle t_{r}=t_{r,s}/gramma }
, gdzie γ = 1 / 1 – β 2 {{textstyle \gamma =1/{sqrt {1- \beta ^{2}}}}
jest współczynnikiem Lorentza. Aby wiedzieć, który czas ulega dylatacji, przypominamy, że t r , s {{displaystyle t_{r,s}}
to czas w ramce, w której źródło znajduje się w spoczynku. Odbiornik zmierzy częstotliwość odbieraną jako Równanie 1: f r = f r , s γ {{displaystyle f_{r}=f_{r,s}} gramma }
= 1 – β 1 – β 2 f s {{displaystyle ={frac {1-{beta }{sqrt {1-{beta ^{2}}}}f_{s}}
= 1 – β 1 + β f s .
Stosunek
f s f r = 1 + β 1 – β {{displaystyle {{frac {f_{s}}{f_{r}}}={sqrt {{sqrt {{frac {1+beta }{1+beta }} }}}}
zwany jest współczynnikiem Dopplera źródła względem odbiornika. (Terminologia ta jest szczególnie rozpowszechniona w astrofizyce: patrz relatywistyczny beaming.)
Odpowiednie długości fal są powiązane przez
Eq. 2: λ r λ s = f s f r = 1 + β 1 – β , {{displaystyle {}}}={frac {f_{s}}{f_{r}}}}={sqrt {{frac {1+beta }{1-beta }}}
Identyczne wyrażenia na relatywistyczne przesunięcie dopplerowskie otrzymujemy, gdy analizę przeprowadzamy w ramce odniesienia odbiornika z poruszającym się źródłem. Jest to zgodne z oczekiwaniami zasady względności, która nakazuje, że wynik nie może zależeć od tego, który obiekt jest uznawany za pozostający w spoczynku. W przeciwieństwie do tego, klasyczny nierelatywistyczny efekt Dopplera zależy od tego, czy to źródło, czy odbiornik są nieruchome względem ośrodka.
Przekrojowy efekt DoppleraEdit
Załóżmy, że źródło i odbiornik zbliżają się do siebie ruchem jednostajnym inercyjnym po ścieżkach, które się nie zderzają. Poprzeczny efekt Dopplera (TDE) może odnosić się do (a) nominalnego niebieskiego przesunięcia przewidywanego przez szczególną względność, które występuje, gdy nadajnik i odbiornik znajdują się w punktach najbliższego zbliżenia; lub (b) nominalnego przesunięcia ku czerwieni przewidywanego przez szczególną względność, gdy odbiornik widzi nadajnik jako znajdujący się w punkcie najbliższego zbliżenia. Poprzeczny efekt Dopplera jest jednym z głównych nowatorskich przewidywań szczególnej teorii względności.
Czy raport naukowy opisuje TDE jako przesunięcie ku czerwieni czy przesunięcie ku błękitowi, zależy od szczegółów odnoszącego się do niego układu eksperymentalnego. Na przykład, oryginalny opis TDE Einsteina z 1907 roku opisywał eksperymentatora patrzącego na centrum (najbliższy punkt) wiązki „promieni kanałowych” (wiązka dodatnich jonów, która jest tworzona przez niektóre rodzaje rur wyładowczych). Zgodnie ze szczególną względnością, częstotliwość emitowanych jonów byłaby zmniejszona o współczynnik Lorentza, tak więc częstotliwość odbieranych jonów byłaby zmniejszona (przesunięta ku czerwieni) o ten sam współczynnik.
Z drugiej strony, Kündig (1963) opisał eksperyment, w którym absorber Mössbauera był obracany w szybkim ruchu okrężnym wokół centralnego emitera Mössbauera. Jak wyjaśniono poniżej, ten układ eksperymentalny spowodował pomiar Kündiga dotyczący przesunięcia niebieskiego.
Źródło i odbiornik znajdują się w swoich punktach największego zbliżeniaEdit
W tym scenariuszu, punkt najbliższego zbliżenia jest niezależny od ramy i reprezentuje moment, w którym nie ma zmiany odległości w czasie. Rysunek 2 pokazuje, że łatwość analizy tego scenariusza zależy od ramki, w której jest on analizowany.
- Fig. 2a. Jeśli analizujemy ten scenariusz w ramce odbiornika, okazuje się, że analiza jest bardziej skomplikowana niż powinna być. Pozorna pozycja obiektu niebieskiego jest przesunięta względem jego prawdziwej pozycji (lub pozycji geometrycznej) z powodu ruchu obiektu w czasie, w którym jego światło dociera do obserwatora. Źródło byłoby przesunięte w czasie względem odbiornika, ale przesunięcie ku czerwieni implikowane przez tę dylatację czasu byłoby skompensowane przez przesunięcie ku błękitowi z powodu składowej wzdłużnej ruchu względnego między odbiornikiem a pozorną pozycją źródła.
- Rys. 2b. Znacznie łatwiej jest analizować scenariusz z punktu widzenia źródła. Obserwator znajdujący się przy źródle wie, z treści zadania, że odbiornik znajduje się w najbliższym mu punkcie. Oznacza to, że odbiornik nie ma składowej wzdłużnej ruchu, która komplikowałaby analizę. (tj. dr/dt = 0, gdzie r jest odległością między odbiornikiem a źródłem) Ponieważ zegary odbiornika są przesunięte w czasie względem źródła, światło, które odbiera odbiornik jest przesunięte w czasie o współczynnik gamma. Innymi słowy,
Eq. 3: f r = γ f s {{displaystyle f_{r}= współczynnik gamma f_{s}}.
Odbiornik widzi źródło jako znajdujące się w swoim najbliższym punkcieEdit
Ten scenariusz jest równoważny odbiornikowi patrzącemu pod bezpośrednim kątem prostym do ścieżki źródła. Analizę tego scenariusza najlepiej przeprowadzić z ramki odbiornika. Rysunek 3 pokazuje, że odbiornik jest oświetlony światłem z czasu, gdy źródło było najbliżej odbiornika, mimo że źródło się oddaliło. Ponieważ zegar źródła jest dylatowany w czasie mierzonym w ramie odbiornika i ponieważ nie ma składowej podłużnej jego ruchu, światło ze źródła, emitowane z tego najbliższego punktu, jest przesunięte ku czerwieni z częstotliwością
Równanie 4: f r = f s γ {{displaystyle f_{r}={frac {f_{s}}{{gamma }}
W literaturze większość doniesień o poprzecznym przesunięciu Dopplera analizuje efekt w kategoriach odbiornika skierowanego pod bezpośrednim kątem prostym do drogi źródła, a więc widzącego źródło jako znajdujące się w najbliższym punkcie i obserwującego przesunięcie ku czerwieni.
Punkt zerowego przesunięcia częstotliwościEdit
Przy założeniu, że w przypadku, gdy bezwładnie poruszające się źródło i odbiornik znajdują się geometrycznie w najbliższym zbliżeniu do siebie, odbiornik obserwuje przesunięcie niebieskie, natomiast w przypadku, gdy odbiornik widzi źródło jako znajdujące się w najbliższym punkcie, odbiornik obserwuje przesunięcie ku czerwieni, musi oczywiście istnieć punkt, w którym przesunięcie niebieskie zmienia się na przesunięcie ku czerwieni. Na Rys. 2 sygnał porusza się prostopadle do drogi odbiornika i jest przesunięty w dół. Na Rys. 3, sygnał podróżuje prostopadle do ścieżki źródła i jest przesunięty ku czerwieni.
Jak widać na Rys. 4, zerowe przesunięcie częstotliwości występuje dla impulsu, który pokonuje najkrótszą odległość od źródła do odbiornika. Gdy patrzymy w ramce, w której źródło i odbiornik mają tę samą prędkość, impuls ten jest emitowany prostopadle do drogi źródła i odbierany prostopadle do drogi odbiornika. Impuls jest emitowany nieco przed punktem największego zbliżenia, a odbierany nieco po.
Jeden obiekt w ruchu okrężnym wokół drugiegoEdit
Rys. 5 ilustruje dwa warianty tego scenariusza. Oba warianty mogą być analizowane przy użyciu prostych argumentów dylatacji czasu. Rysunek 5a jest zasadniczo równoważny scenariuszowi opisanemu na rysunku 2b, a odbiornik obserwuje światło ze źródła jako przesunięte w kierunku niebieskim o współczynnik γ {{displaystyle \gamma }
. Rysunek 5b jest w zasadzie równoważny scenariuszowi opisanemu na rysunku 3, a światło jest przesunięte ku czerwieni.
Jedynym pozornym utrudnieniem jest to, że orbitujące obiekty są w ruchu przyspieszonym. Przyspieszona cząstka nie posiada ramki inercyjnej, w której jest zawsze w spoczynku. Jednak zawsze można znaleźć ramkę inercyjną, która jest chwilowo komiwojażera z cząstką. Ta rama, chwilowo komutująca rama odniesienia (MCRF), umożliwia zastosowanie szczególnej teorii względności do analizy cząstek przyspieszanych. Jeżeli obserwator inercyjny patrzy na przyspieszający zegar, to przy obliczaniu dylatacji czasu ważna jest tylko chwilowa prędkość zegara.
Odwrotna sytuacja nie jest jednak prawdziwa. Analiza scenariuszy, w których oba obiekty są w ruchu przyspieszonym wymaga nieco bardziej wyrafinowanej analizy. Niezrozumienie tego punktu doprowadziło do zamieszania i nieporozumień.
Źródło i odbiornik zarówno w ruchu okrężnym wokół wspólnego środkaEdit
Załóżmy, że źródło i odbiornik są umieszczone na przeciwległych końcach wirującego wirnika, jak pokazano na rys. 6. Argumenty kinematyczne (szczególna względność) i argumenty oparte na spostrzeżeniu, że nie ma różnicy potencjałów między źródłem i odbiornikiem w pseudograwitacyjnym polu wirnika (ogólna względność) prowadzą do wniosku, że nie powinno być przesunięcia dopplerowskiego między źródłem i odbiornikiem.
W 1961 roku Champeney i Moon przeprowadzili eksperyment z wirnikiem Mössbauera testując dokładnie ten scenariusz i stwierdzili, że na proces absorpcji Mössbauera nie miała wpływu rotacja. Stwierdzili, że ich wyniki potwierdzają szczególną względność.
Ta konkluzja wywołała pewne kontrowersje. Pewien uporczywy krytyk teorii względności utrzymywał, że choć eksperyment był zgodny z ogólną teorią względności, to obalał szczególną teorię względności. Chodziło mu o to, że skoro emiter i absorber były w jednostajnym ruchu względnym, to szczególna teoria względności wymagała zaobserwowania przesunięcia dopplerowskiego. Błąd z tego argumentu krytyka było, jak wykazano w sekcji Punkt zerowy przesunięcia częstotliwości, że to po prostu nie jest prawdą, że przesunięcie Dopplera musi być zawsze obserwowane między dwoma ramkami w jednolitym ruchu względnym. Ponadto, jak wykazano w rozdziale Źródło i odbiornik znajdują się w punktach największego zbliżenia, trudność analizy scenariusza relatywistycznego często zależy od wyboru ramki odniesienia. Próba przeanalizowania scenariusza w ramie odbiornika wymaga wielu żmudnych działań algebraicznych. Znacznie łatwiej, wręcz trywialnie, jest ustalić brak przesunięcia dopplerowskiego między emiterem a absorberem w ramie laboratoryjnej.
Jakkolwiek w istocie, eksperyment Champeneya i Moona nie powiedział nic ani za, ani przeciw szczególnej względności. Ze względu na symetrię układu, okazuje się, że praktycznie każda możliwa teoria przesunięcia dopplerowskiego pomiędzy ramkami w jednolitym ruchu inercyjnym musi dać w tym eksperymencie wynik zerowy.
Zamiast równej odległości od centrum, załóżmy, że emiter i absorber znajdowały się w różnych odległościach od centrum wirnika. Dla emitera o promieniu R ′ {displaystyle R'}
i absorbera o promieniu R {{displaystyle R}}
w dowolnym miejscu rotora, stosunek częstotliwości emitera, ν ′ , {{displaystyle \nu ',}
a częstotliwość absorbera, ν , {{displaystyle \nu ,}
jest dana przez Eq. 5: ν ′ ν = ( 1 – R 2 ω 2 1 – R ′ 2 ω 2 ) 1 / 2 {displaystyle {{displaystyle }}}=left({{displaystyle {1-R^{2}}}}{1-R’^{2}}}}}}}}prawo)^{1/2}}.
gdzie ω {{displaystyle {{}}}omega }
jest prędkością kątową wirnika. Źródło i emiter nie muszą być oddalone od siebie o 180°, ale mogą być pod dowolnym kątem względem środka.
Ruch w arbitralnym kierunkuEdit
Analiza zastosowana w rozdziale Relatywistyczny podłużny efekt Dopplera może być w prosty sposób rozszerzona do obliczenia przesunięcia dopplerowskiego dla przypadku, gdy ruchy inercyjne źródła i odbiornika są pod dowolnym, określonym kątem.Rys. 7 przedstawia scenariusz z ramki odbiornika, w którym źródło porusza się z prędkością v {displaystyle v}
pod kątem θ r {displaystyle \theta _{r}}
mierzonego w ramce odbiornika. Składowa radialna ruchu źródła wzdłuż linii wzroku jest równa v cos θ r . {{displaystyle v cos _{r}}.}
Poniższe równanie można zinterpretować jako klasyczne przesunięcie Dopplera dla nieruchomego i poruszającego się źródła zmodyfikowane o współczynnik Lorentza γ : {displaystyle ἀgamma :}
Eq. 6: f r = f s γ ( 1 + β cos θ r ) . {{displaystyle f_{r}={frac {f_{s}}{{gamma \left(1+beta \cos \theta _{r}}right)}}.
W przypadku, gdy θ r = 90 ∘ {displaystyle \theta _{r}=90^{cos \r}.
, uzyskuje się poprzeczny efekt Dopplera: f r = f s γ .
W swojej pracy z 1905 roku na temat szczególnej względności Einstein uzyskał nieco inaczej wyglądające równanie na równanie przesunięcia Dopplera. Po zmianie nazw zmiennych w równaniu Einsteina tak, aby były zgodne z nazwami użytymi tutaj, jego równanie ma postać
Równanie 7: f r = γ ( 1 – β cos θ s ) f s . {displaystyle f_{r}= ∑gamma ∑left(1- ∑beta ∑cos ∑theta _{s}}}right)f_{s}.}
Różnice wynikają z faktu, że Einstein oceniał kąt θ s {{displaystyle \theta _{s}}
w odniesieniu do ramki spoczynkowej źródła, a nie ramki spoczynkowej odbiornika. θ s {{displaystyle \theta _{s}}
nie jest równa θ r {{displaystyle \theta _{r}}
ze względu na efekt aberracji relatywistycznej. Równanie aberracji relatywistycznej ma postać: Eq. 8: cos θ r = cos θ s – β 1 – β cos θ s {
Wstawienie równania relatywistycznej aberracji równanie 8 do równania 6 daje równanie 7, pokazując spójność tych alternatywnych równań dla przesunięcia dopplerowskiego.
Ustawiając θ r = 0 {{displaystyle θ r = 0}}
w równaniu 6 lub θ s = 0 {{displaystyle θtheta _{s}=0}}
w równaniu 7 daje równanie 1, wyrażenie na relatywistyczne wzdłużne przesunięcie Dopplera.
Czterowe podejście do wyprowadzenia tych wyników można znaleźć w Landau i Lifshitz (2005).