Rozkład dwumianowy ujemny

DOWNLOAD Mathematica Notebook

Rozkład dwumianowy ujemny, znany również jako rozkład Pascala lub rozkład Pólyi, daje prawdopodobieństwo r-1 sukcesów i x porażek w x+r-1 próbach, oraz sukcesu w (x+r)-tej próbie. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest więc dana przez

.

P_(r,p)(x) = p)]
(1)
= p
(2)
= (x+r-1; r-1)p^r(1-p)^x,
(3)

gdzie (n; k) jest współczynnikiem rozkładu dwumianowego. Funkcja rozkładu jest wtedy dana przez

D(x) = suma_(n=0)^(x)(n+r-;)1; r-1)p^r(1-p)^n
(4)
= 1-.((1-p)^(x+1)p^rGamma(x+r+1)_2F^~_1(1,x+r+1;x+2;1-p))/(Gamma(r))
(5)
= I(p;r,x+1),
(6)

gdzie Gamma(z) jest funkcją gamma, _2F^~_1(a,b;c;z) to funkcja hipergeometryczna regularyzowana, a I(z;a,b) to funkcja beta regularyzowana.

Rozkład dwumianowy ujemny jest zaimplementowany w języku Wolframa jako NegativeBinomialDistribution.

Definiowanie

P = (1-.p)/p
(7)
Q = 1/p,
(8)

Funkcja charakterystyczna jest dana przez

. funkcja charakterystyczna jest dana przez

phi(t)=(Q-Pe^(it))^(-r),
(9)

oraz funkcja generująca momentgenerujący moment

M(t)=e^(tx)=sum_(x=0)^inftye^(tx)(x+r-1; r-1)p^r(1-p)^x.
(10)

Ponieważ (N; n)=(N; N-n),

M(t) = p^r^(-.r)
(11)
M^'(t)'(t) = p^r(1-p)r^(-r-1)e^t
(12)
M^('')(t)'')(t) = (1-p)rp^r(1-e^t+pe^t)^(-r-2)×(-1-e^tr+e^tpr)e^t
(13)
M^(''')(t)''')(t) = (1-p)rp^r(1-e^t+e^tp)^(-r-3)×e^t.
(14)

Momenty surowe mu_n^'=M^((n))(0)'=M^((n))(0) są zatem

.

.

mu_1^'' = (rq)/p
(15)
mu_2^'' = (rq(1+rq))/(p^2)
(16)
mu_3^'' = (q)/(p^3)
(17)
mu_4^'' = (q)/(p^4),
(18)

gdzie

q=1-.p
(19)

i (r)_n jest symbolem Pochhammera. (Zauważ, że Beyer 1987, s. 487, najwyraźniej podaje średnią nieprawidłowo.)

Daje to momenty centralne jako

mu_2 = (r(1-p))/(p^2)
(20)
mu_3 = (r(2-3p+p^2))/(p^3)=(r(p-1)(p-2))/(p^3)
(21)
mu_4 = (r(1-.p)(6-6p+p^2+3r-3pr))/(p^4).
(22)

Średnia, wariancja, skośność i kurtoza wynoszą

.

mu = (rq)/p
(23)
sigma^2 = (rq)/(p^2)
(24)
gamma_1 = (2-p)/(sqrt(rq))
(25)
gamma_2 = (p^2-6p+6)/(rq),
(26)

które można również zapisać

mu = nP
(27)
sigma^2 = nPQ
(28)
gamma_1 = (Q+P)/(sqrt(rPQ))
(29)
gamma_2 = (1+6PQ)/(rPQ)-.3.
(30)

Pierwszą kumulantą jest

kappa_1=nP,
(31)

i kolejne kumulanty są dane przez zależność rekurencyjną

kappa_(r+1)=PQ(dkappa_r)/(dQ).
(32)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *