Rozkład dwumianowy ujemny, znany również jako rozkład Pascala lub rozkład Pólyi, daje prawdopodobieństwo sukcesów i porażek w próbach, oraz sukcesu w -tej próbie. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest więc dana przez
(1)
|
|||
(2)
|
|||
(3)
|
gdzie jest współczynnikiem rozkładu dwumianowego. Funkcja rozkładu jest wtedy dana przez
(4)
|
|||
(5)
|
|||
(6)
|
gdzie jest funkcją gamma, to funkcja hipergeometryczna regularyzowana, a to funkcja beta regularyzowana.
Rozkład dwumianowy ujemny jest zaimplementowany w języku Wolframa jako NegativeBinomialDistribution.
Definiowanie
(7)
|
|||
(8)
|
Funkcja charakterystyczna jest dana przez
. funkcja charakterystyczna jest dana przez
(9)
|
oraz funkcja generująca momentgenerujący moment
(10)
|
Ponieważ ,
(11)
|
|||
(12)
|
|||
(13)
|
|||
(14)
|
Momenty surowe są zatem
(15)
|
|||
(16)
|
|||
(17)
|
|||
(18)
|
gdzie
(19)
|
i jest symbolem Pochhammera. (Zauważ, że Beyer 1987, s. 487, najwyraźniej podaje średnią nieprawidłowo.)
Daje to momenty centralne jako
(20)
|
|||
(21)
|
|||
(22)
|
Średnia, wariancja, skośność i kurtoza wynoszą
(23)
|
|||
(24)
|
|||
(25)
|
|||
(26)
|
które można również zapisać
(27)
|
|||
(28)
|
|||
(29)
|
|||
(30)
|
Pierwszą kumulantą jest
(31)
|
i kolejne kumulanty są dane przez zależność rekurencyjną
(32)
|