Rozkład dwumianowy ujemny

Rozkład dwumianowy ujemny, znany również jako rozkład Pascala lub rozkład Pólyi, daje prawdopodobieństwo sukcesów i porażek w próbach, oraz sukcesu w -tej próbie. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest więc dana przez

.

			(1)
			(2)
			(3)

gdzie jest współczynnikiem rozkładu dwumianowego. Funkcja rozkładu jest wtedy dana przez

			(4)
			(5)
			(6)

gdzie jest funkcją gamma, to funkcja hipergeometryczna regularyzowana, a to funkcja beta regularyzowana.

Rozkład dwumianowy ujemny jest zaimplementowany w języku Wolframa jako NegativeBinomialDistribution.

Definiowanie

			(7)
			(8)

Funkcja charakterystyczna jest dana przez

. funkcja charakterystyczna jest dana przez

oraz funkcja generująca momentgenerujący moment

Ponieważ ,

			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

Momenty surowe są zatem

.

.

			(15)
			(16)
			(17)
			(18)

gdzie

i jest symbolem Pochhammera. (Zauważ, że Beyer 1987, s. 487, najwyraźniej podaje średnią nieprawidłowo.)

Daje to momenty centralne jako

			(20)
			(21)
			(22)

Średnia, wariancja, skośność i kurtoza wynoszą

.

			(23)
			(24)
			(25)
			(26)

które można również zapisać

			(27)
			(28)
			(29)
			(30)

Pierwszą kumulantą jest

i kolejne kumulanty są dane przez zależność rekurencyjną