Rozkład Maxwella-Boltzmanna

Statystyka Maxwella-BoltzmannaEdit

Główne artykuły: Statystyka Maxwella-Boltzmanna § Pochodne, oraz Rozkład Boltzmanna

Oryginalne wyprowadzenie w 1860 roku przez Jamesa Clerka Maxwella było argumentem opartym na zderzeniach molekularnych Kinetycznej teorii gazów, jak również na pewnych symetriach w funkcji rozkładu prędkości; Maxwell podał również wczesny argument, że te zderzenia molekularne pociągają za sobą tendencję do równowagi. Po Maxwellu, Ludwig Boltzmann w 1872 r. również wyprowadził rozkład na gruncie mechanicznym i argumentował, że gazy powinny z czasem dążyć do tego rozkładu, ze względu na zderzenia (patrz twierdzenie H). Później (1877) wyprowadził ten rozkład ponownie w ramach termodynamiki statystycznej. Pochodne w tym rozdziale są zgodne z pochodnymi Boltzmanna z 1877 roku, zaczynając od wyniku znanego jako statystyka Maxwella-Boltzmanna (z termodynamiki statystycznej). Statystyka Maxwella-Boltzmanna podaje średnią liczbę cząstek występujących w danym mikrostanie jednocząsteczkowym. Przy pewnych założeniach logarytm z frakcji cząstek w danym mikrostanie jest proporcjonalny do stosunku energii tego stanu do temperatury układu:

– log ( N i N ) ∝ E i T . {displaystyle -log ∝left({{frac {N_{i}}{N}}right)∝E_{i}}{T}}.}

${displaystyle -log \left({{frac {N_{i}}{N}}}right)\propto {\i0}.}$

Założenia tego równania są takie, że cząstki nie oddziałują na siebie i że są klasyczne; oznacza to, że stan każdej cząstki może być rozpatrywany niezależnie od stanów innych cząstek. Dodatkowo zakłada się, że cząstki są w równowadze termicznej.

Zależność tę można zapisać w postaci równania wprowadzając współczynnik normalizujący:

N i N = exp ( – E i / k T ) ∑ j exp ( – E j / k T ) {{displaystyle {{frac {N_{i}}{N}}}={{ exp(- E_{i}/kT)}}.E_{i}/kT)}{\sum _{j}\exp(-E_{j}/kT)}}}

${displaystyle {{displayfrac {N_{i}}{N}}}={{{frac {{exp(-E_{i}/kT)}{sum _{j}exp(-E_{j}/kT)}}.E_{j}/kT)}}$

(1)

Gdzie:

Ni jest oczekiwaną liczbą cząstek w jednocząstkowym mikrostanie i,
N jest całkowitą liczbą cząstek w układzie,
Ei jest energią mikrostanu i,
suma po indeksie j uwzględnia wszystkie mikrostany,
T jest temperaturą równowagi układu,
k jest stałą Boltzmanna.

Mianownik w równaniu (1) jest po prostu współczynnikiem normalizującym, tak że stosunki N i : N {{i}:N}}

${displaystyle N_{i}:N}$

sumują się do jedności – innymi słowy jest to rodzaj funkcji podziału (dla układu jednocząstkowego, a nie zwykła funkcja podziału całego układu).

Ponieważ prędkość i prędkość są związane z energią, równanie (1) może być użyte do wyprowadzenia zależności pomiędzy temperaturą a prędkościami cząsteczek gazu. Wystarczy odkryć gęstość mikrostanów w energii, którą wyznacza się dzieląc przestrzeń pędu na równej wielkości regiony.

Rozkład dla wektora pęduEdit

Przyjmuje się, że energia potencjalna jest równa zeru, więc cała energia ma postać energii kinetycznej.Związek między energią kinetyczną a pędem dla masywnych cząstek nierelatywistycznych cząstek wynosi

E = p 2 2 m {{displaystyle E={p^{2}}{2m}}}}

$E={p^2}{2m}}$

(2)

gdzie p2 jest kwadratem wektora pędu p = . Możemy zatem przepisać równanie (1) jako:

N i N = 1 Z exp {{displaystyle {{frac {N_{i}}{N}}}={{{frac {1}{Z}}}exp \left}

$N_i}{N} = \frac{1}{Z} \$

(3)

gdzie Z jest funkcją podziału, odpowiadającą mianownikowi w równaniu (1). Tutaj m jest masą cząsteczkową gazu, T jest temperaturą termodynamiczną, a k jest stałą Boltzmanna. Taki rozkład N i : N {{i}:N}

${displaystyle N_{i}:N}$

jest proporcjonalny do funkcji gęstości prawdopodobieństwa fp dla znalezienia cząsteczki o tych wartościach składowych pędu, więc:

f p ( p x , p y , p z ) ∝ exp {displaystyle f_{mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})∝ exp {displaystyle f_{mathbf {p}})

${displaystyle f_{mathbf {p}} }(p_{x},p_{y},p_{z})\proto \exp \left}$

(4)

Stałą normalizującą można wyznaczyć uznając, że prawdopodobieństwo posiadania przez cząsteczkę pewnego pędu musi wynosić 1.Całkując wykładnik w (4) przez wszystkie px, py, i pz uzyskujemy współczynnik

∭ – ∞ + ∞ exp d p x d p y d p z = ( π 2 m k T ) 3 {displaystyle \iint _{-infty }^{+infty }}exp \leftdp_{x} dp_{y}} dp_{z}={({{sqrt {pi }}{}}sqrt {2mkT}}})^{3}}}.

${displaystyle \iint _{-infty }^{+infty }\exp \leftdp_{x}} dp_{y}} dp_{z}={({{sqrt {pi }}{{sqrt {2mkT}}})^{3}}}$

Więc znormalizowana funkcja rozkładu wynosi:

f p ( p x , p y , p z ) = ( 2 π m k T ) – 3 / 2 exp {{displaystyle f_{mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})= ^{-3/2} exp {displaystyle f_{mathbf {p}}(p_{x},p_{y},p_{z})}

$f_mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) = ^^-3/2}exp ^^_left$

(6)

Rozkład ten postrzegany jest jako iloczyn trzech niezależnych zmiennych normalnie dystrybuowanych p x {{displaystyle p_{x}}

$p_{x}$

, p y {displaystyle p_{y}}

$p_{y}$

, oraz p z {{displaystyle p_{z}}

$p_{z}$

, z wariancją m k T {displaystyle mkT}

$mkT$

. Dodatkowo można zauważyć, że wielkość pędu będzie rozłożona w postaci rozkładu Maxwella-Boltzmanna, z a = m k T {displaystyle a={sqrt {mkT}}}.

$a={sqrt{mkT}}$

.Rozkład Maxwella-Boltzmanna dla pędu (lub tak samo dla prędkości) można uzyskać w sposób bardziej podstawowy, stosując twierdzenie H w stanie równowagi w ramach Kinetycznej teorii gazów.

Rozkład dla energiiEdit

Rozkład energii znajdujemy narzucając

f E ( E ) d E = f p ( p ) d 3 p , {{displaystyle f_{E}(E)dE=f_{p}({textbf {p}})d^{3}{textbf {p}}},}

$f_{E}(E)dE=f_{p}({textbf p})d^{3}{textbf p},$

(7)

where d 3 p {{{3}{{textbf {p}}}}

$d^{3}{textbf p}}$

jest nieskończoną objętością fazowo-przestrzenną pędu odpowiadającą przedziałowi energii d E {displaystyle dE}.

$dE$

.Wykorzystując symetrię sferyczną zależności dyspersji energii i momentu pędu E = | p | 2 / 2 m {displaystyle E=|{textbf {p}}|^{2}/2m}

$E=|{textbf p}|^{2}/2m$

, można to wyrazić w postaci d E {{displaystyle dE}}

$dE$

jako

d 3 p = 4 π | p | 2 d | p | = 4 π m 2 m E d E . {{displaystyle d^{3}{textbf {p}}=4}pi |{textbf {p}}|^{2}d|{textbf {p}}|=4}pi m{sqrt {2mE}}dE.}

$d^{3}{textbf p}=4\pi |{textbf p}|^{2}d|{textbf p}|=4\pi m{sqrt {2mE}dE.$

(8)

Używając wtedy (8) w (7), i wyrażając wszystko w kategoriach energii E {{displaystyle E}}

$E$

, otrzymujemy f E ( E ) d E = 1 ( 2 π m k T ) 3 / 2 e – E / k T 4 π m 2 m E d E = 2 E π ( 1 k T ) 3 / 2 exp ( – E k T ) d E {displaystyle f_{E}(E)dE={frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}e^{-E/kT}4}pi m{sqrt {2mE}}dE=2{sqrt {E}{kT}}e^{3/2}exp {left({E}{kT}}}prawo)dE}.

$f_{E}(E)dE={{frac {1}{(2}{kT}})^{3/2}}}}e^{-E/kT}}4}pi m{sqrt {2mE}}dE=2{sqrt {{frac {E}{kT}}} }}}} ^{3/2}exp {left({{frac {-E}{kT}}right)dE$

i na koniec

f E ( E ) = 2 E π ( 1 k T ) 3 / 2 exp ( – E k T ) { {displaystyle f_{E}(E)=2{sqrt {frac {E}{kT}}}left({frac {1}{kT}}}right)^{3/2}exp \frac {-E}{kT}}right)}

$f_{E}(E)=2{sqrt {{E}{pi }}}} ^{3/2}}exp ^{3/2}}left({{frac {-E}{kT}}right)$

(9)

Ponieważ energia jest proporcjonalna do sumy kwadratów trzech normalnie rozłożonych składowych pędu, ten rozkład energii można zapisać równoważnie jako rozkład gamma, z wykorzystaniem parametru kształtu, k s h a p e = 3 / 2 {{displaystyle {k}_{shape}=3/2}

${displaystyle {k}_{shape}=3/2}$

oraz parametru skali, θ s c a l e = k T {{displaystyle {{scale}=kT}

${displaystyle {{theta }_{scale}=kT}$

Korzystając z twierdzenia o ekwipartycji, biorąc pod uwagę, że energia jest równomiernie rozłożona pomiędzy wszystkie trzy stopnie swobody w stanie równowagi, możemy również podzielić f E ( E ) d E {{displaystyle f_{E}(E)dE}

${displaystyle f_{E}(E)dE}$

na zbiór rozkładów chi kwadrat, gdzie energia na stopień swobody, ϵ {{displaystyle \epsilon }

$epsilon$

, jest dystrybuowana jako rozkład chi kwadrat z jednym stopniem swobody, f ϵ ( ϵ ) d ϵ = 1 π ϵ k T exp d ϵ { {displaystyle f_{epsilon }(\epsilon )\,d\epsilon ={sqrt {{frac {1}{1pi \epsilon kT}}}~exp \left \\\epsilon }

${displaystyle f_{epsilon }(\epsilon )\,d\epsilon ={sqrt {{frac {1}{pi \epsilon kT}}}~~exp \left,depsilon }$

W stanie równowagi rozkład ten będzie prawdziwy dla dowolnej liczby stopni swobody. Na przykład, jeśli cząstki są sztywnymi dipolami masowymi o stałym momencie dipolowym, będą miały trzy translacyjne stopnie swobody i dwa dodatkowe rotacyjne stopnie swobody. Energia w każdym stopniu swobody będzie opisana zgodnie z powyższym rozkładem chi – kwadrat z jednym stopniem swobody, a całkowita energia będzie rozłożona zgodnie z rozkładem chi – kwadrat z pięcioma stopniami swobody. Ma to swoje implikacje w teorii ciepła właściwego gazu.

Rozkład Maxwella-Boltzmanna można również uzyskać traktując gaz jako rodzaj gazu kwantowego, dla którego można dokonać przybliżenia ε >> k T.

Rozkład dla wektora prędkościEdit

Przypuszczając, że gęstość prawdopodobieństwa prędkości fv jest proporcjonalna do funkcji gęstości prawdopodobieństwa pędu przez

f v d 3 v = f p ( d p d v ) 3 d 3 v {displaystyle f_{mathbf {v} }d^{3}v=f_{mathbf {p} }left(^{frac {dp}{dv}}}right)^{3}d^{3}v}

$f_{mathbf{v} d^3v = f_{mathbf{p} \^3 ^3 d^3v$

i korzystając z p = mv otrzymujemy

f v ( v x , v y , v z ) = ( m 2 π k T ) 3 / 2 exp {displaystyle f_{mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=left({frac {m}{2}pi kT}}}right)^{3/2}exp \left}

$f_{{mathbf {v}}}(v_{x},v_{y},v_{z})=left({{frac {m}{2pi kT}}}}right)^{3/2}exp \left$

Który jest rozkładem prędkości Maxwella-Boltzmanna. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki z prędkością w nieskończenie małym elemencie o prędkości v = wynosi

f v ( v x , v y , v z ) d v x d v y d v z . {{displaystyle f_{mathbf {v}}left(v_{x},v_{y},v_{z}}right)}, dv_{x},dv_{y},dv_{z}.}

$f_mathbf{v} \left(v_x, v_y, v_z}right)\, dv_x}, dv_y}, dv_z.$

Podobnie jak w przypadku pędu, rozkład ten jest iloczynem trzech niezależnych zmiennych normalnie rozłożonych v x {displaystyle v_{x}.

$v_x$

, v y {displaystyle v_{y}}

$v_y$

, i v z {displaystyle v_{z}}

$v_z$

, ale z wariancją k T m {displaystyle {frac {kT}{m}}}

$frac{kT}{m}}$

.Można również zauważyć, że rozkład prędkości Maxwella-Boltzmanna dla prędkości wektorowej jest iloczynem rozkładów dla każdego z trzech kierunków: f v ( v x , v y , v z ) = f v ( v x ) f v ( v y ) f v ( v z ) {{displaystyle f_{mathbf {v}}left(v_{x},v_{y},v_{z}}right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}

${displaystyle f_{mathbf {v}}left(v_{x},v_{y},v_{z})=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$

gdzie rozkład dla jednego kierunku wynosi

f v ( v i ) = m 2 π k T exp . {displaystyle f_{v}(v_{i})={sqrt {frac {m}{2}pi kT}}} exp .

$f_v (v_i) ={sqrt {{frac{m}{2 \pi kT}}}exp \left.$

Każda składowa wektora prędkości ma rozkład normalny o średniej μ v x = μ v y = μ v z = 0 {{displaystyle \u _{v_{x}}= μ _{v_{y}}= μ _{v_{z}}=0}.

$\u_{v_x} = \u_{v_y} = 0$

a odchylenie standardowe σ v x = σ v y = σ v z = k T m {{displaystyle \sigma _{v_{x}}= \sigma _{v_{y}}= \sigma _{v_{z}}={sqrt {\frac {kT}{m}}}}

$sigma_{v_x} = \sigma_{v_y} = \sigma_{v_z} = \sqrt{frac{kT}{m}}$

, więc wektor ma 3-wymiarowy rozkład normalny, szczególny rodzaj wielowymiarowego rozkładu normalnego, ze średnią μ v = 0 {displaystyle \u _{mathbf {v} }={mathbf {0} }}

$\u_{mathbf{v}} = {{mathbf{0}}$

i kowariancja Σ v = ( k T m ) I {displaystyle \u_sygma _{mathbf{v}}=left({\u_frac {kT}{m}}}right)I}.

${{displaystyle {Sigma _{mathbf {v}} }=left({{frac {kT}{m}}}}right)I}$

, gdzie I {{displaystyle I}

$I$

jest macierzą tożsamości 3 × 3 {displaystyle 3 razy 3}

$3 razy 3$

Rozkład dla prędkościEdit

Rozkład Maxwella-Boltzmanna dla prędkości wynika bezpośrednio z rozkładu wektora prędkości, powyżej. Zauważmy, że prędkość wynosi

v = v x 2 + v y 2 + v z 2 {displaystyle v={sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}

$v = ́sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

oraz pierwiastek objętości we współrzędnych sferycznych

d v x d v y d v z = v 2 sin θ d v d θ d ϕ = v 2 d v d Ω {displaystyle dv_{x},dv_{y}}, dv_{z}=v^{2}sin itha }

${displaystyle dv_{x}},dv_{y}},dv_{z}=v^{2}sin itha ™, dv_{y}},dvphi =v^{2}dv},d}Omega }$

gdzie ϕ {displaystyle ™phi }

$phi$

i θ { {displaystyle \theta }

$theta$

są to kąty współrzędnych sferycznych wektora prędkości. Całkowanie funkcji gęstości prawdopodobieństwa prędkości po kątach bryłowych d Ω {displaystyle d Ωmega }

$dmega$

daje dodatkowy współczynnik 4 π {displaystyle 4\pi }

$4\pi$

.Rozkład prędkości z podstawieniem prędkości za sumę kwadratów składowych wektora:

f ( v ) = ( 2 π ) 1 / 2 ( m k T ) 3 / 2 v 2 exp . {{displaystyle f(v)= ^{1/2} ^{1/2} ^{1/2} ^{3/2}v^{2} exp ^{2}.}

${displaystyle f(v)= ^{1/2} ^{1/2} ^{3/2}v^{2}exp ^{2}}$

Statystyka Maxwella-BoltzmannaEdit

Rozkład dla wektora pęduEdit

Rozkład dla energiiEdit

Rozkład dla wektora prędkościEdit

Rozkład dla prędkościEdit

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi